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  • 2021-05-13 发布

高考数学一轮复习教案51向量的概念向量的加法与减法

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第五章 平面向量 ‎●网络体系总览 ‎●考点目标定位 ‎1.理解向量的概念,掌握向量的几何表示,了解共线向量的概念.‎ ‎2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则.‎ ‎3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则.‎ ‎4.了解平面向量基本定理,理解平面向量的坐标的概念,掌握平面向量的坐标运算.‎ ‎●复习方略指南 向量是数学中的重要概念,它广泛应用于生产实践和科学研究中,其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出,主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用,“平面向量”将会成为命题的热点,一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有:‎ ‎(1)与“定比分点”有关的试题;‎ ‎(2)平面向量的加减法运算及其几何意义;‎ ‎(3)平面向量的数量积及运算律,平面向量的坐标运算,用向量的知识解决几何问题;‎ ‎(4)正、余弦定理的应用.‎ 复习本章时要注意:‎ ‎(1)向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系,同向且等长的有向线段都表示同一向量.‎ ‎(2)共线向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础.‎ ‎(3)向量的加、减、数乘积是向量的线性运算,其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积,可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角,判断相应的两条直线是否垂直.‎ ‎(4)向量的运算与实数的运算有异同点,学习时要注意这一点,如数量积不满足结合律.‎ ‎(5)要注意向量在几何、三角、物理学中的应用.‎ ‎(6)平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点,复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.‎ ‎5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积 ‎●知识梳理 ‎1.平面向量的有关概念:‎ ‎(1)向量的定义:既有大小又有方向的量叫做向量.‎ ‎(2)表示方法:用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a,b,…或用,,…表示.‎ ‎(3)模:向量的长度叫向量的模,记作|a|或||.‎ ‎(4)零向量:长度为零的向量叫做零向量,记作0;零向量的方向不确定.‎ ‎(5)单位向量:长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.‎ ‎(6)共线向量:方向相同或相反的向量叫共线向量,规定零向量与任何向量共线.‎ ‎(7)相等的向量:长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.‎ ‎2.向量的加法:‎ ‎(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.‎ ‎(2)法则:三角形法则;平行四边形法则.‎ ‎(3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c).‎ ‎3.向量的减法:‎ ‎(1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法.‎ ‎(2)法则:三角形法则;平行四边形法则.‎ ‎4.实数与向量的积:‎ ‎(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,规定:|λa|=|λ||a|.当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa与a平行.‎ ‎(2)运算律:λ(μa)=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.‎ ‎5.两个重要定理:‎ ‎(1)向量共线定理:向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ,使得b=λa,即b∥ab=λa(a≠0).‎ ‎(2)平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且仅有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.‎ ‎●点击双基 ‎1.