高考数学课后作业83直线与圆的位置关系及空间直角坐标系新人教A版 9页

‎2014高考数学人教A版课后作业 ‎1.(2011·山东烟台调研)圆x2＋y2－2x＋4y－4＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为(　　)‎ A．相离　　　　　　　　B．相切 C．相交 D．以上都有可能 ‎[答案]　C ‎[解析]　∵直线2t(x－1)－(y＋2)＝0过圆心(1，－2)，∴直线与圆相交．‎ ‎[点评]　直线方程中含参数t，故可由直线方程过定点来讨论，∵2t(x－1)－(y＋2)＝0，∴直线过定点(1，－2)，代入圆方程中，12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)－4＝－9<0，∴点(1，－2)在圆内，故直线与圆相交．‎ ‎2．(2011·唐山二模)圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0的公共弦长为(　　)‎ A.B. C．2D．2 ‎[答案]　C ‎[解析]　x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0，圆x2＋y2＝50的圆心(0,0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3，因此，公共弦长为2＝2，选C.‎ ‎3．(2011·山东济宁一模)过点(－2,0)且倾斜角为的直线l与圆x2＋y2＝5相交于M、N两点，则线段MN的长为(　　)‎ A．2B．3‎ C．2D．6‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　l的方程为x－y＋2＝0，圆心(0,0)到直线l的距离d＝，则弦长|MN|＝2＝2.‎ ‎4．(文)已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋4y－1＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)‎ A．4x－4y＋1＝0 B．x－4＝0‎ C．x＋y＝0 D．x－y－2＝0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　两圆方程相减得4x－4y＋1＝9，‎ 即x－y－2＝0，选D.‎ ‎[点评]　直线l为两圆心连线段的中垂线．‎ ‎(理)已知圆O1：(x－a)2＋(y－b)2＝4，O2：(x－a－1)2＋(y－b－2)2＝1(a、b∈‎ R)，那么两圆的位置关系是(　　)‎ A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 ‎[答案]　C ‎[解析]　两圆半径分别为2,1，因为1<|O1O2|＝<3，所以两圆相交．‎ ‎5．直线xsinθ＋ycosθ＝1＋cosθ与圆x2＋(y－1)2＝4的位置关系是(　　)‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都有可能 ‎[答案]　C ‎[解析]　圆心到直线的距离d＝＝1<2，‎ ‎∴直线与圆相交．‎ ‎6．(2011·江南十校联考)若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　)‎ A．2x＋y－3＝0 B．x＋y－1＝0‎ C．x－y－3＝0 D．2x－y－5＝0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　由题知圆心C的坐标为(1,0)，因为CP⊥AB，kCP＝－1，所以kAB＝1，所以直线AB的方程为y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故选C.‎ ‎7．已知直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝4交于A、B两点，O为原点，且·＝2，则实数a的值等于________．‎ ‎[答案]　± ‎[解析]　本题考查直线与圆的位置关系和向量的运算．‎ 设、的夹角为θ，则·＝R2·cosθ＝4cosθ＝2，∴cosθ＝，∴θ＝，则弦AB的长||＝2，弦心距为，由圆心(0,0)到直线的距离公式有：‎ ＝，解之得a＝±.‎ ‎8．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．‎ ‎[答案]　(x－2)2＋(y－2)2＝2‎ ‎[解析]　∵⊙A：(x－6)2＋(y－6)2＝18的圆心A(6,6)，半径r1＝3，‎ ‎∵A到l的距离5，∴所求圆B的直径2r2＝2，‎ 即r2＝.‎ 设B(m，n)，则由BA⊥l得＝1，‎ 又∵B到l距离为，∴＝，‎ 解出m＝2，n＝2.‎ ‎1.(2011·东北三校二模)与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有(　　)‎ A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 ‎[答案]　C ‎[解析]　由题意可知，过原点且与圆相切的直线共有2条，此时在两坐标轴上的截距都是0；当圆的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零时，易知满足题意的切线有2条；综上共计4条．‎ ‎2．(2011·江西理，9)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是(　　)‎ A. (－，)‎ B. (－，0)∪(0, )‎ C. [－ ，]‎ D．( －∞， － )∪( ，＋∞)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　曲线C1表示以(1,0)为圆心，半径为1的圆，曲线C2：y(y－mx－m)＝0表示直线y＝0与y－mx－m＝0，若有四个不同的交点，则直线y－mx－m＝0与圆有两个不同的交点且不过点(0,0)，则由<1得，－0)相切，则r＝________.‎ ‎[答案] ‎[解析]　由双曲线的方程可知，其中的一条渐近线方程为y＝x ‎，圆的圆心坐标为(3,0)，则圆心到渐近线的距离d＝＝，所以圆的半径为.‎ ‎(理)(2011·杭州二检)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是________．