高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减法 7页

第五章 平面向量 ‎●网络体系总览 ‎●考点目标定位 ‎1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.‎ ‎2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.‎ ‎3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.‎ ‎4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.‎ ‎●复习方略指南 向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有：‎ ‎（1）与“定比分点”有关的试题；‎ ‎（2）平面向量的加减法运算及其几何意义；‎ ‎（3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题；‎ ‎（4）正、余弦定理的应用.‎ 复习本章时要注意：‎ ‎（1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量.‎ ‎（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.‎ ‎（3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直.‎ ‎（4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律.‎ ‎（5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.‎ ‎（6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.‎ ‎5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积 ‎●知识梳理 ‎1.平面向量的有关概念：‎ ‎（1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.‎ ‎（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示.‎ ‎（3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||.‎ ‎（4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定.‎ ‎（5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.‎ ‎（6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.‎ ‎（7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.‎ ‎2.向量的加法：‎ ‎（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.‎ ‎（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.‎ ‎（3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）.‎ ‎3.向量的减法：‎ ‎（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.‎ ‎（2）法则：三角形法则；平行四边形法则.‎ ‎4.实数与向量的积：‎ ‎（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.‎ ‎（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb.‎ ‎5.两个重要定理：‎ ‎（1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）.‎ ‎（2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2.‎ ‎●点击双基 ‎1.（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b|=3，则b等于 A.（－3，6） B.（3，－6）‎ C.（6，－3） D.（－6，3）‎ 解析：易知a与b方向相反，可设b=（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b|=3=，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b=（－3，6）.‎ 答案：A ‎2.（2004年浙江，文4）已知向量a=（3，4），b=（sinα，cosα），且a∥b，则tanα等于 A. B.－ C. D.－ 解析：由a∥b，∴3cosα=4sinα.∴tanα=.‎ 答案：A ‎3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于 A.b+a B.b－a C.a+b D.a－b 解析：=－=+－=+－=b－a.‎ 答案：B ‎4.e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于 A.0 B.－‎1 ‎ C.－2 D.±1‎ 解析：a与b共线存在实数m，使a=mb，‎ 即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共线，∴∴k=±1.‎ 答案：D ‎5.若a=“向东走‎8 km”，b=“向北走‎8 km”，则｜a+b|=_______，a+b的方向是_______.‎ 解析：|a+b|==8（km）.‎ 答案：8 km 东北方向 ‎●典例剖析 ‎【例1】 已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，|a－b|=2，则|a+b|等于 A.1 B. C. D. 剖析：欲求|a+b|，一是设出a、b的坐标求，二是直接根据向量模计算.‎ 解法一：设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则x12+y12=1，x22+y22=4，a－b=（x1－x2，y1－y2），‎ ‎∴（x1－x2）2+（y1－y2）2=4.‎ ‎∴x12－2x1x2+x22+y12－2y1y2+y22=4.‎ ‎∴1－2x1x2－2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1.‎ ‎∴（x1+x2）2+（y1+y2）2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.‎ ‎∴|a+b|=.‎ 解法二：∵|a+b|2+|a－b|2=2（|a|2+|b|2），‎ ‎∴|a+b|2=2（|a|2+|b|2）－|a－b|2=2（1+4）－22=6.‎ ‎∴|a+b|=.故选D.‎ 深化拓展 此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.‎ ‎【例2】 如图，G是△ABC的重心，求证：++=0.‎ 剖析：要证++=0，只需证+=－，即只需证+与互为相反的向量.‎ 证明：以向量、为邻边作平行四边形GBEC，则+==2.又由G为△ABC的重心知 =2，从而=－2.‎ ‎∴++=－2+2=0.‎ 评述：向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义，能进一步加深对“向量”的认识，并能体会用向量处理问题的优越性.‎ 深化拓展 此题也可用向量的坐标运算进行证明.‎ ‎【例3】 设、不共线，点P在AB上，求证：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.