- 772.50 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷
一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)
1.已知集合A={﹣1,1,2},B={0,1,2,7},则集合A∪B中元素的个数为 .
2.设a,b∈R, =a+bi(i为虚数单位),则b的值为 .
3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣=1的离心率是 .
4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是 .
5.如图是一个算法的流程图,则输出的k的值为 .
6.已知一组数据3,6,9,8,4,则该组数据的方差是 .
7.已知实数x,y满足,则的取值范围是 .
8.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<)的图象过点(0,),则函数f(x)在[0,π]上的单调减区间是 .
9.在公比为q且各项均为正数的等比数列{an}中,Sn为{an}的前n项和.若a1=,且S5=S2+2,则q的值为 .
10.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AA1=3,点P在棱CC1
上,则三棱锥P﹣ABA1的体积为 .
11.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为 .
12.已知对于任意的x∈(﹣∞,1)∪(5,+∞),都有x2﹣2(a﹣2)x+a>0,则实数a的取值范围是 .
13.在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y﹣m)2=3,若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是 .
14.已知△ABC三个内角A,B,C的对应边分别为α,b,c,且C=,c=2.当取得最大值时,的值为 .
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cosA=,cos∠ACB=,BC=13.
(1)求cosB的值;
(2)求CD的长.
16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求证:AE⊥EF.
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P在x轴上方).
(1)若QF=2FP,求直线l的方程;
(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,是否存在常数λ,使得k1=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
18.某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m且≥,设∠EOF=θ,透光区域的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式,并求出定义域;
(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边AB的长度.
19.已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,S2=4,对任意的n∈N*,都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,对任意的n∈N*,都有Sn>Tn.证明:an>bn;
(3)若{bn}为等比数列,b1=a1,b2=a2,求满足=ak(k∈N*)的n值.
20.已知函数f(x)=+xlnx(m>0),g(x)=lnx﹣2.
(1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数h(x)=f(x)﹣xg(x)﹣,x>0.若函数y=h(h(x))的最小值是,求m的值;
(3)若函数f(x),g(x)的定义域都是[1,e],对于函数f(x)的图象上的任意一点A,在函数g(x)的图象上都存在一点B,使得OA⊥OB,其中e是自然对数的底数,O为坐标原点,求m的取值范围.
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲
21.如图,圆O的弦AB,MN交于点C,且A为弧MN的中点,点D在弧BM上,若∠ACN=3∠ADB,求∠ADB的度数.
B.选修4-2:矩阵与变换
22.已知矩阵A=,若A=,求矩阵A的特征值.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
23.在极坐标系中,已知点A(2,),点B在直线l:ρcosθ+ρsinθ=0(0≤θ≤2π)上,当线段AB最短时,求点B的极坐标.
D.选修4-5:不等式选讲
24.已知a,b,c为正实数,且a3+b3+c3=a2b2c2,求证:a+b+c≥3.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
25.在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M,线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.
(Ⅰ)求点P的轨迹Г的方程;
(Ⅱ)过动点M作曲线Г的两条切线,切点分别为A,B,求证:∠AMB的大小为定值.
[选修4-5:不等式选讲]
26.已知集合U={1,2,…,n}(n∈N*,n≥2),对于集合U的两个非空子集A,B,若A∩B=∅,则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”).
(1)写出f(2),f(3),f(4)的值;
(2)求f(n).
2017年江苏省连云港市、徐州市、宿迁市高考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题(每题5分,满分70分,江答案填在答题纸上)
1.已知集合A={﹣1,1,2},B={0,1,2,7},则集合A∪B中元素的个数为 5 .
【考点】1D:并集及其运算.
【分析】利用并集定义直接求解.
【解答】解:∵集合A={﹣1,1,2},B={0,1,2,7},
∴A∪B={﹣1,0,1,2,7},
集合A∪B中元素的个数为5.
故答案为:5.
2.设a,b∈R, =a+bi(i为虚数单位),则b的值为 1 .
【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出.
【解答】解:∵a,b∈R, =a+bi(i为虚数单位),
∴a+bi===i.
∴b=1.
故答案为:1.
3.在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣=1的离心率是 .
【考点】KC:双曲线的简单性质.
【分析】根据题意,由双曲线的方程可得a2、b2的值,由双曲线的几何性质可得c的值,进而由双曲线的离心率公式计算可得答案.
【解答】解:根据题意,双曲线的方程为﹣=1,
则a2=4,b2=3,
则c==,
则其离心率e==;
故答案为:.
4.现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.将这三张卡片随机排序,则能组成“中国梦”的概率是 .
【考点】CC:列举法计算基本事件数及事件发生的概率.
【分析】将这三张卡片随机排序,基本事件总数为:n==6,能组成“中国梦”包含的基本事件个数m=1,由此能求出能组成“中国梦”的概率.
【解答】解:现有三张识字卡片,分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字.
将这三张卡片随机排序,基本事件总数为:n==6,
能组成“中国梦”包含的基本事件个数m=1,
∴能组成“中国梦”的概率p=.
故答案为:.
5.如图是一个算法的流程图,则输出的k的值为 6 .
【考点】EF:程序框图.
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论.
【解答】解:分析流程图所示的顺序知:
k=2,22﹣14+10=0,
不满足条件k2﹣7k+10>0,执行循环体;
k=3,32﹣21+10=﹣2,
不满足条件k2﹣7k+10>0,执行循环体;
k=4,42﹣28+10=﹣2,
不满足条件k2﹣7k+10>0,执行循环体;
k=5,52﹣35+10=0,
不满足条件k2﹣7k+10>0,执行循环体;
k=6,62﹣42+10=4,
满足条件k2﹣7k+10>0,退出循环,输出k=6.
故答案为:6.
6.已知一组数据3,6,9,8,4,则该组数据的方差是 5.2 .
【考点】BC:极差、方差与标准差.
【分析】利用定义求这组数据的平均数和方差即可.
【解答】解:数据3,6,9,8,4的平均数为:
=×(3+6+9+8+4)=6,
方差为:
s2=×[(3﹣6)2+(6﹣6)2+(9﹣6)2+(8﹣6)2+(4﹣6)2]= =5.2.
故答案为:5.2.
7.已知实数x,y满足,则的取值范围是 [,] .
【考点】7C:简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,再由的几何意义,即可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率求解.
【解答】解:由约束条件作出可行域如图,
的几何意义为可行域内的动点与定点O(0,0)连线的斜率,
联立方程组求得A(3,﹣1),B(3,2),
又,.
∴的取值范围是[,].
故答案为:[,].
8.若函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<)的图象过点(0,),则函数f(x)在[0,π]上的单调减区间是 [,]【或(,
)也正确】 .
【考点】H2:正弦函数的图象.
【分析】根据函数f(x)图象过点(0,)求出φ的值,写出f(x)解析式,
再根据正弦函数的图象与性质求出f(x)在[0,π]上的单调减区间.
【解答】解:函数f(x)=2sin(2x+φ)(0<φ<)的图象过点(0,),
∴f(0)=2sinφ=,
∴sinφ=;
又∵0<φ<,
∴φ=,
∴f(x)=2sin(2x+);
令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,
∴+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z;
令k=0,得函数f(x)在[0,π]上的单调减区间是[,].
故答案为:[,]【或(,)也正确】.
9.在公比为q且各项均为正数的等比数列{an}中,Sn为{an}的前n项和.若a1=,且S5=S2+2,则q的值为 .
【考点】89:等比数列的前n项和.
【分析】由a1=,且S5=S2+2,q>0.可得a3+a4+a5=(1+q+q2)=2,代入化简解出即可得出.
【解答】解:∵a1=,且S5=S2+2,q>0.
∴a3+a4+a5=(1+q+q2)=2,
∴q2+q﹣1=0,
解得q=.
