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- 2021-05-13 发布
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1987年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案
一.(本题满分24分)本题共有8个小题,每小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正确的,把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分,不选、选错或者选出的代号超过一个的(不论是否都写在圆括号内),一律得0分
(1)设S,T是两个非空集合,且S T,T S,令X=ST,那么SX等于 ( D )
(A)X (B)T (C) (D)S
(2)设椭圆方程为,令,那么它的准线方程为 ( C )
(A) (B) (C) (D)
(3)设a,b是满足ab<0的实数,那么 ( B )
(A)|a+b|>|a-b| (B)|a+b|<|a-b|
(C)|a-b|<||a|-|b|| (D)|a-b|<|a|+|b|
(4)已知E,F,G,H为空间中的四个点,设
命题甲:点E,F,G,H不共面,
命题乙:直线EF和GH不相交 那么 ( A )
(A)甲是乙的充分条件,但不是必要条件
(B)甲是乙的必要条件,但不是充分条件
(C)甲是乙的充要条件
(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙必要条件
(5)在区间上为增函数的是 ( B )
(A) (B)
(C) (D)
(6)要得到函数的图象,只需将函数的图象(图略) ( D )
(A)向左平行移动 (B)向右平行移动
(C)向左平行移动 (D)向右平行移动
(7)极坐标方程所表示的曲线是 ( B )
(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D)抛物线
(8)函数的图象是 ( A )
(A) (B) Y (C) Y (D)
Y 1 Y 1
O - O - O - O
-1
二.(本题满分28分)本题共7小题,每一个小题满分4分只要求写出结果
(1)求函数的周期
[答]
(2)已知方程表示双曲线,求λ的范围
[答]λ>-1或λ<-2.(注:写出一半给2分)
(3)若(1+x)n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.
[答]8 (注:若给出8同时给出-5得2分)
(4)求极限
[答]2
(5)在抛物线上求一点,使该点到直线的距离为最短
[答]
(6)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数求这种五位数的个数
[答]72
(7)一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高
[答]
三.(本题满分10分)
求的值
解:原式=
(注:本题有多种解答)
四.(本题满分12分)
P
E
C
A
D
B
如图,三棱锥P-ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h求证三棱锥P-ABC的体积V=L2h.
证:连结AD和PD∵BC⊥PA,BC⊥ED,
PA与ED相交,∴BC⊥平面PAD
∵ED⊥PA,
∴S△ABC=PA·ED=Lh
VB-PAD=(Lh)·BD=Lh·BD
同理,VC-PAD=Lh·CD
∴三棱锥P-ABC的体积
V=Lh·BD+Lh·CD=Lh(BD+CD)=Lh·BC=L2h.
若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立
(此话不说,也不扣分)
五.(本题满分12分)
设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围
解:由题意得:
令则(3)式变为
化简为解得 (4)
(2)式变为即 (5)
综合(4),(5)得
由此, (6)解(1),(6)得a取值范围:
六.(本题满分12分,共2个小题)
设复数满足关系式其中A为不等于0的复数证明:
(1)(2)
证:(1)
(2)
七.(本题满分12分,共3个小题)
设数列的前n项的和Sn与的关系是
其中b是与n无关的常数,且b≠-1
(1)求的关系式;
(2)写出用n和b表示的表达式;
(3)当时,求极限.
注:(2)也可用数学归纳法证明
所以当
八.(本题满分10分)
定长为3的线段AB的两端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标
解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB长度为3,
那么x1=y12,x2=y22,(1)
32=(x2-x1)2+(y2-y1)2=(y22-y12)2+(y2-y1)2=(y2-y1)2[(y2+y1)2+1](2)
线段AB的中点M(x,y)到y轴的距离为
下证x能达到最小值,根据题意不妨设y1>y2 ,由(3)得
九.(附加题,本题满分10分,共2个小题,每小题5分,不计
入总分)
(1)求极限
(2)设
解: