全国高考数学大题集一 25页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ x y B A O a Ｃ D 如图，曲线的方程为．以原点为圆心．以为半径的圆分别与曲线和轴的正半轴相交于点与点．直线与轴相交于点．‎ ‎（Ⅰ）求点的横坐标与点的横坐标 的关系式 ‎（Ⅱ）设曲线上点的横坐标为，‎ 求证：直线的斜率为定值．‎ 第19题图 ‎20．（本小题满分13分）‎ 生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子，6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的只数．‎ ‎（Ⅰ）写出的分布列（不要求写出计算过程）；‎ ‎（Ⅱ）求数学期望； （Ⅲ）求概率．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为，以后每年交纳的数目均比上一年增加，因此，历年所交纳的储备金数目是一个公差为的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为，那么，在第年末，第一年所交纳的储备金就变为，第二年所交纳的储备金就变为，．以表示到第年末所累计的储备金总额．‎ ‎（Ⅰ）写出与的递推关系式；‎ x y B A O a Ｃ D ‎（Ⅱ）求证：，其中是一个等比数列，是一个等差数列．‎ ‎19． 解：（Ⅰ）由题意知，．‎ 因为，所以．‎ 由于，故有．　（1）‎ 由点的坐标知，直线的方程为．‎ 又因点在直线上，故有，‎ 将（1）代入上式，得，解得．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以直线的斜率为 ‎．‎ 所以直线的斜率为定值．‎ ‎20．解：（Ⅰ）的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎（Ⅱ）数学期望为．‎ ‎（Ⅲ）所求的概率为．‎ ‎21．解：（Ⅰ）我们有．‎ ‎（Ⅱ），对反复使用上述关系式，得 ‎ ， ①‎ ‎ ②‎ ‎②①，得 ‎ ．‎ 即．如果记，‎ ‎，则．其中是以为首项，以为公比的等比数列；是以为首项，为公差的等差数列．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（北京卷）‎ ‎18．（本小题共13分）‎ ‎ 1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 10‎ ‎ 20‎ ‎ 30‎ ‎ 40‎ ‎50‎ 参加人数 活动次数 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．‎ ‎（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；‎ ‎（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．‎ ‎（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望．‎ ‎19．（本小题共13分）‎ 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．‎ ‎（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；‎ ‎（II）求面积的最大值．‎ ‎20．已知集合，‎ 其中，由中的元素构成两个相应的集合：‎ ‎，．‎ 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．‎ 若对于任意的，总有，则称集合具有性质．‎ ‎（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；‎ ‎（II）对任何具有性质的集合，证明：；‎ ‎（III）判断和的大小关系，并证明你的结论．‎ ‎18．（共13分）‎ 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．‎ ‎（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．‎ ‎（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．‎ ‎（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知 ‎ ；‎ ‎ ；‎ 的分布列：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望：．‎ ‎19．（共13分）‎ 解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为． 点的纵坐标满足方程，‎ 解得 ‎　，‎ 其定义域为．‎ ‎（II）记，则．‎ 令，得．‎ 因为当时，；当时，，所以是的最大值．‎ 因此，当时，也取得最大值，最大值为．‎ 即梯形面积的最大值为．‎ ‎20．（共13分）‎ ‎（I）解：集合不具有性质．‎ 集合具有性质，其相应的集合和是，‎ ‎．‎ ‎（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．‎ 因为，所以；‎ 又因为当时，时，，所以当时，．‎ 从而，集合中元素的个数最多为，即．‎ ‎（III）解：，证明如下：‎ ‎（1）对于，根据定义，，，且，从而．‎ 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．‎ 故与也是的不同元素．‎ 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，‎ ‎（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，‎ 故与也是的不同元素．‎ 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，‎ 由（1）（2）可知，．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理工农医类）（福建卷）‎ O y x ‎1‎ l F ‎20．（本小题满分12分）如图，已知点，‎ 直线，为平面上的动点，过作直线 的垂线，垂足为点，且．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点，已知，，求的值；‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 等差数列的前项和为．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项与前项和；‎ ‎（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎22．（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）若，试确定函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设函数，求证：．‎ ‎20． P B Q M F O A x y 解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：‎ ‎，化简得．‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为：‎ ‎．‎ 设，，又，‎ 联立方程组，消去得：‎ ‎，，故 ‎ 由，得：‎ ‎，，整理得：，，‎ ‎．‎ 解法二：（Ⅰ）由得：，‎ ‎，，．