(2004年天津,理3)若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且|b|=3,则b等于 A.(-3,6) B.(3,-6)‎ C.(6,-3) D.(-6,3)‎ 解析:易知a与b方向相反,可设b=(λ,-2λ)(λ<0).又|b|=3=,解之得λ=-3或λ=3(舍去).∴b=(-3,6).‎ 答案:A ‎2.(2004年浙江,文4)已知向量a=(3,4),b=(sinα,cosα),且a∥b,则tanα等于 A. B.- C. D.- 解析:由a∥b,∴3cosα=4sinα.∴tanα=.‎ 答案:A ‎3.若ABCD为正方形,E是CD的中点,且=a,=b,则等于 A.b+a B.b-a C.a+b D.a-b 解析:=-=+-=+-=b-a.‎ 答案:B ‎4.e1、e2是不共线的向量,a=e1+ke2,b=ke1+e2,则a与b共线的充要条件是实数k等于 A.0 B.-‎1 ‎ C.-2 D.±1‎ 解析:a与b共线存在实数m,使a=mb,‎ 即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共线,∴∴k=±1.‎ 答案:D ‎5.若a=“向东走‎8 km”,b=“向北走‎8 km”,则|a+b|=_______,a+b的方向是_______.‎ 解析:|a+b|==8(km).‎ 答案:8 km 东北方向 ‎●典例剖析 ‎【例1】 已知向量a、b满足|a|=1,|b|=2,|a-b|=2,则|a+b|等于 A.1 B. C. D. 剖析:欲求|a+b|,一是设出a、b的坐标求,二是直接根据向量模计算.‎ 解法一:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则x12+y12=1,x22+y22=4,a-b=(x1-x2,y1-y2),‎ ‎∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=4.‎ ‎∴x12-2x1x2+x22+y12-2y1y2+y22=4.‎ ‎∴1-2x1x2-2y1y2=0.∴2x1x2+2y1y2=1.‎ ‎∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=1+4+2x1x2+2y1y2=5+1=6.‎ ‎∴|a+b|=.‎ 解法二:∵|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),‎ ‎∴|a+b|2=2(|a|2+|b|2)-|a-b|2=2(1+4)-22=6.‎ ‎∴|a+b|=.故选D.‎ 深化拓展 此题也可以利用“解斜三角形”的方法进行处理.‎ ‎【例2】 如图,G是△ABC的重心,求证:++=0.‎ 剖析:要证++=0,只需证+=-,即只需证+与互为相反的向量.‎ 证明:以向量、为邻边作平行四边形GBEC,则+==2.又由G为△ABC的重心知 =2,从而=-2.‎ ‎∴++=-2+2=0.‎ 评述:向量的加法可以用几何法进行.正确理解向量的各种运算的几何意义,能进一步加深对“向量”的认识,并能体会用向量处理问题的优越性.‎ 深化拓展 此题也可用向量的坐标运算进行证明.‎ ‎【例3】 设、不共线,点P在AB上,求证:=λ+μ且λ+μ=1,λ、μ∈R.‎ 剖析:∵点P在AB上,可知与共线,得=t.再用以O为起点的向量表示.‎ 证明:∵P在AB上,∴与共线.‎ ‎∴=t.∴-=t(-).‎ ‎∴=+t-t=(1-t)+t.‎ 设1-t=λ,t=μ,则=λ+μ且λ+μ=1,λ、μ∈R.‎ 评述:本例的重点是考查平面向量的基本定理,及对共线向量的理解及应用.‎ 深化拓展 ‎①本题也可变为,不共线,若=λ+μ,且λ+μ=1,λ∈R,μ∈R,求证:A、B、P三点共线.‎ 提示:证明与共线.‎ ‎②当λ=μ=时,=(+),此时P为AB的中点,这是向量的中点公式.‎ ‎【例4】 若a、b是两个不共线的非零向量(t∈R).‎ ‎(1)若a与b起点相同,t为何值时,a、tb、(a+b)三向量的终点在一直线上?‎ ‎(2)若|a|=|b|且a与b夹角为60°,那么t为何值时,|a-tb|的值最小?‎ 解:(1)设a-tb=m[a-(a+b)](m∈R),化简得(-1)a=(-t)b.‎ ‎∵a与b不共线,∴ ‎∴t=时,a、tb、(a+b)的终点在一直线上.‎ ‎(2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60°=(1+t2-t)|a|2,∴t=时,|a-tb|有最小值|a|.‎ 评述:用两个向量共线的充要条件,可解决平面几何中的平行问题或共线问题.‎ 思考讨论 两个向量共线与两条线段在一条直线上是否一样?‎ ‎●闯关训练 夯实基础 ‎1.(2004年广东,1)已知平面向量a=(3,1),b=(x,-3)且a⊥b,则x等于 A.3 B‎.1 ‎ C.-1 D.-3‎ 解析:由a⊥b,则3x-3=0,∴x=1.‎ 答案:B ‎2.若a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则有 A.a∥b且a、b方向相同 B.a=b C.a=-b D.以上都不对 解析:a、b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,∴a∥b且方向相同.‎ 答案:A ‎3.在四边形ABCD中,--等于 A. B. C. D. 解析:--=-=+=.‎ 答案:C ‎4.设四边形ABCD中,有=且||=||,则这个四边形是 A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析:∵=,∴DC∥AB,且DC≠AB.又||=||,∴四边形为等腰梯形.‎ 答案:C ‎5.l1、l2是不共线向量,且a=-l1+‎3l2,b=‎4l1+‎2l2,c=-‎3l1+‎12l2,若b、c为一组基底,求向量a.‎ 解:设a=λ1b+λ‎2c,即-l1+‎3l2=λ1(‎4l1+‎2l2)+λ2(-‎3l1+‎12l2),‎ 即-l1+‎3l2=(4λ1-3λ2)l1+(2λ1+12λ2)l2,∴ 解得λ1=-,λ2=,故a=-b+c.‎ ‎6.设两向量e1、e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1、e2的夹角为60°,若向量2te1+7e2与向量e1+te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.‎ 解:e12=4,e22=1,e1·e2=2×1×cos60°=1,‎ ‎∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te12+(2t2+7)e1·e2+7te22=2t2+15t+7.∴2t2+15t+7<0.‎ ‎∴-7<t<-.设2te1+7e2=λ(e1+te2)(λ<0)2t2=7t=-,‎ ‎∴λ=-.‎ ‎∴当t=-时,2te1+7e2与e1+te2的夹角为π.‎ ‎∴t的取值范围是(-7,-)∪(-,-).‎ 思考讨论 向量a、b的夹角为钝角,则cos〈a,b〉<0,它们互为充要条件吗?‎ 培养能力 ‎7.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与c共线?‎ 解:∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,‎ 要使d与c共线,则应有实数k,使d=kc,‎ 即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,由得λ=-2μ.‎ 故存在这样的实数λ、μ,只要λ=-2μ,就能使d与c共线.‎ ‎8.如图所示,D、E是△ABC中AB、AC边的中点,M、N分别是DE、BC的中点,已知=a,=b,试用a、b分别表示、和.‎ 解:由三角形中位线定理,知DEBC.‎ 故=,即=a.‎ =++=-a+b+a=-a+b,‎ =++=++=-a+a-b=a-b.‎ 探究创新 ‎9.在△ABC中,AM∶AB=1∶3,AN∶AC=1∶4,BN与CM交于点E,=a,=b,用a、b表示.‎ 解:由已知得=,=.‎ 设=λ,λ∈R,则=+=+λ.‎ 而=-,∴=+λ(-)=+λ(-).‎ ‎∴=(-)+λ.‎ 同理,设=t,t∈R,则=+=+t=+t(-)=+t(-).‎ ‎∴=(-)+t.‎ ‎∴(-)+λ=(-)+t.‎ 由与是不共线向量,得 解得∴=+,‎ 即=a+b.‎ 评述:此题所涉及的量较多,且向量与向量之间的关系较为复杂,因此对学生来说确有一定困难.通过共线向量,增加辅助量来理清向量之间关系是“探索”之所在,即对基本定理的深化及应用.‎ ‎●思悟小结 ‎1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.‎ ‎2.共线向量和平面向量的两条基本定理,揭示了共线向量和平面向量的基本结构,它们是进一步研究向量的基础.‎ ‎3.对于两个向量平行的充要条件:‎ a∥ba=λb,只有b≠0才是正确的.而当b=0时,a∥b是a=λb的必要不充分条件.‎ ‎4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系,从而可用“数”来证明“形”的问题.‎ ‎5.培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力.‎ ‎●教师下载中心 教学点睛 ‎1.本课复习的重点是:理解向量的基本概念,掌握向量的加法、减法运算,掌握实数与向量的积的运算.‎ ‎2.复习时要构建良好的知识结构.‎ ‎3.向量的加法、减法运算既要注重几何运算,又要注重代数运算.‎ ‎4.强化数学思想的教学,尤其是数形结合思想、化归思想等.‎ 拓展题例 ‎【例题】 对任意非零向量a、b,求证:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.‎ 证明:分三种情况考虑.‎ ‎(1)当a、b共线且方向相同时,|a|-|b|<|a+b|=|a|+|b|,|a|-|b|=|a-b|<|a|+|b|.‎ ‎(2)当a、b共线且方向相反时,∵a-b=a+(-b),a+b=a-(-b),利用(1)的结论有||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,|a|-|b|<|a-b|=|a|+|b|.‎ ‎(3)当a,b不共线时,设=a,=b,作=+=a+b,=-=a-b,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得||a|-|b||<|a±b|<|a|+|b|.‎ 综上得证.‎