故答案为:.
10.如图,在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AB=AA1=3,点P在棱CC1上,则三棱锥P﹣ABA1的体积为 .
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.
【分析】点P到平面ABA1的距离即为△ABC的高,由此能求出三棱锥P﹣ABA1的体积.
【解答】解:∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AA1=3,点P在棱CC1上,
∴点P到平面ABA1的距离即为△ABC的高,即为h==,
==,
三棱锥P﹣ABA1的体积为:V===.
故答案为:.
11.如图,已知正方形ABCD的边长为2,BC平行于x轴,顶点A,B和C分别在函数y1=3logax,y2=2logax和y3=logax(a>1)的图象上,则实数a的值为 .
【考点】4N:对数函数的图象与性质.
【分析】设B(x,2logax),利用BC平行于x轴得出C(x2,2logax),利用AB垂直于x轴 得出 A(x,3logax),则正方形ABCD 的边长从横纵两个角度表示为logax=x2﹣x=2,求出x,再求a 即可..
【解答】解:设B(x,2logax),∵BC平行于x轴,∴C(x′,2logax)即logax′=2logax,∴x′=x2,
∴正方形ABCD边长=|BC|=x2﹣x=2,解得x=2.
由已知,AB垂直于x轴,∴A(x,3logax),正方形ABCD边长=|AB|=3logax﹣2logax=logax=2,即loga2=2,∴a=,
故答案为:.
12.已知对于任意的x∈(﹣∞,1)∪(5,+∞),都有x2﹣2(a﹣2)x+a>0,则实数a的取值范围是 (1,5] .
【考点】3W:二次函数的性质.
【分析】对△进行讨论,利用二次函数的性质列不等式解出.
【解答】解:△=4(a﹣2)2﹣4a=4a2﹣20a+16=4(a﹣1)(a﹣4).
(1)若△<0,即1<a<4时,x2﹣2(a﹣2)x+a>0在R上恒成立,符合题意;
(2)若△=0,即a=1或a=4时,方程x2﹣2(a﹣2)x+a>0的解为x≠a﹣2,
显然当a=1时,不符合题意,当a=4时,符合题意;
(3)当△>0,即a<1或a>4时,∵x2﹣2(a﹣2)x+a>0在(﹣∞,1)∪(5,+∞)恒成立,
∴,解得3<a≤5,
又a<1或a>4,∴4<a≤5.
综上,a的范围是(1,5].
故答案为(1,5].
13.在平面直角坐标系xOy中,圆C:(x+2)2+(y﹣m)2=3,若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB=2GO,则实数m的取值范围是 ∅ .
【考点】J9:直线与圆的位置关系.
【分析】求出G的轨迹方程,得两圆公共弦,由题意,圆心(﹣2,m)到直线的距离d=<,即可求出实数m的取值范围.
【解答】解:设G(x,y),则
∵AB=2GO,
∴2=2,
化简可得x2+y2+2x﹣my+m2+=0,
两圆方程相减可得2x﹣my+m2+=0
由题意,圆心(﹣2,m)到直线的距离d=<,无解,
故答案为∅.
14.已知△ABC三个内角A,B,C的对应边分别为α,b,c,且C=,c=2.当取得最大值时,的值为 2+ .
【考点】9V:向量在几何中的应用.
【分析】根据正弦定理用A表示出b,代入
=2bcosA,根据三角恒等变换化简得出当取最大值时A的值,再计算sinA,sinB得出答案.
【解答】解:∵C=,∴B=﹣A,
由正弦定理得=,
∴b=sin(﹣A)=2cosA+sinA,
∴=bccosA=2bcosA=4cos2A+sin2A
=2+2cos2A+sin2A
=(sin2A+cos2A)+2
=sin(2A+)+2,
∵A+B=,∴0<A<,
∴当2A+=即A=时,取得最大值,
此时,B=﹣=
∴sinA=sin=sin()=﹣=,
sinB=sin()==.
∴==2+.
