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  • 2021-05-13 发布

高考数学立体几何理科专题01线面角

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‎2018届高考数学立体几何(理科)专题01 线面角 ‎1.如图,等腰梯形中, , 于, 于,且, ,将和分别沿折起,使两点重合,记为点,得到一个四棱锥,点分别是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证: 平面;‎ ‎(Ⅱ)求证: ;‎ ‎(Ⅲ)求直线与平面所成的角的大小. ‎ ‎2.如图,在直角梯形中, ‎ ‎, 是的中点,将沿折起,使得.‎ ‎(Ⅰ)若是的中点,求证: 平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小.‎ ‎3.如图,在矩形中, , , 是的中点,以为折痕将向上折起, ‎ 变为,且平面平面.‎ ‎(Ⅰ)求证: ;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ‎4.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2.‎ ‎(1)求证:AB⊥PC;‎ ‎(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角MACD的大小为45°,如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.‎ ‎5.如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,‎ ‎,.将△沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线和所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎6.‎ 已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.‎ ‎(1)为中点,在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由;‎ ‎(2)求二面角的余弦值. ‎ ‎2018届高考数学立体几何(理科)专题01 线面角(教师版)‎ ‎1.如图,等腰梯形中, , 于, 于,且, ,将和分别沿折起,使两点重合,记为点,得到一个四棱锥,点分别是的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证: 平面;‎ ‎(Ⅱ)求证: ;‎ ‎(Ⅲ)求直线与平面所成的角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析(3)‎ 试题解析:证明:(Ⅰ)连结,因为分别是的中点,所以,‎ 因为是的中点, , ,所以,所以,‎ 所以四边形是平行四边形,所以,‎ 又平面, 平面,所以平面.‎ 以为原点,以为坐标轴建立空间直角坐标系,‎ 则,所以,‎ 所以,所以.‎ 解:(Ⅲ),‎ 所以,‎ 所以,所以直线与平面所成角的正弦值为,‎ 所以直线与平面所成角为.‎ ‎2.如图,在直角梯形中, , 是的中点,将沿折起,使得.‎ ‎(Ⅰ)若是的中点,求证: 平面;‎ ‎(Ⅱ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅲ)求二面角的大小.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析(3)‎ ‎(Ⅱ)由已知可得又因为平面所以平面 因为平面所以平面平面 解:(Ⅲ)由(Ⅱ)知, 平面所以,又因为所以平面 所以以为原点,以所在的直线分别为轴, 轴, 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则点, , , , .‎ 所以,,.设平面的法向量为,‎ 所以即令,解得.‎ 设平面的法向量为,所以即令,解得.‎ 所以.‎ 由图可知,二面角为钝角,所以二面角的大小为.‎ ‎3.如图,在矩形中, , , 是的中点,以为折痕将向上折起, 变为,且平面平面.‎ ‎(Ⅰ)求证: ;(Ⅱ)求二面角的大小.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ) .‎ 试题解析:(Ⅰ)证明:∵, ,∴,∴, ‎ 取的中点,连结,则, ‎ ‎∵ 平面平面,∴平面,∴ ,从而平面,∴‎ ‎(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,‎ 设为平面的法向量,‎ 则可以取 因此, ,有,即平面 平面,故二面角的大小为.‎ ‎4.如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2.(1)求证:AB⊥PC;‎ ‎(2)在线段PD上,是否存在一点M,使得二面角MACD的大小为45°,如果存在,求BM与平面MAC所成角的正弦值,如果不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)‎ ‎【解析】‎ 所以∠BAC=90°,即AB⊥AC,因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,又PA∩AC=A,所以AB⊥平面PAC,所以AB⊥PC.‎ ‎(2)存在,理由如下:取BC的中点E,则AE⊥BC,以A为坐标原点,AE,AD,AP所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),‎ D(0,2,0), P(0,0,2),B(2,-2,0),=(0,2,-2),=(2,2,0).‎ 设=t (0<t<1),则点M的坐标为(0,2t,2-2t),所以=(0,2t,2-2t).‎ 设平面MAC的法向量是n=(x,y,z),‎ 则即令x=1,得y=-1,z=,则n=.‎ 又m=(0,0,1)是平面ACD的一个法向量,所以|cos〈m,n〉|===,‎ ‎5.如图1,在△中,,分别为,的中点,为的中点,,.将△沿折起到△的位置,使得平面平面,如图2.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值;‎ ‎(Ⅲ)线段上是否存在点,使得直线和所成角的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ).(Ⅲ).‎ ‎【解析】试题分析:第一问根据等腰三角形的特征,可以得出,再结合面面垂直的性质定理,可以得出平面,再根据线面垂直的性质,可以得出以 ,之后根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出结果;第二问根据题中的条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求得结果;第三问关于是否存在类问题,都是假设其存在,结合向量所成角的余弦值求得结果.‎ 所以 平面,所以 .‎ ‎(Ⅱ)取的中点,连接,所以.由(Ⅰ)得,.‎ 如图建立空间直角坐标系.由题意得,,,,.‎ 所以,,.设平面的法向量为,‎ 则即令,则,,所以.‎ 设直线和平面所成的角为,则.‎ 所以 直线和平面所成角的正弦值为.‎ 所以.令,‎ 整理得.解得,舍去.所以 线段上存在点适合题意,且.‎ ‎6.已知某几何体的直观图和三视图如下图所示,其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.(1)为中点,在线段上是否存在一点,使得平面?若存在,求出的长;若不存在,请说明理由;(2)求二面角的余弦值. ‎ ‎【答案】(1)存在;(2).‎ ‎.‎ ‎(1)设平面的法向量,∵,∴,‎ ‎∴令,可解得平面的一个法向量,设,由于,则,又∵平面,∴,即,‎ ‎∴在线段上存在一点,使得平面,此时;‎ ‎∴令,可解得平面的一个法向量,∴.‎ 由图可知,所求二面角为锐角,即二面角余弦值为.‎