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  • 2021-05-13 发布

江苏省连云港市徐州市宿迁市高考数学三模试卷解析

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‎2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷 ‎ ‎ 一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)‎ ‎1.已知集合A={﹣1,1,2},B={0,1,2,7},则集合A∪B中元素的个数为  .‎ ‎2.设a,b∈R, =a+bi(i为虚数单位),则b的值为  .‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣=1的离心率是  .‎ ‎4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是  .‎ ‎5.如图是一个算法的流程图,则输出的k的值为  .‎ ‎6.已知一组数据3,6,9,8,4,则该组数据的方差是  .‎ ‎7.已知实数x,y满足,则的取值范围是  .‎ ‎8.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<)的图象过点(0,),则函数f(x)在[0,π]上的单调减区间是  .‎ ‎9.在公比为q且各项均为正数的等比数列{an}中,Sn为{an}的前n项和.若a1=,且S5=S2+2,则q的值为  .‎ ‎10.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AA1=3,点P在棱CC1‎ 上,则三棱锥P﹣ABA1的体积为  .‎ ‎11.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为  .‎ ‎12.已知对于任意的x∈(﹣∞,1)∪(5,+∞),都有x2﹣2(a﹣2)x+a>0,则实数a的取值范围是  .‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y﹣m)2=3,若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是  .‎ ‎14.已知△ABC三个内角A,B,C的对应边分别为α,b,c,且C=,c=2.当取得最大值时,的值为  .‎ ‎ ‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cosA=,cos∠ACB=,BC=13.‎ ‎(1)求cosB的值;‎ ‎(2)求CD的长.‎ ‎16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.‎ ‎(1)求证:AB∥EF;‎ ‎(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求证:AE⊥EF.‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P在x轴上方).‎ ‎(1)若QF=2FP,求直线l的方程;‎ ‎(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,是否存在常数λ,使得k1=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎18.某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m且≥,设∠EOF=θ,透光区域的面积为S.‎ ‎(1)求S关于θ的函数关系式,并求出定义域;‎ ‎(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边AB的长度.‎ ‎19.已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,S2=4,对任意的n∈N*,都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若{bn}为等差数列,对任意的n∈N*,都有Sn>Tn.证明:an>bn;‎ ‎(3)若{bn}为等比数列,b1=a1,b2=a2,求满足=ak(k∈N*)的n值.‎ ‎20.已知函数f(x)=+xlnx(m>0),g(x)=lnx﹣2.‎ ‎(1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)设函数h(x)=f(x)﹣xg(x)﹣,x>0.若函数y=h(h(x))的最小值是,求m的值;‎ ‎(3)若函数f(x),g(x)的定义域都是[1,e],对于函数f(x)的图象上的任意一点A,在函数g(x)的图象上都存在一点B,使得OA⊥OB,其中e是自然对数的底数,O为坐标原点,求m的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲 ‎21.如图,圆O的弦AB,MN交于点C,且A为弧MN的中点,点D在弧BM上,若∠ACN=3∠ADB,求∠ADB的度数.‎ ‎ ‎ B.选修4-2:矩阵与变换 ‎22.已知矩阵A=,若A=,求矩阵A的特征值.‎ ‎ ‎ C.选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.在极坐标系中,已知点A(2,),点B在直线l:ρcosθ+ρsinθ=0(0≤θ≤2π)上,当线段AB最短时,求点B的极坐标.‎ ‎ ‎ D.选修4-5:不等式选讲 ‎24.已知a,b,c为正实数,且a3+b3+c3=a2b2c2,求证:a+b+c≥3.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎25.在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M,线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.‎ ‎(Ⅰ)求点P的轨迹Г的方程;‎ ‎(Ⅱ)过动点M作曲线Г的两条切线,切点分别为A,B,求证:∠AMB的大小为定值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎26.已知集合U={1,2,…,n}(n∈N*,n≥2),对于集合U的两个非空子集A,B,若A∩B=∅,则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”).‎ ‎(1)写出f(2),f(3),f(4)的值;‎ ‎(2)求f(n).‎ ‎ ‎ ‎2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)‎ ‎1.已知集合A={﹣1,1,2},B={0,1,2,7},则集合A∪B中元素的个数为 5 .‎ ‎【考点】1D:并集及其运算.‎ ‎【分析】利用并集定义直接求解.‎ ‎【解答】解:∵集合A={﹣1,1,2},B={0,1,2,7},‎ ‎∴A∪B={﹣1,0,1,2,7},‎ 集合A∪B中元素的个数为5.‎ 故答案为:5.‎ ‎ ‎ ‎2.设a,b∈R, =a+bi(i为虚数单位),则b的值为 1 .‎ ‎【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出.‎ ‎【解答】解:∵a,b∈R, =a+bi(i为虚数单位),‎ ‎∴a+bi===i.‎ ‎∴b=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣=1的离心率是  .‎ ‎【考点】KC:双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】根据题意,由双曲线的方程可得a2、b2的值,由双曲线的几何性质可得c的值,进而由双曲线的离心率公式计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,双曲线的方程为﹣=1,‎ 则a2=4,b2=3,‎ 则c==,‎ 则其离心率e==;‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是  .‎ ‎【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.‎ ‎【分析】将这三张卡片随机排序,基本事件总数为:n==6,能组成“中国梦”包含的基本事件个数m=1,由此能求出能组成“中国梦”的概率.‎ ‎【解答】解:现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.‎ 将这三张卡片随机排序,基本事件总数为:n==6,‎ 能组成“中国梦”包含的基本事件个数m=1,‎ ‎∴能组成“中国梦”的概率p=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎5.如图是一个算法的流程图,则输出的k的值为 6 .‎ ‎【考点】EF:程序框图.‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:分析流程图所示的顺序知:‎ k=2,22﹣14+10=0,‎ 不满足条件k2﹣7k+10>0,执行循环体;‎ k=3,32﹣21+10=﹣2,‎ 不满足条件k2﹣7k+10>0,执行循环体;‎ k=4,42﹣28+10=﹣2,‎ 不满足条件k2﹣7k+10>0,执行循环体;‎ k=5,52﹣35+10=0,‎ 不满足条件k2﹣7k+10>0,执行循环体;‎ k=6,62﹣42+10=4,‎ 满足条件k2﹣7k+10>0,退出循环,输出k=6.‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎6.已知一组数据3,6,9,8,4,则该组数据的方差是 5.2 .‎ ‎【考点】BC:极差、方差与标准差.‎ ‎【分析】利用定义求这组数据的平均数和方差即可.‎ ‎【解答】解:数据3,6,9,8,4的平均数为:‎ ‎=×(3+6+9+8+4)=6,‎ 方差为:‎ s2=×[(3﹣6)2+(6﹣6)2+(9﹣6)2+(8﹣6)2+(4﹣6)2]= =5.2.‎ 故答案为:5.2.‎ ‎ ‎ ‎7.已知实数x,y满足,则的取值范围是 [,] .‎ ‎【考点】7C:简单线性规划.‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域,再由的几何意义,即可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率求解.‎ ‎【解答】解:由约束条件作出可行域如图,‎ 的几何意义为可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率,‎ 联立方程组求得A(3,﹣1),B(3,2),‎ 又,.‎ ‎∴的取值范围是[,].‎ 故答案为:[,].‎ ‎ ‎ ‎8.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<)的图象过点(0,),则函数f(x)在[0,π]上的单调减区间是 [,]【或(,‎ ‎)也正确】 .‎ ‎【考点】H2:正弦函数的图象.‎ ‎【分析】根据函数f(x)图象过点(0,)求出φ的值,写出f(x)解析式,‎ 再根据正弦函数的图象与性质求出f(x)在[0,π]上的单调减区间.‎ ‎【解答】解:函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<)的图象过点(0,),‎ ‎∴f(0)=2sinφ=,‎ ‎∴sinφ=;‎ 又∵0<φ<,‎ ‎∴φ=,‎ ‎∴f(x)=2sin(2x+);‎ 令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,‎ ‎∴+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,‎ 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;‎ 令k=0,得函数f(x)在[0,π]上的单调减区间是[,].‎ 故答案为:[,]【或(,)也正确】.‎ ‎ ‎ ‎9.在公比为q且各项均为正数的等比数列{an}中,Sn为{an}的前n项和.若a1=,且S5=S2+2,则q的值为  .‎ ‎【考点】89:等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】由a1=,且S5=S2+2,q>0.可得a3+a4+a5=(1+q+q2)=2,代入化简解出即可得出.‎ ‎【解答】解:∵a1=,且S5=S2+2,q>0.‎ ‎∴a3+a4+a5=(1+q+q2)=2,‎ ‎∴q2+q﹣1=0,‎ 解得q=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎10.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AA1=3,点P在棱CC1上,则三棱锥P﹣ABA1的体积为  .‎ ‎【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.‎ ‎【分析】点P到平面ABA1的距离即为△ABC的高,由此能求出三棱锥P﹣ABA1的体积.‎ ‎【解答】解:∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1=3,点P在棱CC1上,‎ ‎∴点P到平面ABA1的距离即为△ABC的高,即为h==,‎ ‎==,‎ 三棱锥P﹣ABA1的体积为:V===.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为  .‎ ‎【考点】4N:对数函数的图象与性质.‎ ‎【分析】设B(x,2logax),利用BC平行于x轴得出C(x2,2logax),利用AB垂直于x轴 得出 A(x,3logax),则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为logax=x2﹣x=2,求出x,再求a 即可..‎ ‎【解答】解:设B(x,2logax),∵BC平行于x轴,∴C(x′,2logax)即logax′=2logax,∴x′=x2,‎ ‎∴正方形ABCD边长=|BC|=x2﹣x=2,解得x=2.‎ 由已知,AB垂直于x轴,∴A(x,3logax),正方形ABCD边长=|AB|=3logax﹣2logax=logax=2,即loga2=2,∴a=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎12.已知对于任意的x∈(﹣∞,1)∪(5,+∞),都有x2﹣2(a﹣2)x+a>0,则实数a的取值范围是 (1,5] .‎ ‎【考点】3W:二次函数的性质.‎ ‎【分析】对△进行讨论,利用二次函数的性质列不等式解出.‎ ‎【解答】解:△=4(a﹣2)2﹣4a=4a2﹣20a+16=4(a﹣1)(a﹣4).‎ ‎(1)若△<0,即1<a<4时,x2﹣2(a﹣2)x+a>0在R上恒成立,符合题意;‎ ‎(2)若△=0,即a=1或a=4时,方程x2﹣2(a﹣2)x+a>0的解为x≠a﹣2,‎ 显然当a=1时,不符合题意,当a=4时,符合题意;‎ ‎(3)当△>0,即a<1或a>4时,∵x2﹣2(a﹣2)x+a>0在(﹣∞,1)∪(5,+∞)恒成立,‎ ‎∴,解得3<a≤5,‎ 又a<1或a>4,∴4<a≤5.‎ 综上,a的范围是(1,5].‎ 故答案为(1,5].‎ ‎ ‎ ‎13.