高考数学二轮复习导数及其应用文 7页

第四讲 导数及其应用（文）‎ ‎★★★高考在考什么 ‎【考题回放】‎ ‎1．已知对任意实数，有，且时，，则时（ B ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ A ）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎4．函数，已知在时取得极值，则=（B）‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎5．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．32‎ ‎6．已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．3‎ ‎7．设a为实数,函数 ‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的极值.‎ ‎(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线y= f(x)轴仅有一个交点.‎ 解：(I)=3－2－1‎ 若=0，则==－，=1‎ 当变化时，，变化情况如下表：‎ ‎(－∞，－)‎ ‎－‎ ‎(－，1)‎ ‎1‎ ‎(1，+∞)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 ‎∴f(x)的极大值是，极小值是 ‎(II)函数 由此可知，取足够大的正数时，有f(x)>0，取足够小的负数时有f(x)<0，所以曲线y= f(x)与轴至少有一个交点 结合f(x)的单调性可知：‎ 当f(x)的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线= f(x)与x轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。‎ 当f(x)的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线y= f(x)与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。‎ ‎∴当∪(1，+∞)时，曲线y= f(x)与x轴仅有一个交点 ‎★★★高考要考什么 导数的几何意义：‎ 函数在点处的导数，就是曲线在点处的切线的斜率；‎ ‎（2）函数在点处的导数，就是物体的运动方程在时刻时的瞬时速度；‎ ‎2．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y′，3）、令y′>0(y′<0),解出相应的x的范围。当y′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y′<0时，f(x)在相应区间上是减函数 ‎3．求极值常按如下步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数；③ 求方程=0的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点；④通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。‎ ‎4．设函数f(x)在[a,b]上连续,在（a,b）内可导，求f(x)在[a,b]上的最大（小）值的步骤如下：(1)求f(x)在(a,b)内的极值，(2)将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。‎ ‎5．最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。‎ ‎★★★ 突 破 重 难 点 ‎【范例1】已知函数在处取得极值.‎ ‎ （1）讨论和是函数f(x)的极大值还是极小值；‎ ‎（2）过点作曲线y= f(x)的切线，求此切线方程.‎ ‎（1）解：，依题意，，即 ‎ ‎ ‎ 解得. ∴.‎ ‎ 令，得.‎ 若，则，故 f(x)在上是增函数，‎ f(x)在上是增函数.‎ 若，则，故f(x)在上是减函数.‎ 所以，是极大值；是极小值.‎ ‎（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.‎ 设切点为，则点M的坐标满足.‎ 因，故切线的方程为 注意到点A（0，16）在切线上，有 ‎ 化简得，解得.‎ 所以，切点为，切线方程为.‎ ‎【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.‎ ‎【范例2】(安徽文)设函数f（x）=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).‎ ‎(Ⅰ)求g(t)的表达式；‎ ‎(Ⅱ)诗论g(t)在区间（-1,1）内的单调性并求极值.‎ 解：（I）我们有 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ 由于，，故当时，达到其最小值，即 ‎．‎ ‎ （II）我们有．‎ 列表如下：‎ 极大值 极小值 由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．‎ ‎【点晴】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．‎ ‎【范例2】已知函数在区间，内各有一个极值点．（I）求的最大值；（II）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．‎ 解：（I）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，‎ 设两实根为（），则，且．于是 ‎，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．‎ ‎（II）解法一：由知在点处的切线的方程是 ‎，即，‎ 因为切线在点处空过的图象，‎ 所以在两边附近的函数值异号，则 不是的极值点．‎ 而，且 ‎．‎ 若，则和都是的极值点．‎ 所以，即，又由，得，故．‎ 解法二：同解法一得 ‎．‎ 因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在（）．‎ 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 设，则 当时，，当时，；‎ 或当时，，当时，．‎ 由知是的一个极值点，则，‎ 所以，又由，得，故．‎ 变式：设函数在及时取得极值．‎ ‎（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．‎ 解：（Ⅰ），因为函数在及取得极值，则有，．‎ 即 解得，．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，‎ ‎．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 当时，．‎ 所以，当时，取得极大值，又，．‎ 则当时，的最大值为．‎ 因为对于任意的，有恒成立，‎ 所以　，‎ 解得　或，‎ 因此的取值范围为．‎