‎ 剖析：∵点P在AB上，可知与共线，得=t.再用以O为起点的向量表示.‎ 证明：∵P在AB上，∴与共线.‎ ‎∴=t.∴－=t（－）.‎ ‎∴=+t－t=（1－t）+t.‎ 设1－t=λ，t=μ，则=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.‎ 评述：本例的重点是考查平面向量的基本定理，及对共线向量的理解及应用.‎ 深化拓展 ‎①本题也可变为，不共线，若=λ+μ，且λ+μ=1，λ∈R，μ∈R，求证：A、B、P三点共线.‎ 提示：证明与共线.‎ ‎②当λ=μ=时，=（+），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.‎ ‎【例4】 若a、b是两个不共线的非零向量（t∈R）.‎ ‎（1）若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、（a+b）三向量的终点在一直线上?‎ ‎（2）若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小?‎ 解：（1）设a－tb=m［a－（a+b）］（m∈R），化简得（－1）a=（－t）b.‎ ‎∵a与b不共线，∴ ‎∴t=时，a、tb、（a+b）的终点在一直线上.‎ ‎（2）|a－tb|2=（a－tb）2=|a|2+t2|b|2－2t|a||b|cos60°=（1+t2－t）|a|2，∴t=时，|a－tb|有最小值|a|.‎ 评述：用两个向量共线的充要条件，可解决平面几何中的平行问题或共线问题.‎ 思考讨论 两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.（2004年广东，1）已知平面向量a=（3，1），b=（x，－3）且a⊥b，则x等于 A.3 B‎.1 ‎ C.－1 D.－3‎ 解析：由a⊥b，则3x－3=0，∴x=1.‎ 答案：B ‎2.若a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有 A.a∥b且a、b方向相同 B.a=b C.a=－b D.以上都不对 解析：a、b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，∴a∥b且方向相同.‎ 答案：A ‎3.在四边形ABCD中，－－等于 A. B. C. D. 解析：－－=－=+=.‎ 答案：C ‎4.设四边形ABCD中，有=且||=||，则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析：∵=，∴DC∥AB，且DC≠AB.又||=||，∴四边形为等腰梯形.‎ 答案：C ‎5.l1、l2是不共线向量，且a=－l1+‎3l2，b=‎4l1+‎2l2，c=－‎3l1+‎12l2，若b、c为一组基底，求向量a.‎ 解：设a=λ1b+λ‎2c，即－l1+‎3l2=λ1（‎4l1+‎2l2）+λ2（－‎3l1+‎12l2），‎ 即－l1+‎3l2=（4λ1－3λ2）l1+（2λ1+12λ2）l2，∴ 解得λ1=－，λ2=，故a=－b+c.‎ ‎6.设两向量e1、e2满足|e1|=2，|e2|=1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.‎ 解：e12=4，e22=1，e1·e2=2×1×cos60°=1，‎ ‎∴（2te1+7e2）·（e1+te2）=2te12+（2t2+7）e1·e2+7te22=2t2+15t+7.∴2t2+15t+7＜0.‎ ‎∴－7＜t＜－.设2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0）2t2=7t=－，‎ ‎∴λ=－.‎ ‎∴当t=－时，2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.‎ ‎∴t的取值范围是（－7，－）∪（－，－）.‎ 思考讨论 向量a、b的夹角为钝角，则cos〈a，b〉＜0，它们互为充要条件吗?‎ 培养能力 ‎7.已知向量a=2e1－3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线，向量c=2e1－9e2.问是否存在这样的实数λ、μ，使向量d=λa+μb与c共线?‎ 解：∵d=λ（2e1－3e2）+μ（2e1+3e2）=（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2，‎ 要使d与c共线，则应有实数k，使d=kc，‎ 即（2λ+2μ）e1+（－3λ+3μ）e2=2ke1－9ke2，由得λ=－2μ.‎ 故存在这样的实数λ、μ，只要λ=－2μ，就能使d与c共线.‎ ‎8.如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和.‎ 解：由三角形中位线定理，知DEBC.‎ 故=，即=a.‎ =++=－a+b+a=－a+b，‎ =++=++=－a+a－b=a－b.‎ 探究创新 ‎9.在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN与CM交于点E，=a，=b，用a、b表示.‎ 解：由已知得=，=.‎ 设=λ，λ∈R，则=+=+λ.‎ 而=－，∴=+λ（－）=+λ（－）.‎ ‎∴=（－）+λ.‎ 同理，设=t，t∈R，则=+=+t=+t（－）=+t（－）.‎ ‎∴=（－）+t.‎ ‎∴（－）+λ=（－）+t.‎ 由与是不共线向量，得 解得∴=+，‎ 即=a+b.‎ 评述：此题所涉及的量较多，且向量与向量之间的关系较为复杂，因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量，增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在，即对基本定理的深化及应用.‎ ‎●思悟小结 ‎1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.‎ ‎2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.‎ ‎3.对于两个向量平行的充要条件：‎ a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.‎ ‎4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来证明“形”的问题.‎ ‎5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.本课复习的重点是：理解向量的基本概念，掌握向量的加法、减法运算，掌握实数与向量的积的运算.‎ ‎2.复习时要构建良好的知识结构.‎ ‎3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算，又要注重代数运算.‎ ‎4.强化数学思想的教学，尤其是数形结合思想、化归思想等.‎ 拓展题例 ‎【例题】 对任意非零向量a、b，求证：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.‎ 证明：分三种情况考虑.‎ ‎（1）当a、b共线且方向相同时，|a|－|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|－|b|=|a－b|＜|a|+|b|.‎ ‎（2）当a、b共线且方向相反时，∵a－b=a+（－b），a+b=a－（－b），利用（1）的结论有||a|－|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|－|b|＜|a－b|=|a|+|b|.‎ ‎（3）当a，b不共线时，设=a，=b，作=+=a+b，=－=a－b，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|－|b||＜|a±b|＜|a|+|b|.‎ 综上得证.‎