全国2卷高考真题含答案数学理 10页

绝密★启用前 ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第I卷（选择题）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。‎ ‎ 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式：‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中R表示球的半径 ‎ 球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ 次独立重复试验中事件恰好发生次的概率 其中R表示球的半径 一、选择题 ‎（1）复数 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（2）函数的反函数是 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（3）若变量满足约束条件则的最大值为 ‎ （A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎（4）如果等差数列中，，那么 ‎ （A）14 （B）21 （C）28 （D）35‎ ‎（5）不等式的解集为 ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1， 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ‎ （A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种 ‎（7）为了得到函数的图像，只需把函数的图像 ‎ （A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位 ‎ （C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位 ‎（8）中，点在上，平方．若，，，，则 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎（9）已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为 ‎ （A）1 （B） （C）2 （D）3‎ ‎（10）若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则 （A）64 （B）32 （C）16 （D）8‎ ‎（11）与正方体的三条棱、、所在直线的距离相等的点 ‎ （A）有且只有1个 （B）有且只有2个 ‎ （C）有且只有3个 （D）有无数个 ‎（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则 ‎ （A）1 （B） （C） （D）2‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1．用0.5毫米的黑色字迹签字笔在答题卡上作答。‎ ‎2．本卷共10小题，共90分。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．[来源:学&科&网]‎ ‎（13）已知是第二象限的角，，则 ．‎ ‎（14）若的展开式中的系数是，则 ．‎ ‎（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则 ．‎ ‎（16）已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，．若，则两圆圆心的距离 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎（17）（本小题满分10分）‎ 中，为边上的一点，，，，求．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和．‎ ‎（Ⅰ）求；（Ⅱ）证明：．‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 如图，直三棱柱中，，，为的中点，为上的一点，．‎ ‎ （Ⅰ）证明：为异面直线与的公垂线；‎ ‎ （Ⅱ）设异面直线与的夹角为45°，求二面角 的大小．‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9．电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999．‎ ‎（Ⅰ）求p；‎ ‎ （Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率；‎ ‎ （Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通过电流的元件个数，求的期望．‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ ‎ 己知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为．‎ ‎ （Ⅰ）求C的离心率；‎ ‎ （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．‎ ‎（22）（本小题满分12分）‎ 设函数．‎ ‎ （Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎ （Ⅱ）设当时，，求a的取值范围．‎ 参考答案 评分说明：‎ ‎1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法一本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。‎ ‎2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分。但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。‎ ‎3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。‎ ‎4．只给整数分数。选择题不给中间分。‎ 一、选择题 ‎1—6 ADCCCB 7—12 BBCADB 二、填空题 ‎（13）- （14）1 （15）2 （16）3‎ 三、解答题 ‎（17）解：‎ 由 由已知得 …………2分 从而 ‎ ‎ …………6分 由正弦定理得 所以 ‎ …………10分 ‎（18）解：‎ ‎ （I）‎ ‎ …………4分 所以 …………6分 ‎ （II）当n=1时，‎ 当时，‎ ‎ …………10分 所以，当 …………12分 ‎19．解法一 ‎ （I）连结A1B，记A1B与AB1的交点为F。‎ 因为面AA1B2B为正方形，故A1B⊥AB1，且 AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D ‎ 为BB2的中点，故DE//BF，DE⊥AB1。…………3分 作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点。‎ 又由底面ABC⊥面AA2B1B，得CG⊥面AA1B1B，‎ 连结DG，则DG//AB2，故DE⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥∠∑。‎ 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线。 …………6分 ‎ （II）因为DG//AB1，故为异面直线AB1与CD的夹角，‎ ‎，‎ 设AB=2，得 作B2H⊥A1C1，H为垂足，因为底面A1B1C1⊥面AA1C1C，故B1H⊥面AA2C2C，‎ 又作HK⊥AC1，K为垂足，连结B2K，由三垂线定理，得 因此为二面角A1—AC1—B1的平面角。 …………9分 所以二面角 …………12分 解法二：‎ ‎ （I）以B为坐标原点，射线BA为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系B—xyz，‎ 设AB=2，则A（2，0，0），B1（0，2，0），D（0，1，0），‎ 又设C（1，0，c），则…………3分 于是 故，‎ 所以DE为异面直线AB1与CD的公垂线。 …………6分 ‎ （II）因为等于异面直线与CD的夹角。‎ 故,‎ 即 解得 又 所以 …………9分 设平面AA1C1的法向量为 则 即 令 设平面AB2C2的法向量为 则 即 令 所以 由于等于二面角A1—AC1—B1的平面角，‎ 所以二面角A1—AC1—B1的大小为 …………12分 ‎（20）解：‎ 记A1表示事件，电流能通过 A表示事件：中至少有一个能通过电流，‎ B表示事件：电流能在M与N之间通过。‎ ‎ （I）相互独立，‎ ‎ ‎ 又 故 …………4分 ‎ （III）由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能通过各元件相互独立。‎ 故 ‎ …………12分 ‎（21）解：‎ ‎ （I）由题设知，的方程为 代入C的方程，并化简得，‎ 设 则①‎ 由为B D的中点知故 即 ②‎ 故 所以C的离心率 ‎ （II）由①、②知，C的方程为：‎ A（a，0），F（2a，0），‎ 故不妨设 ‎ …………9分 又 故 解得（舍去）‎ 故 连结MA，则由A（1，0），M（1，3）知|MA|=3，从而 MA=MB=MD，且MA⊥x轴，因此以M为圆主，MA 为半径的圆经地A、B、D三点，且在点A处与x轴相切，‎ 所以过A、B、D三点的圆与x轴相切。 …………12分 ‎（22）解：‎ ‎ （I）当时，‎ 当且仅当 令 …………2分 当，是增函数；‎ 当是减函数。‎ 于是在x=0处达到最小值，因而当时，‎ 所以当 …………6分、‎ ‎ （II）由题设 当不成立；‎ 当则 当且令当 ‎ …………8分 ‎ （i）当时，由（I）知 是减函数，…………10分 ‎ （ii）当时，由（I）知 当时，‎ 综上，a的取值范围是 …………12分