故答案为2+.
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.如图,在△ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cosA=,cos∠ACB=
,BC=13.
(1)求cosB的值;
(2)求CD的长.
【考点】HT:三角形中的几何计算.
【分析】(1)在△ABC中,求出sinA==.,sin∠ACB=.
可得cosB=﹣cos(A+∠ACB)=sinAsin∠ACB﹣cosAcosB;
(2)在△ABC中,由正弦定理得,AB=sin∠ACB.
在△BCD中,由余弦定理得,CD=.
【解答】解:(1)在△ABC中,cosA=,A∈(0,π),
所以sinA==.
同理可得,sin∠ACB=.
所以cosB=cos[π﹣(A+∠ACB)]=﹣cos(A+∠ACB)
=sinAsin∠ACB﹣cosAcos∠ACB
=;
(2)在△ABC中,由正弦定理得,AB=sin∠ACB=.
又AD=3DB,所以DB=.
在△BCD中,由余弦定理得,CD=
==9.
16.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,点E在棱PC上(异于点P,C),平面ABE与棱PD交于点F.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求证:AE⊥EF.
【考点】LZ:平面与平面垂直的性质.
【分析】(1)推导出AB∥CD,从而AB∥平面PDC,由此能证明AB∥EF.
(2)推导出AB⊥AD,从而AB⊥平面PAD,进而AB⊥AF,由AB∥EF,能证明AF⊥EF.
【解答】证明:(1)因为ABCD是矩形,所以AB∥CD.
又因为AB⊄平面PDC,CD⊂平面PDC,
所以AB∥平面PDC.
又因为AB⊂平面ABEF,平面ABEF∩平面PDC=EF,
所以AB∥EF.
(2)因为ABCD是矩形,所以AB⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,
AB⊂平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.
又AF⊂平面PAD,所以AB⊥AF.
又由(1)知AB∥EF,所以AF⊥EF.
17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: +=1的左、右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点(点P在x轴上方).
(1)若QF=2FP,求直线l的方程;
(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2,是否存在常数λ,使得k1=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.
【分析】(1)由椭圆方程求出a,b,c,可得F的坐标,设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,代入椭圆方程,求得P,Q的纵坐标,再由向量共线的坐标表示,可得m的方程,解方程可得m,进而得到直线l的方程;
(2)运用韦达定理可得y1+y2,y1y2,my1y2,由A(﹣2,0),B(2,0),P(x1,y1),Q(x2,y2),x1=my1+1,x2=my2+1,
运用直线的斜率公式,化简整理计算可得常数λ的值,即可判断存在.
【解答】解:(1)因为a2=4,b2=3,所以c==1,
所以F的坐标为(1,0),
设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为x=my+1,
代入椭圆方程+=1,得(4+3m2)y2+6my﹣9=0,
则y1=,y2=.
若QF=2FP,即=2,
则+2•=0,
解得m=,
故直线l的方程为x﹣2y﹣=0.
(2)由(1)知,y1+y2=﹣,y1y2=﹣,
所以my1y2=﹣=(y1+y2),
由A(﹣2,0),B(2,0),P(x1,y1),Q(x2,y2),x1=my1+1,x2=my2+1,
所以=•===,
故存在常数λ=,使得k1=k2.
18.某景区修建一栋复古建筑,其窗户设计如图所示.圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合,且圆与矩形上下两边相切(E为上切点),与左右两边相交(F,G为其中两个交点),图中阴影部分为不透光区域,其余部分为透光区域.已知圆的半径为1m且≥,设∠EOF=θ,透光区域的面积为S.
(1)求S关于θ的函数关系式,并求出定义域;
(2)根据设计要求,透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好.当该比值最大时,求边AB的长度.
【考点】HN:在实际问题中建立三角函数模型.
【分析】(1)过点O作OH⊥FG于H,写出透光面积S关于θ的解析式S,并求出θ的取值范围;
(2)计算透光区域与矩形窗面的面积比值,构造函数,利用导数判断函数的单调性,
求出比值最大时对应边AB的长度.
