北京高考试题（理数解析版） 11页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数学（理科）‎ 本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 第一部分(选择题共40分)‎ 一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.‎ ‎1．已知集合A={x∈R|3x+2＞0} B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=‎ A （-，-1）B （-1，-） C （-,3）D (3,+)‎ ‎【解析】和往年一样，依然的集合(交集)运算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因为，利用二次不等式可得或画出数轴易得：．故选D．‎ ‎【答案】D ‎2．设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【解析】题目中表示的区域如图正方形所示，而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此，故选D。‎ ‎【答案】D ‎3．设a，b∈R。“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解析】当时，如果同时等于零，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经为纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到，因此想必要条件，故选B。‎ ‎【答案】B ‎4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）‎ A. 2 B .4 C.8 D. 16‎ ‎【解析】，，，，，循环结束，输出的s为8，故选C。‎ ‎【答案】‎ ‎5.如图. ∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )‎ A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD ² D.CE·EB=CD ²‎ ‎【解析】在中，∠ACB=90º，CD⊥AB于点D，所以,由切割线定理的,所以CE·CB=AD·DB。‎ ‎【答案】A ‎6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )‎ A. 24 B. 18 C. 12 D. 6‎ ‎【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇。如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况。‎ ‎【答案】B ‎7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）‎ A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12‎ ‎【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：‎ ‎，，，，因此该几何体表面积，故选B。‎ ‎【答案】B ‎8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。m值为（ ）‎ A.5 B.7 C.9 D.11‎ ‎【解析】由图可知6,7,8,9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C。‎ ‎【答案】C 第二部分(非选择题共110分)‎ 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分.‎ ‎9．直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为______。‎ ‎ 【解析】直线的普通方程，圆的普通方程为，可以直线圆相交，故有2个交点。‎ ‎【答案】2‎ ‎10．已知等差数列为其前n项和。若，，则=_______。‎ ‎【解析】因为，‎ 所以，。‎ ‎【答案】，‎ ‎11．在△ABC中，若=2，b+c=7，cosB=，则b=_______。‎ ‎【解析】在△ABC中，利用余弦定理 ，化简得：，与题目条件联立，可解得 ‎【答案】4‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为 ‎ ‎【解析】由可求得焦点坐标F(1,0)，因为倾斜角为，所以直线的斜率为，利用点斜式，直线方程为，将直线和曲线联立，因此．‎ ‎【答案】‎ ‎13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。‎ ‎【解析】根据平面向量的数量积公式，由图可知，，因此，‎ ‎，而就是向量在边上的射影，要想让最大，即让射影最大，此时E点与B点重合，射影为，所以长度为1．‎ ‎【答案】1，1‎ ‎14.已知，，若同时满足条件：‎ ‎①，或；‎ ‎②, 。‎ 则m的取值范围是_______。 ‎ ‎【解析】根据，可解得。由于题目中第一个条件的限制，或成立的限制，导致在时必须是的。当时，不能做到在时，所以舍掉。因此，作为二次函数开口只能向下，故，且此时两个根为，。为保证此条件成立，需要，和大前提取交集结果为；又由于条件2：要求，0的限制，可分析得出在时，恒负，因此就需要在这个范围内有得正数的可能，即应该比两根中小的那个大，当时，，解得，交集为空，舍。当时，两个根同为，舍。当时，，解得，综上所述．‎ ‎【答案】（lbylfx）‎ 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 已知函数。‎ ‎（1）求的定义域及最小正周期；‎ ‎（2）求的单调递增区间。‎ 解（1）：得：函数的定义域为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 得：的最小正周期为；‎ ‎ （2）函数的单调递增区间为 ‎ 则 ‎ 得：的单调递增区间为 ‎16．（本小题共14分）‎ ‎ 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2.‎ ‎(I)求证：A1C⊥平面BCDE；‎ ‎(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；‎ ‎(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由 解：（1），‎ 平面，‎ 又平面，‎ 又，‎ 平面。‎ ‎（2）如图建系，则，，，‎ ‎∴,‎ 设平面法向量为 则 ∴ ∴‎ ‎∴‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴与平面所成角的大小。‎ ‎（3）设线段上存在点，设点坐标为，则 则，‎ 设平面法向量为，‎ 则 ∴‎ ‎∴。‎ 假设平面与平面垂直，‎ 则，∴，，，‎ ‎∵，∴不存在线段上存在点，使平面与平面垂直。‎ ‎17．（本小题共13分）‎ 近年来，某市为了促进生活垃圾的风分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应分垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误额概率；‎ ‎（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为其中a＞0，=600。当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值。‎ ‎（注：，其中为数据的平均数）‎ 解：（1）由题意可知：。‎ ‎（2）由题意可知：。‎ ‎（3）由题意可知：，因此有当，，时，有 ‎．‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 已知函数，.‎ ‎（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值.‎ 解：（1）由为公共切点可得：‎ ‎，则，，‎ ‎，则，，‎ ‎①‎ 又，，‎ ‎，即，代入①式可得：．‎ ‎（2），设 则，令，解得：，；‎ ‎，，‎ 原函数在单调递增，在单调递减，在上单调递增 ‎①若，即时，最大值为；‎ ‎②若，即时，最大值为 ‎③若时，即时，最大值为．‎ 综上所述：‎ 当时，最大值为；当时，最大值为．‎ ‎19．（本小题共14分）‎ 已知曲线.‎ ‎（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；‎ ‎（2）设，曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与 曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：，，‎ 三点共线.‎ 解：（1）原曲线方程可化简得：‎ 由题意可得：，解得：‎ ‎（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，‎ ‎，解得： 由韦达定理得：①，，②‎ 设，，‎ 方程为：，则，‎ ‎，，‎ 欲证三点共线，只需证，共线 即成立，化简得：‎ 将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。（lby lfx）‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零. 记为所有这样的数表组成的集合. 对于，记为的第行各数之和（），为的第列各数之和（）；记为，，…，，，，…，中的最小值.‎ ‎（1）对如下数表，求的值；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）设数表形如 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 求的最大值；‎ ‎（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值.‎ 解：（1）由题意可知，，，，‎ ‎∴‎ ‎（2）先用反证法证明：‎ 若 则，∴‎ 同理可知，∴‎ 由题目所有数和为 即 ‎∴‎ 与题目条件矛盾 ‎∴．‎ 易知当时，存在 ‎∴的最大值为1‎ ‎（3）的最大值为.‎ 首先构造满足的：‎ ‎，‎ ‎.‎ 经计算知，中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 下面证明是最大值. 若不然，则存在一个数表，使得.‎ 由的定义知的每一列两个数之和的绝对值都不小于，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故的每一列两个数之和的绝对值都在区间中. 由于，故的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于.‎ 设中有列的列和为正，有列的列和为负，由对称性不妨设，则. 另外，由对称性不妨设的第一行行和为正，第二行行和为负.‎ 考虑的第一行，由前面结论知的第一行有不超过个正数和不少于个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于（即每个负数均不超过）. 因此 ‎，‎ 故的第一行行和的绝对值小于，与假设矛盾. 因此的最大值为。（lby lfx）‎