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- 2021-05-13 发布
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函数的单调性与最大(小)值
知识梳理
1写出函数单调性的定义?
2. 定义法证明函数单调性的步骤
____________________________________________________________________________
3函数单调性的判断方法:(1)定义法,(2)导数法(3)图像和性质
重点难点聚焦:
1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,因此先求函数的定义域。单调区间是定义域的子集。
2、函数的单调性是对区间而言的,如果函数f(x)在区间(a,b)与(c,d)上都是单调递增(或递减),但不能说函数f(x)在区间(a,b) ∪(c,d)上一定是单调递增(或递减)。
再现型题组
1讨论函数y=kx的单调性。
2.下列函数中,在区间上递增的是( )
A B C y= D
3. 函数 y= (x>0)的单调增区间是 ( )
A. (0,+∞) B. (-1,+∞) C.(-∞,-1) D(-∞,-3]
4.函数是减函数的区间是 ( )
A.(2,+∞) B (-∞,2) C.(- ∞,0) D .(0,2)
5、.若函数在区间上的最大值是最小值的3倍,则a=( )
A. B. C. D.
6、设函数是减函数,且,下列函数中为增函数的是( )
A B C D
巩固型题组
7、求函数f(x)=的单调区间,并证明其单调性。
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8.定义在上的函数为减函数,求满足不等式的的值的集合。
9、(1)已知函数在区间上是减函数,求实数的取值范围;
(2)已知的单调递减区间是,求实数的取值范围。
提高型题组
10、已知函数
(1)若是增函数,求a的取值范围;
(2)求上的最大值.
11、已知在区间上是增函数,在区间上是减函数,又.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若在区间上恒有成立,求的取值范围.
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反馈型题组
12、下列函数中,在区间上是增函数的是( )
A B C D
13、.函数上的最大值与最小值之和为a,则a的值为( )
A B C 2 D 4
14.函数的递减区间为 ( )
A.(1,+) B.(-,] C.(,+) D.(-,]
15、若函数在区间内单调递增,则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
16、已知(是常数),在上有最大值3,那么在 上的最小值是 ( )
A. B. C. D.
17、已知函数在区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围是( )
A、[ 1,+∞) B、[0,2] C、(-∞,2] D、[1,2]
18、若函数f (x) = 4x3-ax+3的单调递减区间是,则实数a的值为 .
19、已知函数的值域为R,则实数的取值范围是_____________,若定义域为R,则实数的取值范围是_____________。
20、设函数
(Ⅰ)讨论的单调性;
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(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值.
知识拓展.(求值域的方法)
1.配方法――二次函数(二次函数在给出区间上的最值有两类:一是求闭区间上的最值;二是求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。求二次函数的最值问题,勿忘数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系),
如(1)求函数的值域(答:[4,8]);
(2)当时,函数在时取得最大值,则的取值范围是___(答:);
2.换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数,其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,
如(1)的值域为_____(答:);
(2)的值域为_____(答:)(令,。运用换元法时,要特别要注意新元的范围);
(3)的值域为____(答:);
(4)的值域为____(答:);
3.函数有界性法――直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定所求函数的值域,最常用的就是三角函数的有界性,
如求函数.,的值域(答:.、);
4.单调性法――利用一次函数,反比例函数,指数函数,对数函数等函数的单调性,如求,,(的值域为______(答:、、.);
5.数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离、直线斜率.等.如(1)已知点在圆上,求及的取值范围(答:、);
(2)求函数的值域(答:);
(3)求函数及的值域(答:、)注意:求两点距离之和时,要将函数式变形,使两定点在轴的两侧,而求两点距离之差时,则要使两定点在轴的同侧。
6.判别式法――
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对分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其它方法进行求解,不必拘泥在判别式法上,也可先通过部分分式后,再利用均值不等式:
①型,可直接用不等式性质,如求的值域(答:)
②型,先化简,再用均值不等式,如(1)求的值域(答:);(2)求函数的值域(答:)
③型,通常用判别式法;如已知函数的定义域为R,值域为[0,2],求常数的值(答:)
④型,可用判别式法或均值不等式法,如求的值域(答:)
7.不等式法――利用基本不等式求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设成等差数列,成等比数列,则的取值范围是____________.(答:)。
(8)导数法――一般适用于高次多项式函数,如求函数,的最小值。(答:-48)
提醒:(1)求函数的定义域、值域时,你按要求写成集合形式了吗?(2)函数的最值与值域之间有何关系?
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