高考数学江西卷理最后一题研究 9页

‎08年高考数学江西卷（理）最后一题有点难 ‎22．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知函数f(x)＝＋＋，x∈(0，＋∞)．‎ ‎ （1）当a＝8时，求f(x)的单调区间；‎ ‎ （2）对任意正数a，证明：l＜f(x)＜2．‎ 令,则第(2)等价于:若a,b,c>0,abc=8求证:‎ 上式不等式(1)与2004年西部奥林匹克最后一题：‎ 设a,b,c是正数，求证：‎ 类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。‎ 另外，2003年中国数学奥林匹克第三题：‎ 给定正数n,求最小正数λ,使得对于任何 ,就有不大于λ 答案:当n≥3,λ=n-1‎ 当n=3时,令即得(1)右边的等式。‎ 江西的宋庆老师说:今天阅卷结束。该题第2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。 由此可知，（2）右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。所以第（2）小题不宜作高考题。‎ 此题也引起了张景中院士的兴趣，在 “张景中院士解江西高考压轴题”一贴中 命题人陶平生教授的证明：其中对右边不等式的证明思路基本上取自于前面提到的2003年中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。‎ ‎22．解：、当时，，求得 ，‎ 于是当时，；而当 时，．‎ 即在中单调递增，而在中单调递减．‎ ‎（2）.对任意给定的，，由，‎ 若令 ，则 … ① ，而 … ②‎ ‎（一）、先证；因为，，，‎ 又由 ，得 ．所以 ‎．‎ ‎（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则 ‎（ⅰ）、当，则，所以，因为 ，‎ ‎，此时．‎ ‎ （ⅱ）、当 …③，由①得 ,，，‎ 因为 所以 … ④‎ 同理得 …⑤ ，于是 … ⑥‎ 今证明 …⑦, 因为 ，‎ 只要证，即 ，即 ，据③，此为显然．‎ ‎ 因此⑦得证．故由⑥得 ．综上所述，对任何正数，皆有．‎ 说句实在话，该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。‎ ‎ 平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。‎ ‎2008-07-12 21:03 scpajmb 的发言： ‎ ‎ 确实，陶平生教授是不等式高手，所命那道2005年全国联赛加试第二题，大家还记忆犹新。当然，宋老师也是不等式高手。我的这个证明不是最简单的，发到这里供参考。‎