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  • 2021-05-13 发布

高考全国卷Ⅱ文科数学试题及答案

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绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知集合,,则 A. B. C. D.‎ ‎3.函数的图像大致为 ‎4.已知向量,满足,,则 A.4 B.3 C.2 D.0‎ ‎5.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务,则选中的2人都是女同学的概率为 A. B. C. D.‎ ‎6.双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎7.在中,,,,则 A. B. C. D.‎ ‎8.为计算,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入 ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎9.在正方体中,为棱的中点,则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D.‎ ‎10.若在是减函数,则的最大值是 A. B. C. D.‎ ‎11.已知,是椭圆的两个焦点,是上的一点,若,且,则的离心率为 A. B. C. D.‎ ‎12.已知是定义域为的奇函数,满足.若,则 ‎ A. B.0 C.2 D.50‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。、‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为__________.‎ ‎14.若满足约束条件 则的最大值为__________.‎ ‎15.已知,则__________.‎ ‎16.已知圆锥的顶点为,母线,互相垂直,与圆锥底面所成角为,若的面积为,则该圆锥的体积为__________.‎ 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)‎ ‎ 记为等差数列的前项和,已知,.‎ ‎ (1)求的通项公式;‎ ‎ (2)求,并求的最小值.‎ ‎18.(12分)‎ ‎ 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元)的折线图.‎ 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了与时间变量的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.‎ ‎ (1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;‎ ‎ (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.‎ ‎19.(12分)‎ ‎ 如图,在三棱锥中,,,为的中点.‎ ‎ (1)证明:平面;‎ ‎ (2)若点在棱上,且,求点到平面的距离.‎ ‎20.(12分)‎ ‎ 设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,.‎ ‎ (1)求的方程;学科*网 ‎ (2)求过点,且与的准线相切的圆的方程.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数.‎ ‎ (1)若,求的单调区间;‎ ‎ (2)证明:只有一个零点.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).‎ ‎ (1)求和的直角坐标方程;‎ ‎ (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分)‎ ‎ 设函数.‎ ‎ (1)当时,求不等式的解集;‎ ‎ (2)若,求的取值范围.‎ 绝密★启用前 ‎2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A ‎7.A 8.B 9.C 10.C 11.D 12.C 二、填空题 ‎13.y=2x–2 14.9 15. 16.8π 三、解答题 ‎17.解:‎ ‎(1)设{an}的公差为d,由题意得3a1+3d=–15.‎ 由a1=–7得d=2.‎ 所以{an}的通项公式为an=2n–9.‎ ‎(2)由(1)得Sn=n2–8n=(n–4)2–16.‎ 所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为–16.‎ ‎18.解:‎ ‎(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).‎ 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 ‎=99+17.5×9=256.5(亿元).‎ ‎(2)利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 理由如下:‎ ‎(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.‎ ‎(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.‎ 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.‎ ‎19.解:‎ ‎(1)因为AP=CP=AC=4,O为AC的中点,所以OP⊥AC,且OP=.‎ 连结OB.因为AB=BC=,所以△ABC为等腰直角三角形,且OB⊥AC,OB==2.‎ 由知,OP⊥OB.‎ 由OP⊥OB,OP⊥AC知PO⊥平面ABC.‎ ‎(2)作CH⊥OM,垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH,所以CH⊥平面POM.‎ 故CH的长为点C到平面POM的距离.‎ 由题设可知OC==2,CM==,∠ACB=45°.‎ 所以OM=,CH==.‎ 所以点C到平面POM的距离为.‎ ‎20.解:‎ ‎(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x–1)(k>0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由得.‎ ‎,故.‎ 所以.‎ 由题设知,解得k=–1(舍去),k=1.‎ 因此l的方程为y=x–1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为 ‎,即.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则 解得或 因此所求圆的方程为 或.‎ ‎21.解:‎ ‎(1)当a=3时,f(x)=,f ′(x)=.‎ 令f ′(x)=0解得x=或x=.‎ 当x∈(–∞,)∪(,+∞)时,f ′(x)>0;‎ 当x∈(,)时,f ′(x)<0.‎ 故f(x)在(–∞,),(,+∞)单调递增,在(,)单调递减.‎ ‎(2)由于,所以等价于.‎ 设=,则g ′(x)=≥0,仅当x=0时g ′(x)=0,所以g(x)在(–∞,+∞)单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.‎ 又f(3a–1)=,f(3a+1)=,故f(x)有一个零点.‎ 综上,f(x)只有一个零点.‎ ‎22.解:‎ ‎(1)曲线的直角坐标方程为.‎ 当时,的直角坐标方程为,‎ 当时,的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将的参数方程代入的直角坐标方程,整理得关于的方程 ‎.①‎ 因为曲线截直线所得线段的中点在内,所以①有两个解,设为,,则.‎ 又由①得,故,于是直线的斜率.‎ ‎23.解:‎ ‎(1)当时,‎ 可得的解集为.‎ ‎(2)等价于.‎ 而,且当时等号成立.故等价于.‎ 由可得或,所以的取值范围是.‎