‎ ‎[答案]　(x－1)2＋(y＋1)2＝9‎ ‎[解析]　设圆心为M(x，y)，由|AB|＝6知，圆M的半径r＝3，则|MC|＝3，即＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.‎ ‎6．(文)(2011·新课标全国文，20)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．‎ ‎(1)求圆C的方程；‎ ‎(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．‎ ‎[解析]　(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．‎ 故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.‎ 则圆C的半径为r＝＝3.‎ 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组：‎ 消去y，得到方程 ‎2x2＋(‎2a－8)x＋a2－‎2a＋1＝0.‎ 由已知可得，判别式△＝56－16a－4a2＞0.‎ 因此，x1,2＝，从而 x1＋x2＝4－a，x1x2＝.　　　　　①‎ 由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以 ‎2x1x2＋a(x2＋x2)＋a2＝0. ②‎ 由①，②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.‎ ‎(理)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－y＝4相切．‎ ‎(1)求圆O的方程；‎ ‎(2)圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求·的取值范围．‎ ‎[解析]　(1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－y＝4的距离，即r＝＝2，‎ ‎∴圆O的方程为x2＋y2＝4.‎ ‎(2)由(1)知A(－2,0)，B(2,0)．‎ 设P(x，y)，由|PA|、|PO|、|PB|成等比数列得，‎ ·＝x2＋y2，‎ 即x2－y2＝2.‎ ·＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2‎ ‎＝2(y2－1)．‎ 由于点P在圆O内，故，‎ 由此得y2<1.所以·的取值范围为[－2,0)．‎ ‎7．已知定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过 F且与l相切. ‎ ‎(1)求P点的轨迹C的方程. ‎ ‎(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；若有，请求出M点的坐标；若没有，请说明理由. ‎ ‎[解析]　(1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等．‎ ‎∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线 ‎∴点P的轨迹C的方程为：y2＝4x ‎(2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y2－4my－4n＝0‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则.‎ ‎∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，‎ ‎∴y1y2＋x1x2＝0.即y1y2＋·＝0.‎ ‎∴y1y2＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.‎ ‎∴直线AB：x＝my＋4恒过M(4,0)点．‎ ‎1．(2010·广东执信中学)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax＋by＝r2，则(　　)‎ A．m∥n且n与圆O相离 B．m∥n且n与圆O相交 C．m与n重合且n与圆O相离 D．m⊥n且n与圆O相离 ‎[答案]　A ‎[解析]　由点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点得，<|r|，即a2＋b2＝|r|，故直线n与圆O相离．‎ ‎2．设直线x＋ky－1＝0被圆O：x2＋y2＝2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x－y－1＝0的位置关系是(　　)‎ A．相离　　　　　　　　B．相切 C．相交 D．不确定 ‎[答案]　C ‎[解析]　∵直线x＋ky－1＝0过定点N(1,0)，且点N(1,0)在圆x2＋y2＝2的内部，∴直线被圆所截弦的中点的轨迹M是以ON为直径的圆，圆心为P，半径为，∵点P到直线x－y－1＝0的距离为<，‎ ‎∴曲线M与直线x－y－1＝0相交，故选C.‎ ‎3．已知直线ax＋by－1＝0(a，b不全为0)与圆x2＋y2＝50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有(　　)‎ A．66条 B．72条 C．74条 D．78条 ‎[答案]　B ‎[解析]　因为在圆x2＋y2＝50上，横坐标、纵坐标都为整数的点一共有12个，即：(1，±7)，(5，±5)，(7，±1)，(－1，±7)，(－5，±5)，(－7，±1)，经过其中任意两点的割线有×(12×11)＝66条，过每一点的切线共有12条，可知与该圆有公共点且公共点的横坐标、纵坐标都为整数的直线共有66＋12＝78条，而方程ax＋by－1＝0表示的直线不过原点，上述78条直线中过原点的直线有6条，故符合条件的直线共有78－6＝72条．故选B.‎ ‎4．直线l：2xsinα＋2ycosα＋1＝0，圆C：x2＋y2＋2xsinα＋2ycosα＝0，l与C的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 ‎[答案]　A ‎[解析]　圆心C(－sinα，－cosα)到直线l的距离为 d＝＝，圆半径r＝1，‎ ‎∵d