在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y﹣m)2=3,若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是 ∅ .‎ ‎【考点】J9:直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】求出G的轨迹方程,得两圆公共弦,由题意,圆心(﹣2,m)到直线的距离d=<,即可求出实数m的取值范围.‎ ‎【解答】解:设G(x,y),则 ‎∵AB=2GO,‎ ‎∴2=2,‎ 化简可得x2+y2+2x﹣my+m2+=0,‎ 两圆方程相减可得2x﹣my+m2+=0‎ 由题意,圆心(﹣2,m)到直线的距离d=<,无解,‎ 故答案为∅.‎ ‎ ‎ ‎14.已知△ABC三个内角A,B,C的对应边分别为α,b,c,且C=,c=2.当取得最大值时,的值为 2+ .‎ ‎【考点】9V:向量在几何中的应用.‎ ‎【分析】根据正弦定理用A表示出b,代入 ‎=2bcosA,根据三角恒等变换化简得出当取最大值时A的值,再计算sinA,sinB得出答案.‎ ‎【解答】解:∵C=,∴B=﹣A,‎ 由正弦定理得=,‎ ‎∴b=sin(﹣A)=2cosA+sinA,‎ ‎∴=bccosA=2bcosA=4cos2A+sin2A ‎=2+2cos2A+sin2A ‎=(sin2A+cos2A)+2‎ ‎=sin(2A+)+2,‎ ‎∵A+B=,∴0<A<,‎ ‎∴当2A+=即A=时,取得最大值,‎ 此时,B=﹣=‎ ‎∴sinA=sin=sin()=﹣=,‎ sinB=sin()==.‎ ‎∴==2+.‎ 故答案为2+.‎ ‎ ‎ 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎15.如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cosA=,cos∠ACB=‎ ‎,BC=13.‎ ‎(1)求cosB的值;‎ ‎(2)求CD的长.‎ ‎【考点】HT:三角形中的几何计算.‎ ‎【分析】(1)在△ABC中,求出sinA==.,sin∠ACB=.‎ 可得cosB=﹣cos(A+∠ACB)=sinAsin∠ACB﹣cosAcosB;‎ ‎(2)在△ABC中,由正弦定理得,AB=sin∠ACB.‎ 在△BCD中,由余弦定理得,CD=.‎ ‎【解答】解:(1)在△ABC中,cosA=,A∈(0,π),‎ 所以sinA==.‎ 同理可得,sin∠ACB=.‎ 所以cosB=cos[π﹣(A+∠ACB)]=﹣cos(A+∠ACB)‎ ‎=sinAsin∠ACB﹣cosAcos∠ACB ‎=;‎ ‎(2)在△ABC中,由正弦定理得,AB=sin∠ACB=.‎ 又AD=3DB,所以DB=.‎ 在△BCD中,由余弦定理得,CD=‎ ‎==9.‎ ‎ ‎ ‎16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.‎ ‎(1)求证:AB∥EF;‎ ‎(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求证:AE⊥EF.‎ ‎【考点】LZ:平面与平面垂直的性质.‎ ‎【分析】(1)推导出AB∥CD,从而AB∥平面PDC,由此能证明AB∥EF.‎ ‎(2)推导出AB⊥AD,从而AB⊥平面PAD,进而AB⊥AF,由AB∥EF,能证明AF⊥EF.‎ ‎【解答】证明:(1)因为ABCD是矩形,所以AB∥CD.‎ 又因为AB⊄平面PDC,CD⊂平面PDC,‎ 所以AB∥平面PDC.‎ 又因为AB⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面PDC=EF,‎ 所以AB∥EF.‎ ‎(2)因为ABCD是矩形,所以AB⊥AD.‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,‎ AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.‎ 又AF⊂平面PAD,所以AB⊥AF.‎ 又由(1)知AB∥EF,所以AF⊥EF.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P在x轴上方).‎ ‎(1)若QF=2FP,求直线l的方程;‎ ‎(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,是否存在常数λ,使得k1=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.‎ ‎【分析】(1)由椭圆方程求出a,b,c,可得F的坐标,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,代入椭圆方程,求得P,Q的纵坐标,再由向量共线的坐标表示,可得m的方程,解方程可得m,进而得到直线l的方程;‎ ‎(2)运用韦达定理可得y1+y2,y1y2,my1y2,由A(﹣2,0),B(2,0),P(x1,y1),Q(x2,y2),x1=my1+1,x2=my2+1,‎ 运用直线的斜率公式,化简整理计算可得常数λ的值,即可判断存在.