高考理科数学试题及参考答案重庆卷 11页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)‎ 数学(理科)‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。‎ ‎2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。‎ ‎3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。‎ ‎4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎ 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.‎ 第I卷（选择题）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．设复数是纯虚数，则=（ ）‎ A． B． C ． D． ‎ ‎2．已知命题“若，则”，则命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎ ‎3．要完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、200户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；② 从某中学的5名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况．宜采用的方法依次为（ ） ‎ A．①简单随机抽样调查，②系统抽样 B．①分层抽样，②简单随机抽样 ‎ ‎ C．①系统抽样，② 分层抽样 D．①② 都用分层抽样 ‎ ‎4．如图，一个几何体的三视图都是边长为1的正方形，那么这个几何体的体积为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎5．关于函数函数，以下结论正确的是（ ） ‎ A．的最小正周期是，在区间是增函数 ‎ B．的最小正周期是，最大值是2 ‎ C．的最小正周期是，最大值是 ‎ D．的最小正周期是，在区间是增函数 ‎6．某人欲购铅笔和圆珠笔共若干只，已知铅笔1元一只，圆珠笔2元一只．要求铅笔不超 过2只，圆珠笔不超过2只，但铅笔和圆珠笔总数不少于2只，则支出最少和最多的钱数 分别是（ ）‎ A．2元，6元 B．2元，5元 C．3元，6元 D． 3元，5元 ‎7．已知F1 、F2分别是双曲线（a>0,b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的一点，‎ 若,且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（ ）‎ ‎ A．2 B． ‎3 ‎C． 4 D． 5‎ 开始 输入 输入区间 输出区间 结束 N N Y Y ‎8．函数的最大值是（ ）‎ A ． B． C ． D． ‎ 第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. ‎ ‎（一）必做题（9—12题）‎ ‎9．已知集合，集合．若，则实数的取值范围是____________．‎ ‎10．关于函数 的流程图如下，现输入区间，则输出的区间是____________．‎ ‎11．函数在区间[，2]‎ 上的最大值是3，则实数=____________．‎ ‎12．设平面上个圆周最多把平面分成片（平面区域），则____________，____________．（，是自然数）‎ ‎（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）‎ ‎13.(坐标系与参数方程选做题）设曲线的参数方程为是参数，），若曲线C与直线只有一个交点，则实数的值是____________．‎ ‎14.(不等式选讲选做题）设函数，若不等式＜1的解，则实数=____________． ‎ ‎15.(几何证明选讲选做题）如右图，已知是⊙的 切线，是切点，是弧上一点，若，‎ 则． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分13分）如图所示，正在亚丁湾执行护航任务的某导弹护卫舰，突然收到一艘商船的求救信号，紧急前往相关海域．到达相关海域处后发现，在南偏西、5海里外的洋面M处有一条海盗船，它正以每小时20海里的速度向南偏东的方向逃窜．某导弹护卫舰当即施放载有突击队员的快艇进行拦截，快艇以每小时30海里的速度向南偏东的方向全速追击．请问：快艇能否追上海盗船？如果能追上，请求出的值；如果未能追上，请说明理由．（假设海面上风平浪静、海盗船 逃窜的航向不变、快艇运转正常无故障等）‎ ‎17.（本小题满分12分）某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润，事件为“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”．‎ ‎(Ⅰ)求事件的概率；‎ ‎(Ⅱ)求的分布列及期望．‎ ‎18.（本小题满分13分）如图，已知直四棱柱ABCD-的底面是边长为2、‎ ‎ ‎ ‎∠ADC=的菱形，是侧棱（＞）延长线上的一点，过点、、作菱形截面交侧棱于点P．设截面的面积为，四面体的三侧面、、面积的和为，．‎ ‎ (Ⅰ)证明：；‎ ‎(Ⅱ) 当取得最小值时，求∠的值．‎ ‎19.（本小题满分14分）在直角坐标平面内，定点 、,动点M,满足条件.‎ ‎(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程；‎ ‎(Ⅱ)过点F的直线交曲线C交于A,B两点，求以AB为直径的圆的方程，并判定这个圆与直线的位置关系．‎ ‎20.（本小题满分14分）已知数列的前n项和．‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设为数列的前n项和，求 ‎21.（本小题满分14分）理科函数的定义域为，设，是的导数．‎ ‎(Ⅰ)求证： ；‎ ‎(Ⅱ)确定t的范围使函数在上是单调函数；‎ ‎(Ⅲ)求证：对于任意的，总存在，满足；并确定这样的的个数．‎ ‎【答案及详细解析】‎ 一、选择题：本大题理科共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．C．解析：，．‎ ‎2．B．解析：原命题正确，所以，逆否命题也正确；逆命题不正确，所以，否命题也不正确．‎ ‎3．B．解析：按照抽样方法的概念即可选B．‎ ‎4．A．解析：这个几何体由过正方体两底面对角线与正方体的两个对应顶点截去两个三棱锥而得，体积为．‎ ‎5．D．解析：，最小正周期是，在是增函数．‎ ‎6． A．解析：设购买铅笔只，购买圆珠笔只，则满足，则为支出的钱数，易知，答案是A．‎ ‎7．D．解析：设|PF1|=m, |PF2|=n，不妨设P在第一象限，则由已知得 ‎5a2‎-6ac+c2=0e2-6e+5=0，解得e=5或e=1（舍去），选D．‎ ‎8．C．解析：设，则；令，，则．是关于的二次函数，其图象关于直线对称；但是关于的增函数，而，从而﹥0，所以是关于的的增函数，于是时，．‎ 第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. ‎ ‎（一）必做题（9—12题）‎ ‎9．．解析：如图，表示直线及其下方区域， 表示圆及内部，要使，则直线在圆的下方， 即＜，故. ‎ ‎10．．解析：依题意知，当时，＞0；此时若，则．‎ ‎11．或．解析：若﹥0，则函数图象对称轴是，最大值是，；若＜0，最大值是，．‎ ‎12．4，．解析：易知2个圆周最多把平面分成4片；‎ 个圆周已把平面分成片，再放入第个圆周，为使得到尽可能多的片，第个应与前面个都相交且交点均不同，有条公共弦，其端点把第个圆周分成段，每段都把已知的某一片划分成2片，即（），所以，而，从而．‎ ‎（二）选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）‎ ‎13. ．解析：曲线C是圆，即，圆心是，所以，又，所以．‎ ‎14.．解析：∵＜＜1，∴＜＜3，＜且＜3．由＞1或 ＜有＞1或＜；由＜3有-3＜＜+3；而＜1的解，∴．‎ ‎15. 110°．解析：∵，，从而，∴．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16. （本小题满分13分）‎ 解：假设经过小时在N处追上海盗船．在中，=5，=20，=30，‎ ‎∠=．-----------------------------4分 由余弦定理有 ，---7分 ‎ 化简得 ，解之得＞0，∴快艇能追上海盗船． --------10分 ‎ 由正弦定理有 ‎ ，∴．----------13分 ‎17. （本小题满分12分）‎ 解：(Ⅰ)由表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”，‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款” ． ‎ ‎，．…………4分 ‎(Ⅱ)的可能取值为元，元，元．‎ ‎，，‎ ‎．‎ 的分布列为 ‎ ……………………10分 ‎ ‎ （元）．……………………12分 ‎18. （本小题满分13分）‎ 解：(Ⅰ)连、，则； ‎ ‎ ∵，则，∴．‎ ‎ 而，∴． -----------------------------4分 ‎(Ⅱ) 设是与的交点，、，则，‎ ‎=‎ ‎． -------------------8分 ‎∵令，则，‎ ‎∴当即时，取得最小值． -------------------11分 此时，，由余弦定理有∠．‎ ‎ -------------------13分 ‎19. （本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ)易知M的轨迹是椭圆，，方程为． -------3分 ‎(Ⅱ)①当斜率存在时，设，由，消去整理得； -------5分 设，则有………………① -------6分 以为直径的圆的方程为，即 ‎；…………② -------7分 由①得，……③‎ ‎；……④ -------8分 将①③④代入②化简得，‎ 即． -------10分 对任意的，圆心到直线的距离是，，即，所以圆于直线相离． -------12分 ‎ 当斜率不存在时，易得半径为，圆的方程是，与直线也相离． -------14分 ‎20.（本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ) ∵，∴． -------2分 当时，，，于是；-------4分 令，则数列是首项、公差为的等差数列，；‎ ‎∴． -------6分 ‎(Ⅱ) ∵， ‎ ‎∴， -------8分 记①，则②，-------10分 ‎①-②有，‎ ‎∴． -------12分 故 -------14分 ‎21. （本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ)设，则，所以． 2分 ‎(Ⅱ)，令，得．…………3分 当时，时，，是递增函数；当时，显然在也是递增函数．…………4分 ‎∵是的一个极值点，∴当时，函数在上不是单调函数．∴当时，函数在上是单调函数．……5分 ‎(Ⅲ)由（1），知，∴．…………6分 又∵， 我们只要证明方程在内有解即可．…………7分 记，则 ‎，，‎ ‎，‎ ‎∴．…………9分 ‎①当时，，方程在 内有且只有一解；…………10分 ‎②当时，，，又，∴方程在内分别各有一解，方程在内两解；…………11分 ‎③当时，方程在内有且只有一解；……12分 ‎④当时，方程在内有且只有一解．…………13分 综上，对于任意的，总存在，满足．‎ 当时，满足，的有且只有一个；‎ 当时，满足，的恰有两个．…………14分