‎ 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）由已知，，得．‎ 则：．…………①‎ 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，‎ 则有：．…………②‎ 由①②得：，即．‎ ‎21．解：（Ⅰ）由已知得，，‎ ‎ 故．‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）得．‎ ‎ 假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．‎ ‎ 即． ‎ ‎ ， ．‎ ‎ 与矛盾． 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．‎ ‎22．解：（Ⅰ）由得，所以．‎ ‎ 由得，故的单调递增区间是，‎ ‎ 由得，故的单调递减区间是．‎ ‎ （Ⅱ）由可知是偶函数．‎ ‎ 于是对任意成立等价于对任意成立．‎ ‎ 由得．‎ ‎ ①当时，．‎ ‎ 此时在上单调递增． 故，符合题意．‎ ‎ ②当时，．‎ ‎ 当变化时的变化情况如下表：‎ 单调递减 极小值 单调递增 由此可得，在上，．‎ 依题意，，又．‎ 综合①，②得，实数的取值范围是．‎ ‎（Ⅲ），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 由此得，‎ 故．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）‎ 数 学（理科）‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，求a的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数，是方程的两个根（），是的导数，设，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：对任意的正整数，都有；‎ ‎（3）记，求数列的前项和． ‎ ‎20．（本题满分14分）‎ ‎ 已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。‎ 解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，‎ ‎ a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.‎ 所以实数a的取值范围是或a≥1.‎ 解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又 ‎∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x ‎∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，‎ 设，时，，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解ó∈或。‎ ‎21．（本题满分14分）‎ 已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）证明：对任意的正整数n，都有>a；‎ ‎（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。‎ 解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，‎ ‎∴；‎ ‎ （2），‎ ‎=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），‎ ‎ （3），而，即，‎ ‎，同理，，又 ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（海南、宁夏）‎ ‎20． 如图，面积为的正方形中有一个不规则的图形，可按下面方法估计的面积：在正方形中随机投掷个点，若个点中有 个点落入中，则的面积的估计值为，假设正方形的边长为2，的面积为1，并向正方形中随机投掷个点，以表示落入中的点的数目．‎ ‎（I）求的均值；‎ ‎（II）求用以上方法估计的面积时，的面积的估计值与实际值之差在区间内的概率．‎ 附表：‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 设函数 ‎（I）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；‎ ‎（II）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．‎ ‎20．解：每个点落入中的概率均为．依题意知．‎ ‎（Ⅰ）．‎ ‎（Ⅱ）依题意所求概率为，‎ ‎．‎ ‎21．解：‎ ‎（Ⅰ），依题意有，故．‎ 从而．的定义域为，当时，；当时，；当时，．‎ 从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．‎ ‎（Ⅱ）的定义域为，．‎ 方程的判别式．‎ ‎（ⅰ）若，即，在的定义域内，故的极值．‎ ‎（ⅱ）若，则或．‎ 若，，．‎ 当时，，当时，，所以无极值．‎ 若，，，也无极值．‎ ‎（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．‎ 当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．‎ 当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．‎ 综上，存在极值时，的取值范围为．‎ 的极值之和为 ‎．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ ‎19．在平面直角坐标系中，过定点作直线与抛物线（）相交于两点．‎ ‎（I）若点是点关于坐标原点的对称点，求面积的最小值；‎ ‎（II）是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．‎ A B x y N C O ‎（此题不要求在答题卡上画图）‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．‎ ‎（I）用表示，并求的最大值； （II）求证：（）．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知为正整数，‎ ‎（I）用数学归纳法证明：当时，；‎ ‎（II）对于，已知，求证，‎ 求证，；‎ ‎（III）求出满足等式的所有正整数．‎ ‎19．解法1：（Ⅰ）依题意，点的坐标为，可设，‎ N O A C B y x 直线的方程为，与联立得消去得．由韦达定理得，．‎ 于是．‎ ‎，‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，‎ 的中点为，与为直径的圆相交于点，的中点为，‎ N O A C B y x l 则，点的坐标为．‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ 解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦长公式得 ‎，‎ 又由点到直线的距离公式得．‎ 从而，‎ 当时，．‎ ‎（Ⅱ）假设满足条件的直线存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为，‎ 将直线方程代入得，‎ 则．‎ 设直线与以为直径的圆的交点为，‎ 则有．‎ 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在，其方程为，‎ 即抛物线的通径所在的直线．‎ ‎20．解：（Ⅰ）设与在公共点处的切线相同．‎ ‎，，由题意，．‎ 即由得：，或（舍去）．‎ 即有．‎ 令，则．于是 当，即时，；‎ 当，即时，．‎ 故在为增函数，在为减函数，‎ 于是在的最大值为．‎ ‎（Ⅱ）设，‎ 则．‎ 故在为减函数，在为增函数，‎ 于是函数在上的最小值是．‎ 故当时，有，即当时，．‎ ‎21．解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：‎ ‎（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，‎ 因为，所以左边右边，原不等式成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，‎ ‎，，于是在不等式两边同乘以得 ‎，‎ 所以．即当时，不等式也成立．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．‎ ‎（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，‎ 于是，．‎ ‎（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，‎ ‎，‎ ‎．‎ 即．即当时，不存在满足该等式的正整数．‎ 故只需要讨论的情形：‎ 当时，，等式不成立；‎ 当时，，等式成立；‎ 当时，，等式成立；‎ 当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；‎ 当时，同的情形可分析出，等式不成立．‎ 综上，所求的只有．‎ 解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：‎ 当，且时，，．　　①‎ ‎（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；‎ ‎（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，‎ 因为，所以．又因为，所以．‎ 于是在不等式两边同乘以得 ‎，‎ 所以．即当时，不等式①也成立．‎ 综上所述，所证不等式成立．‎ ‎（Ⅱ）证：当，时，，，‎ 而由（Ⅰ），，‎ ‎．‎ ‎（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，‎ 即有．　　　　　②‎ 又由（Ⅱ）可得 ‎，与②式矛盾．‎ 故当时，不存在满足该等式的正整数．‎ 下同解法1．‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元．已知，，，．‎ ‎（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；‎ ‎（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．‎ ‎（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论．‎ Ｏ A E D B H P ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于 两点．‎ ‎（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；‎ ‎（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…．‎ ‎（I）证明：数列（）是常数数列；‎ ‎（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；‎ ‎（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增．‎ ‎19．解：（I）如图，，，，‎ 由三垂线定理逆定理知，，所以是 山坡与所成二面角的平面角，则，‎ ‎．‎ 设，．则 ‎．‎ 记总造价为万元，‎ 据题设有 当，即时，总造价最小．‎ ‎（II）设，，总造价为万元，根据题设有 ‎．‎ 则，由，得．‎ 当时，，在内是减函数；‎ 当时，，在内是增函数．‎ 故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元．‎ ‎（III）解法一：不存在这样的点，．‎ 事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于 与之间．故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于（I）、（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点 分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．‎ 解法二：同解法一得 ‎．‎ 当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一．‎ ‎20．解：由条件知，，设，．‎ 解法一：（I）设，则则，，‎ ‎，由得 即 于是的中点坐标为．‎ 当不与轴垂直时，，即．‎ 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ‎，即．‎ 将代入上式，化简得．‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．‎ 所以点的轨迹方程是．‎ ‎（II）假设在轴上存在定点，使为常数．‎ 当不与轴垂直时，设直线的方程是．‎ 代入有．‎ 则是上述方程的两个实根，所以，，‎ 于是 ‎．‎ 因为是与无关的常数，所以，即，此时=．‎ 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，‎ 此时．‎ 故在轴上存在定点，使为常数．‎ 解法二：（I）同解法一的（I）有 当不与轴垂直时，设直线的方程是．‎ 代入有．‎ 则是上述方程的两个实根，所以．‎ ‎． ‎ 由①②③得．…………………………………………………④‎ ‎．……………………………………………………………………⑤‎ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 ‎．整理得．‎ 当时，点的坐标为，满足上述方程．‎ 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．‎ 故点的轨迹方程是．‎ ‎（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，‎ 当不与轴垂直时，由（I）有，．‎ 以上同解法一的（II）．‎ ‎21．解：（I）当时，由已知得．‎ 因为，所以． …… ①‎ 于是． ……②‎ 由②－①得． …… ③‎ 于是． …… ④‎ 由④－③得， …… ⑤‎ 所以，即数列是常数数列．‎ ‎（II）由①有，所以．由③有，，所以，．‎ 而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，‎ 所以，，，‎ 数列是单调递增数列且对任意的成立．‎ 且 ‎．‎ 即所求的取值集合是．‎ ‎（III）解法一：弦的斜率为 任取，设函数，则 记，则，‎ 当时，，在上为增函数，‎ 当时，，在上为减函数，‎ 所以时，，从而，所以在和上都是增函数．‎ 由（II）知，时，数列单调递增，‎ 取，因为，所以．‎ 取，因为，所以．‎ 所以，即弦的斜率随单调递增．‎ 解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，‎ 所以，．‎ 故，即弦的斜率随单调递增．‎