‎ ‎【解答】解:(1)因为a2=4,b2=3,所以c==1,‎ 所以F的坐标为(1,0),‎ 设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,‎ 代入椭圆方程+=1,得(4+3m2)y2+6my﹣9=0,‎ 则y1=,y2=.‎ 若QF=2FP,即=2,‎ 则+2•=0,‎ 解得m=,‎ 故直线l的方程为x﹣2y﹣=0.‎ ‎(2)由(1)知,y1+y2=﹣,y1y2=﹣,‎ 所以my1y2=﹣=(y1+y2),‎ 由A(﹣2,0),B(2,0),P(x1,y1),Q(x2,y2),x1=my1+1,x2=my2+1,‎ 所以=•===,‎ 故存在常数λ=,使得k1=k2.‎ ‎ ‎ ‎18.某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m且≥,设∠EOF=θ,透光区域的面积为S.‎ ‎(1)求S关于θ的函数关系式,并求出定义域;‎ ‎(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边AB的长度.‎ ‎【考点】HN:在实际问题中建立三角函数模型.‎ ‎【分析】(1)过点O作OH⊥FG于H,写出透光面积S关于θ的解析式S,并求出θ的取值范围;‎ ‎(2)计算透光区域与矩形窗面的面积比值,构造函数,利用导数判断函数的单调性,‎ 求出比值最大时对应边AB的长度.‎ ‎【解答】解:(1)过点O作OH⊥FG于H,∴∠OFH=∠EOF=θ;‎ 又OH=OFsinθ=sinθ,‎ FH=OFcosθ=cosθ,‎ ‎∴S=4S△OFH+4S阴影OEF=2sinθcosθ+4×θ=sin2θ+2θ;‎ ‎∵≥,∴sinθ≥,∴θ∈[,);‎ ‎∴S关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ,θ∈[,);‎ ‎(2)由S矩形=AD•AB=2×2sinθ=4sinθ,‎ ‎∴=+,‎ 设f(θ)=+,θ∈[,),‎ 则f′(θ)=﹣sinθ+‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=;‎ ‎∵≤θ<,∴sin2θ≤,‎ ‎∴sin2θ﹣θ<0,‎ ‎∴f′(θ)<0,‎ ‎∴f(θ)在θ∈[,)上是单调减函数;‎ ‎∴当θ=时f(θ)取得最大值为+,‎ 此时AB=2sinθ=1(m);‎ ‎∴S关于θ的函数为S=sin2θ+2θ,θ∈[,);所求AB的长度为1m.‎ ‎ ‎ ‎19.已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,S2=4,对任意的n∈N*,都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)若{bn}为等差数列,对任意的n∈N*,都有Sn>Tn.证明:an>bn;‎ ‎(3)若{bn}为等比数列,b1=a1,b2=a2,求满足=ak(k∈N*)的n值.‎ ‎【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.‎ ‎【分析】(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;‎ ‎(2)方法一、设数列{bn}的公差为d,求出Sn,Tn.由恒成立思想可得b1<1,求出an﹣bn,判断符号即可得证;‎ 方法二、运用反证法证明,设{bn}的公差为d,假设存在自然数n0≥2,使得a≤b,推理可得d>2,作差Tn﹣Sn,推出大于0,即可得证;‎ ‎(3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得Sn,Tn,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:(1)由3Sn+1=2Sn+Sn+2+an,得2(Sn+1﹣Sn)=Sn+2﹣Sn+1+an,‎ 即2an+1=an+2+an,所以an+2﹣an+1=an+1﹣an.‎ 由a1=1,S2=4,可知a2=3.‎ 所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.‎ 故{an}的通项公式为an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,n∈N*.‎ ‎(2)证法一:设数列{bn}的公差为d,‎ 则Tn=nb1+n(n﹣1)d,‎ 由(1)知,Sn=n(1+2n﹣1)=n2.‎ 因为Sn>Tn,所以n2>nb1+n(n﹣1)d,‎ 即(2﹣d)n+d﹣2b1>0恒成立,‎ 所以,即,‎ 又由S1>T1,得b1<1,‎ 所以an﹣bn=2n﹣1﹣b1﹣(n﹣1)d=(2﹣d)n+d﹣1﹣b1≥2﹣d+d﹣1﹣b1=1﹣b1>0.‎ 所以an>bn,得证.‎ 证法二:设{bn}的公差为d,假设存在自然数n0≥2,使得a≤b,‎ 则a1+2(n0﹣1)≤b1+(n0﹣1)d,即a1﹣b1≤(n0﹣1)(d﹣2),‎ 因为a1>b1,所以d>2.‎ 所以Tn﹣Sn=nb1+n(n﹣1)d﹣n2=(d﹣1)n2+(b1﹣d)n,‎ 因为d﹣1>0,所以存在N∈N*,当n>N时,Tn﹣Sn>0恒成立.‎ 这与“对任意的n∈N*,都有Sn>Tn”矛盾!‎ 所以an>bn,得证.‎ ‎(3)由(1)知,Sn=n2.因为{bn}为等比数列,‎ 且b1=1,b2=3,‎ 所以{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.‎ 所以bn=3n﹣1,Tn=(3n﹣1).‎ 则===3﹣,‎ 因为n∈N*,所以6n2﹣2n+2>0,所以<3.‎ 而ak=2k﹣1,所以=1,即3n﹣1﹣n2+n﹣1=0(*).‎ 当n=1,2时,(*)式成立;‎ 当n≥2时,设f(n)=3n﹣1﹣n2+n﹣1,‎ 则f(n+1)﹣f(n)=3n﹣(n+1)2+n﹣(3n﹣1﹣n2+n﹣1)=2(3n﹣1﹣n)>0,‎ 所以0=f(2)<f(3)<…<f(n)<…,‎ 故满足条件的n的值为1和2.‎ ‎ ‎ ‎20.已知函数f(x)=+xlnx(m>0),g(x)=lnx﹣2.‎ ‎(1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)设函数h(x)=f(x)﹣xg(x)﹣,x>‎ ‎0.若函数y=h(h(x))的最小值是,求m的值;‎ ‎(3)若函数f(x),g(x)的定义域都是[1,e],对于函数f(x)的图象上的任意一点A,在函数g(x)的图象上都存在一点B,使得OA⊥OB,其中e是自然对数的底数,O为坐标原点,求m的取值范围.‎ ‎【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;‎ ‎(2)求出h(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出h(x)的最小值,从而求出m的值即可;‎ ‎(3)根据OA和OB的关系,问题转化为﹣x2lnx≤m≤x2(e﹣lnx)在[1,e]上恒成立,设p(x)=﹣x2lnx,根据函数的单调性求出m≥p(1)=,设q(x)=x2(e﹣lnx),根据函数的单调性求出m≤q(1),从而求出m的范围即可.‎ ‎【解答】解:(1)当m=1时,f(x)=+xlnx,f′(x)=+lnx+1,‎ 因为f′(x)在(0,+∞)上单调增,且f′(1)=0,‎ 所以当x>1时,f′(x)>0;当0<x<1时,f′(x)<0,‎ 所以函数f(x)的单调增区间是(1,+∞).‎ ‎(2)h(x)=+2x﹣,则h′(x)=,令h′(x)=0,得x=,‎ 当0<x<时,h′(x)<0,函数h(x)在(0,)上单调减;‎ 当x>时,h′(x)>0,函数h(x)在(,+∞)上单调增.‎ 所以[h(x)]min=h()=2m﹣,‎ ‎①当(2m﹣1)≥,即m≥时,函数y=h(h(x))的最小值 h(2m﹣)= [+2(2﹣1)﹣1]= ,‎ 即17m﹣26+9=0,解得=1或=(舍),所以m=1;‎ ‎②当0<(2﹣1)<,即<m<时,‎ 函数y=h(h(x))的最小值h()=(2﹣1)=,解得=(舍),‎ 综上所述,m的值为1.‎ ‎(3)由题意知,KOA=+lnx,KOB=,‎ 考虑函数y=,因为y′=在[1,e]上恒成立,‎ 所以函数y=在[1,e]上单调增,故KOB∈[﹣2,﹣],‎ 所以KOA∈[,e],即≤+lnx≤e在[1,e]上恒成立,‎ 即﹣x2lnx≤m≤x2(e﹣lnx)在[1,e]上恒成立,‎ 设p(x)=﹣x2lnx,则p′(x)=﹣2lnx≤0在[1,e]上恒成立,‎ 所以p(x)在[1,e]上单调减,所以m≥p(1)=,‎ 设q(x)=x2(e﹣lnx),‎ 则q′(x)=x(2e﹣1﹣2lnx)≥x(2e﹣1﹣2lne)>0在[1,e]上恒成立,‎ 所以q(x)在[1,e]上单调增,所以m≤q(1)=e,‎ 综上所述,m的取值范围为[,e].‎ ‎ ‎ ‎【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲 ‎21.如图,圆O的弦AB,MN交于点C,且A为弧MN的中点,点D在弧BM上,若∠ACN=3∠ADB,求∠ADB的度数.‎ ‎【考点】NB:弦切角.‎ ‎【分析】连结AN,DN.利用圆周角定理,结合∠ACN=3∠ADB,求∠ADB的度数.‎ ‎【解答】解:连结AN,DN.‎ 因为A为弧MN的中点,所以∠ANM=∠ADN.‎ 而∠NAB=∠NDB,‎ 所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,‎ 即∠BCN=∠ADB.‎ 又因为∠ACN=3∠ADB,‎ 所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,‎ 故∠ADB=45°.‎ ‎ ‎ B.选修4-2:矩阵与变换 ‎22.已知矩阵A=,若A=,求矩阵A的特征值.‎ ‎【考点】OV:特征值与特征向量的计算.‎ ‎【分析】利用矩阵的乘法,求出a,d,利用矩阵A的特征多项式为0,求出矩阵A的特征值.‎ ‎【解答】解:因为A==,‎ 所以,解得a=2,d=1.‎ 所以矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ﹣2)(λ﹣1)﹣6=(λ﹣4)(λ+1),‎ 令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值为λ=4或﹣1.‎ ‎ ‎ C.选修4-4:坐标系与参数方程 ‎23.在极坐标系中,已知点A(2,),点B在直线l:ρcosθ+ρsinθ=0(0≤θ≤2π)上,当线段AB最短时,求点B的极坐标.‎ ‎【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.‎ ‎【分析】点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.AB最短时,点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点,求出交点,进而得出.‎ ‎【解答】解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,‎ 则点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.‎ AB最短时,点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点,‎ 联立,得,所以点B的直角坐标为(﹣1,1).‎ 所以点B的极坐标为.‎ ‎ ‎ D.选修4-5:不等式选讲 ‎24.已知a,b,c为正实数,且a3+b3+c3=a2b2c2,求证:a+b+c≥3.‎ ‎【考点】R6:不等式的证明.‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质进行证明.‎ ‎【解答】证明:∵a3+b3+c3=a2b2c2,a3+b3+c3≥3abc,‎ ‎∴a2b2c2≥3abc,∴abc≥3,‎ ‎∴a+b+c≥3≥3.‎ 当且仅当a=b=c=时,取“=”.‎ ‎ ‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎25.在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M,线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.‎ ‎(Ⅰ)求点P的轨迹Г的方程;‎ ‎(Ⅱ)过动点M作曲线Г的两条切线,切点分别为A,B,求证:∠AMB的大小为定值.‎ ‎【考点】K8:抛物线的简单性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)连接PF,运用中垂线的性质可得|MP|=|PF|,再由抛物线的定义可得点P的轨迹方程;‎ ‎(Ⅱ)求得M(﹣1,n),过点M的切线斜率存在,设为k,则切线方程为:y﹣n=k(x+1),联立抛物线的方程,消去y,运用相切的条件:判别式为0,再由韦达定理,结合两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,即可得证.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)据题意,MP⊥直线x=﹣1,‎ ‎∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离,‎ 连接PF,∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,‎ ‎∴|MP|=|PF|,‎ ‎∴P点的轨迹是抛物线,焦点为F(1,0),准线为直线x=﹣1,‎ ‎∴曲线Г的方程为y2=4x;‎ ‎(Ⅱ)证明:据题意,M(﹣1,n),过点M的切线斜率存在,设为k,‎ 则切线方程为:y﹣n=k(x+1),‎ 联立抛物线方程 可得ky2﹣4y+4k+4n=0,‎ 由直线和抛物线相切,‎ 可得△=16﹣4k(4k+4n)=0,‎ 即k2+kn﹣1=0,(*)‎ ‎∵△=n2+4>0,∴方程(*)存在两个不等实根,设为k1,k2,‎ ‎∵k1=kAM,k2=kBM,‎ 由方程(*)可知,kAM•kBM=k1•k2=﹣1,‎ ‎∴切线AM⊥BM,∴∠AMB=90°,结论得证.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎26.已知集合U={1,2,…,n}(n∈N*,n≥2),对于集合U的两个非空子集A,B,若A∩B=∅,则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”).‎ ‎(1)写出f(2),f(3),f(4)的值;‎ ‎(2)求f(n).‎ ‎【考点】1H:交、并、补集的混合运算.‎ ‎【分析】(1)直接由“互斥子集”的概念求得f(2),f(3),f(4)的值;‎ ‎(2)由题意,任意一个元素只能在集合A,B,C=CU(A∪B)之一中,求出这n个元素在集合A,B,C中的个数,再求出A、B分别为空集的种数,则f(n)可求.‎ ‎【解答】解:(1)f(2)=1,f(3)=6,f(4)=25;‎ ‎(2)任意一个元素只能在集合A,B,C=CU(A∪B)之一中,‎ 则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种;‎ 其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,‎ ‎∴A,B均为非空子集的种数为3n﹣2n+1+1,‎ 又(A,B)与(B,A)为一组“互斥子集”,‎ ‎∴f(n)=.‎ ‎ ‎