【解答】解:(1)过点O作OH⊥FG于H,∴∠OFH=∠EOF=θ;
又OH=OFsinθ=sinθ,
FH=OFcosθ=cosθ,
∴S=4S△OFH+4S阴影OEF=2sinθcosθ+4×θ=sin2θ+2θ;
∵≥,∴sinθ≥,∴θ∈[,);
∴S关于θ的函数关系式为S=sin2θ+2θ,θ∈[,);
(2)由S矩形=AD•AB=2×2sinθ=4sinθ,
∴=+,
设f(θ)=+,θ∈[,),
则f′(θ)=﹣sinθ+
=
=
=;
∵≤θ<,∴sin2θ≤,
∴sin2θ﹣θ<0,
∴f′(θ)<0,
∴f(θ)在θ∈[,)上是单调减函数;
∴当θ=时f(θ)取得最大值为+,
此时AB=2sinθ=1(m);
∴S关于θ的函数为S=sin2θ+2θ,θ∈[,);所求AB的长度为1m.
19.已知两个无穷数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,a1=1,S2=4,对任意的n∈N*,都有3Sn+1=2Sn+Sn+2+an.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若{bn}为等差数列,对任意的n∈N*,都有Sn>Tn.证明:an>bn;
(3)若{bn}为等比数列,b1=a1,b2=a2,求满足=ak(k∈N*)的n值.
【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.
【分析】(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求;
(2)方法一、设数列{bn}的公差为d,求出Sn,Tn.由恒成立思想可得b1<1,求出an﹣bn,判断符号即可得证;
方法二、运用反证法证明,设{bn}的公差为d,假设存在自然数n0≥2,使得a≤b,推理可得d>2,作差Tn﹣Sn,推出大于0,即可得证;
(3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得Sn,Tn,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.
【解答】解:(1)由3Sn+1=2Sn+Sn+2+an,得2(Sn+1﹣Sn)=Sn+2﹣Sn+1+an,
即2an+1=an+2+an,所以an+2﹣an+1=an+1﹣an.
由a1=1,S2=4,可知a2=3.
所以数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列.
故{an}的通项公式为an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,n∈N*.
(2)证法一:设数列{bn}的公差为d,
则Tn=nb1+n(n﹣1)d,
由(1)知,Sn=n(1+2n﹣1)=n2.
因为Sn>Tn,所以n2>nb1+n(n﹣1)d,
即(2﹣d)n+d﹣2b1>0恒成立,
所以,即,
又由S1>T1,得b1<1,
所以an﹣bn=2n﹣1﹣b1﹣(n﹣1)d=(2﹣d)n+d﹣1﹣b1≥2﹣d+d﹣1﹣b1=1﹣b1>0.
所以an>bn,得证.
证法二:设{bn}的公差为d,假设存在自然数n0≥2,使得a≤b,
则a1+2(n0﹣1)≤b1+(n0﹣1)d,即a1﹣b1≤(n0﹣1)(d﹣2),
因为a1>b1,所以d>2.
所以Tn﹣Sn=nb1+n(n﹣1)d﹣n2=(d﹣1)n2+(b1﹣d)n,
因为d﹣1>0,所以存在N∈N*,当n>N时,Tn﹣Sn>0恒成立.
这与“对任意的n∈N*,都有Sn>Tn”矛盾!
所以an>bn,得证.
(3)由(1)知,Sn=n2.因为{bn}为等比数列,
且b1=1,b2=3,
所以{bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.
所以bn=3n﹣1,Tn=(3n﹣1).
则===3﹣,
因为n∈N*,所以6n2﹣2n+2>0,所以<3.
而ak=2k﹣1,所以=1,即3n﹣1﹣n2+n﹣1=0(*).
