高考数学解析几何中常用到的平面几何关系 4页

解析几何题中用到的几何关系 一、常用到的一些结论（初中）‎ ‎1 定理 三角形两边的和大于第三边 ‎ ‎2 推论 三角形两边的差小于第三边 ‎ ‎3 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° ‎ ‎4 定理 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ‎ ‎5 定理 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 ‎ ‎6 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高互相重合 ‎ ‎7 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 ‎ ‎8 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 ‎ ‎9 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ‎ ‎10 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ‎ ‎11勾股定理 直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2 ‎ ‎12定理 四边形的内角和等于360° ‎ ‎13平行四边形性质定理 平行四边形的对角线互相平分 ‎ ‎14矩形性质定理 矩形的对角线相等 ‎ ‎15矩形判定定理 对角线相等的平行四边形是矩形 ‎ ‎16菱形性质定理 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ‎ ‎17正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 ‎ ‎18等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 ‎ ‎19等腰梯形的两条对角线相等 ‎ ‎20平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 ‎ ‎21 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半 ‎ ‎22 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 L=(a+b)÷2 S=L×h ‎ ‎23 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc ‎ ‎　　　　 如果ad=bc,那么a:b=c:d ‎ ‎24 (2)合比性质 如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d ‎ ‎25 (3)等比性质 如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b ‎ ‎26 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 ‎ ‎27 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 ‎ ‎28 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比 ‎ ‎29 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 ‎ ‎30垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 ‎ ‎31推论1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ‎ ‎　　　　 ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ‎ ‎　　　　 ③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 ‎ ‎32定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ‎ ‎33推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径 ‎ ‎34定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 ‎ ‎34 ①直线L和⊙O相交 d﹤r ②直线L和⊙O相切 d=r ‎ ‎　 ③直线L和⊙O相离 d﹥r ‎ ‎35 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ‎ ‎36 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 ‎ ‎37 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 ‎ ‎38 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 ‎ ‎39切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 ‎ ‎40 相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 ‎ ‎41推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 ‎ ‎42切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 ‎ ‎43推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 ‎ ‎44如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 ‎ ‎45① 两圆外离 d﹥R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r﹤d﹤R+r(R﹥r) ‎ ‎　④两圆内切 d=R-r(R﹥r) ⑤两圆内含d﹤R-r(R﹥r) ‎ ‎46定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 ‎ ‎47正n边形的每个内角都等于(n-2)×180°/n ‎ ‎48弧长计算公式：L=nπR/180 =ａR ‎49扇形面积公式：S扇形=nπR/360=LR/2 ‎ ‎2、平行线分线段成比例定理：‎ ‎（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ 如图：a∥b∥c，直线l1与l2分别与直线a、b、c相交与点A、B、C D、E、F，则有 ‎（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。‎ 如图：△ABC中，DE∥BC，DE与AB、AC相交与点D、E，则有：‎ ‎＊3、直角三角形中的射影定理：如图：Rt△ABC中，∠ACB＝90o，‎ CD⊥AB于D，则有：‎ ‎（1）（2）（3）‎ ‎4、圆的有关性质：‎ ‎（1）垂径定理：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦不能是直径；‎ ‎（2）圆心角的度数等于它所对的弧的度数；‎ ‎（3）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；‎ ‎（4）圆周角等于它所对的弧的度数的一半；‎ ‎（5）90º的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90º，直径是最长的弦；‎ ‎（6）圆内接四边形的对角互补；‎ ‎（7）直径所对的圆周角是直角．‎ ‎5、三角形的重心垂心内心与外心：‎ 重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。‎ 垂心：三角形的三条高或其延长线相交于一点，这点称为三角形的垂心。垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。‎ 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心．三角形的内心就是三内角角平分线的交点．‎ 三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．‎ 常见结论：‎ ‎（1）Rt△ABC的三条边分别为：a、b、c（c为斜边），则它的内切圆的半径；‎ ‎（2）△ABC的周长为，面积为S，其内切圆的半径为r，则 ‎＊7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：‎ 相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即：PA·PB = PC·PD 割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。‎ 如图②，即：PA·PB = PC·PD 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如图③，即：PC2 = PA·PB ‎ ① ② ③‎ ‎8、面积公式：‎ ‎①S正△＝×(边长)2． ②S平行四边形＝底×高．‎ ‎③S菱形＝底×高＝×(对角线的积)，‎ ‎④S圆＝πR2．⑤l圆周长＝2πR．⑥弧长L＝．⑦ ‎ ‎9、射影定理：参考选修教材《几何证明》‎ ‎10、对称图形的应用，主要有：‎ ‎（1）以坐标轴或动直线、定直线为对称轴的轴对称图形；‎ ‎（2）以原点或动点、定点为中心的中心对称图形。‎ ‎11、合分比定理 ‎　　如果 a/b=c/d (a>b， c>d) ‎ ‎　　那么 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) ‎ 合分比定理的证明 ‎　　设a/b=c/d=t，那么a=bt,c=dt ；　　a=bt ；　　则 a+b=bt+b ‎ ‎　　a+b=b(t+1) ‎ ‎　　(b+a)/b=t+1 ‎ ‎　　同理(a-b)/b=t-1 ‎ ‎　　代入，即(a+b)/(a-b)=(t+1)/(t-1) ‎ ‎　　同理(c+d)/(c-d)=(t+1)/(t-1) ‎ ‎　　因此(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d) ‎ ‎　　合比定理：如果a/b=c/d,那么(a+b)/b=(c+d)/d （b、d≠0） ‎ ‎　　分比定理：如果a/b=c/d那么(a-b)/b=(c-d)/d （b、d≠0） ‎ ‎　　合分比定理：如果a/b=c/d那么（a+b)/(a-b)=（c+d)/(c-d) （b、d、a-b、c-d≠0） ‎ ‎　　更比定理：如果a/b=c/d那么a/c=b/d（a、b、c、d≠0） ‎ ‎　　【合比定理】 ‎ ‎　　在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。 ‎ ‎　　【分比定理】 ‎ ‎　　在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。 ‎ ‎　　【合分比定理】 ‎ ‎　　一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。这叫做比例中的合分比定理。 ‎ ‎　　【更比定理】 ‎ ‎　　一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例. ‎ ‎　　一般用来证明三角条件等式等，一般考试也用来速算小题 ‎ ‎　　推论: ‎ ‎　　若a1/b1=a2/b2=a3/b3=....=an/bn ‎ ‎　　则a1/b1=a2/b2=...=(a1+a2+a3+...+an)/(b1+b2+b3+...+bn)‎