当n=1,2时,(*)式成立;
当n≥2时,设f(n)=3n﹣1﹣n2+n﹣1,
则f(n+1)﹣f(n)=3n﹣(n+1)2+n﹣(3n﹣1﹣n2+n﹣1)=2(3n﹣1﹣n)>0,
所以0=f(2)<f(3)<…<f(n)<…,
故满足条件的n的值为1和2.
20.已知函数f(x)=+xlnx(m>0),g(x)=lnx﹣2.
(1)当m=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数h(x)=f(x)﹣xg(x)﹣,x>
0.若函数y=h(h(x))的最小值是,求m的值;
(3)若函数f(x),g(x)的定义域都是[1,e],对于函数f(x)的图象上的任意一点A,在函数g(x)的图象上都存在一点B,使得OA⊥OB,其中e是自然对数的底数,O为坐标原点,求m的取值范围.
【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性.
【分析】(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)求出h(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出h(x)的最小值,从而求出m的值即可;
(3)根据OA和OB的关系,问题转化为﹣x2lnx≤m≤x2(e﹣lnx)在[1,e]上恒成立,设p(x)=﹣x2lnx,根据函数的单调性求出m≥p(1)=,设q(x)=x2(e﹣lnx),根据函数的单调性求出m≤q(1),从而求出m的范围即可.
【解答】解:(1)当m=1时,f(x)=+xlnx,f′(x)=+lnx+1,
因为f′(x)在(0,+∞)上单调增,且f′(1)=0,
所以当x>1时,f′(x)>0;当0<x<1时,f′(x)<0,
所以函数f(x)的单调增区间是(1,+∞).
(2)h(x)=+2x﹣,则h′(x)=,令h′(x)=0,得x=,
当0<x<时,h′(x)<0,函数h(x)在(0,)上单调减;
当x>时,h′(x)>0,函数h(x)在(,+∞)上单调增.
所以[h(x)]min=h()=2m﹣,
①当(2m﹣1)≥,即m≥时,函数y=h(h(x))的最小值
h(2m﹣)= [+2(2﹣1)﹣1]= ,
即17m﹣26+9=0,解得=1或=(舍),所以m=1;
②当0<(2﹣1)<,即<m<时,
函数y=h(h(x))的最小值h()=(2﹣1)=,解得=(舍),
综上所述,m的值为1.
(3)由题意知,KOA=+lnx,KOB=,
考虑函数y=,因为y′=在[1,e]上恒成立,
所以函数y=在[1,e]上单调增,故KOB∈[﹣2,﹣],
所以KOA∈[,e],即≤+lnx≤e在[1,e]上恒成立,
即﹣x2lnx≤m≤x2(e﹣lnx)在[1,e]上恒成立,
设p(x)=﹣x2lnx,则p′(x)=﹣2lnx≤0在[1,e]上恒成立,
所以p(x)在[1,e]上单调减,所以m≥p(1)=,
设q(x)=x2(e﹣lnx),
则q′(x)=x(2e﹣1﹣2lnx)≥x(2e﹣1﹣2lne)>0在[1,e]上恒成立,
所以q(x)在[1,e]上单调增,所以m≤q(1)=e,
综上所述,m的取值范围为[,e].
【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲
21.如图,圆O的弦AB,MN交于点C,且A为弧MN的中点,点D在弧BM上,若∠ACN=3∠ADB,求∠ADB的度数.
【考点】NB:弦切角.
【分析】连结AN,DN.利用圆周角定理,结合∠ACN=3∠ADB,求∠ADB的度数.
【解答】解:连结AN,DN.
因为A为弧MN的中点,所以∠ANM=∠ADN.
而∠NAB=∠NDB,
所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,
即∠BCN=∠ADB.
又因为∠ACN=3∠ADB,
所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,
故∠ADB=45°.
B.选修4-2:矩阵与变换
22.已知矩阵A=,若A=,求矩阵A的特征值.
【考点】OV:特征值与特征向量的计算.
【分析】利用矩阵的乘法,求出a,d,利用矩阵A的特征多项式为0,求出矩阵A的特征值.
【解答】解:因为A==,
所以,解得a=2,d=1.
所以矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ﹣2)(λ﹣1)﹣6=(λ﹣4)(λ+1),
令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值为λ=4或﹣1.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
23.在极坐标系中,已知点A(2,),点B在直线l:ρcosθ+ρsinθ=0(0≤θ≤2π)上,当线段AB最短时,求点B的极坐标.
【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程.
【分析】点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.AB最短时,点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点,求出交点,进而得出.
【解答】解:以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,
则点A(2,)的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.
AB最短时,点B为直线x﹣y+2=0与直线l的交点,
联立,得,所以点B的直角坐标为(﹣1,1).
所以点B的极坐标为.
D.选修4-5:不等式选讲
24.已知a,b,c为正实数,且a3+b3+c3=a2b2c2,求证:a+b+c≥3.
【考点】R6:不等式的证明.
【分析】利用基本不等式的性质进行证明.
【解答】证明:∵a3+b3+c3=a2b2c2,a3+b3+c3≥3abc,
∴a2b2c2≥3abc,∴abc≥3,
∴a+b+c≥3≥3.
当且仅当a=b=c=时,取“=”.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]
25.在平面直角坐标系xOy中,点F(1,0),直线x=﹣1与动直线y=n的交点为M,线段MF的中垂线与动直线y=n的交点为P.
(Ⅰ)求点P的轨迹Г的方程;
(Ⅱ)过动点M作曲线Г的两条切线,切点分别为A,B,求证:∠AMB的大小为定值.
【考点】K8:抛物线的简单性质.
【分析】(Ⅰ)连接PF,运用中垂线的性质可得|MP|=|PF|,再由抛物线的定义可得点P的轨迹方程;
(Ⅱ)求得M(﹣1,n),过点M的切线斜率存在,设为k,则切线方程为:y﹣n=k(x+1),联立抛物线的方程,消去y,运用相切的条件:判别式为0,再由韦达定理,结合两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,即可得证.
【解答】解:(Ⅰ)据题意,MP⊥直线x=﹣1,
∴|MP|为点P到直线x=﹣1的距离,
连接PF,∵P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,
∴|MP|=|PF|,
∴P点的轨迹是抛物线,焦点为F(1,0),准线为直线x=﹣1,
∴曲线Г的方程为y2=4x;
(Ⅱ)证明:据题意,M(﹣1,n),过点M的切线斜率存在,设为k,
则切线方程为:y﹣n=k(x+1),
联立抛物线方程
可得ky2﹣4y+4k+4n=0,
由直线和抛物线相切,
可得△=16﹣4k(4k+4n)=0,
即k2+kn﹣1=0,(*)
∵△=n2+4>0,∴方程(*)存在两个不等实根,设为k1,k2,
∵k1=kAM,k2=kBM,
由方程(*)可知,kAM•kBM=k1•k2=﹣1,
∴切线AM⊥BM,∴∠AMB=90°,结论得证.
[选修4-5:不等式选讲]
26.已知集合U={1,2,…,n}(n∈N*,n≥2),对于集合U的两个非空子集A,B,若A∩B=∅,则称(A,B)为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为f(n)(视(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”).
(1)写出f(2),f(3),f(4)的值;
(2)求f(n).
【考点】1H:交、并、补集的混合运算.
【分析】(1)直接由“互斥子集”的概念求得f(2),f(3),f(4)的值;
(2)由题意,任意一个元素只能在集合A,B,C=CU(A∪B)之一中,求出这n个元素在集合A,B,C中的个数,再求出A、B分别为空集的种数,则f(n)可求.
【解答】解:(1)f(2)=1,f(3)=6,f(4)=25;
(2)任意一个元素只能在集合A,B,C=CU(A∪B)之一中,
则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种;
其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,
∴A,B均为非空子集的种数为3n﹣2n+1+1,
又(A,B)与(B,A)为一组“互斥子集”,
∴f(n)=.