高考理科数学试卷全国卷带详细答案解析 15页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)‎ 数学（理工农医类）‎ 本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。‎ ‎3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。‎ ‎4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。‎ ‎1.复数，为z的共轭复数，则 ‎ (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i ‎ ‎2. 函数的反函数为 ‎ (A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎3.下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎4.设为等差数列的前n项和，若，公差，则k=‎ ‎ (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5‎ ‎5.设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ‎ (A) (B) 3 (C) 6 (D) 9‎ ‎6.已知直二面角，点为垂足，为垂足，若，则D到平面ABC的距离等于 ‎ (A) (B) (C) (D) 1‎ ‎7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ‎ (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 ‎8.曲线在点处的切线与直线和围成的三角形的面积为 ‎ (A) (B) (C) (D) 1‎ ‎9.设是周期为2的奇函数，当时，，则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎10.已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A、B两点，则 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎11.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为，则圆N的面积为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎12. 设向量满足，则的最大值等于 ‎ (A) 2 (B) (C) (D) 1‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写.‎ ‎13. 的二项展开式中，的系数与的系数之差为 .‎ ‎14. 已知，，则 .‎ ‎15. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点，点M的坐标为，AM为的角平分线，则 .‎ ‎16. 已知点E、F分别在正方体 的棱上，且, ,则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（本小题满分10分）的内角A、B、C的对边分别为。已知 ‎，求C ‎18.（本小题满分12分）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。‎ ‎ （Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；‎ ‎ （Ⅱ）X表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望。‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD中，,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1. ‎ ‎ （Ⅰ）证明：;‎ ‎ （Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。‎ ‎20.（本小题满分12分）设数列满足 ‎ （Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎ （Ⅱ）设，记，证明：。‎ ‎21.（本小题满分12分）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P满足 ‎ ‎ （Ⅰ）证明：点P在C上；‎ ‎ （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一个圆上。‎ ‎22.（本小题满分12分）（Ⅰ）设函数，证明：当时，‎ ‎ （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为，证明：‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）‎ 数学（理工农医类）试题参考答案 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．‎ ‎1． B 2． B 3． A 4． D 5．C ‎6． C 7． B 8． D 9． A 10．D 11. D 12. A ‎1. 复数，为的共轭复数，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】先求出的共轭复数,然后利用复数的运算法则计算即可。‎ ‎【精讲精析】选B.‎ ‎2. 函数的反函数为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【思路点拨】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范围，它是反函数的定义域。‎ ‎【精讲精析】选B.在函数中，且反解x得，所以的反函数为.‎ ‎ 3. 下面四个条件中，使成立的充分而不必要的条件是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】本题要把充要条件的概念搞清，注意寻找的是通过选项能推出，而由a>b推不出选项的选项.‎ ‎【精讲精析】选A.即寻找命题P使P推不出P，逐项验证可选A。‎ ‎4. 解：设为等差数列的前项和，若，公差，，则 ‎ ‎（A）8 （B）7 （C）6 （D）5‎ ‎【思路点拨】思路一：直接利用前n项和公式建立关于k的方程解之即可。思路二：‎ 利用直接利用通项公式即可求解，运算稍简。‎ ‎【精讲精析】= = =‎ 故选D。‎ ‎5. 设函数，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则的最小值等于 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将的图像向右平移个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了是此函数周期的整数倍。‎ ‎【精讲精析】即 ‎ z则时故选C ‎6.已知直二面角，点,C为垂足，为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于 ‎(A) (B) (C) (D) 1 ‎ ‎【思路点拨】本题关键是找出或做出点D到平面ABC的距离DE，根据面面垂直的性质不难证明平面，进而平面ABC,所以过D作于E，则DE就是要求的距离。‎ ‎【精讲精析】选C.‎ 如图，作于E，由为直二面角，得平面，进而，又，于是平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离。‎ 在中，利用等面积法得 ‎7. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 ‎(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种 ‎【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。所以要分类进行求解。‎ ‎【精讲精析】分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有种。故共有赠送方法4+6=10种，故选B ‎8. 曲线y=+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 ‎(A) (B) (C) (D)1‎ ‎【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x的交点问题即可解决。‎ ‎【精讲精析】切线方程是：,‎ ‎ 即得 故选A。‎ ‎9. 设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=‎ ‎ (A) - (B) (C) (D)‎ ‎【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量转化到区间[0,1]上进行求值。‎ ‎【精讲精析】先利用周期性，再利用奇偶性得:‎ ‎ 故选A ‎10. 已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【思路点拨】方程联立求出A、B两点后转化为解三角形问题。‎ ‎【精讲精析】联立，消y得，解得.‎ 不妨设A在x轴上方，于是A，B的坐标分别为(4,4),(1,-2),‎ 可求，利用余弦定理.‎ ‎11. 已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 ‎ (A)7 (B)9 (C)11 (D)13‎ ‎【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。‎ ‎【精讲精析】作示意图如，由圆M的面积为4，易得.，在，， ，‎ 故选D ‎12. 设向量满足，则的最大值等于 ‎ (A)2 (B) (c) (D)1‎ ‎【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC为直径时，最大.‎ ‎【精讲精析】选A.如图，构造 ‎，‎ 所以A、B、C、D四点共圆，分析可知当线段AC为直径时，最大，最大值为2.‎ 二、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．‎ ‎13． 0 14． 15． 6 16． ‎ ‎13. (1-)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: .‎ ‎【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意.‎ ‎【精讲精析】，令得=2，令=9得，‎ 所以x的系数为，‎ 故x的系数与的系数之差为-=0‎ ‎14. 已知a∈(，)，sinα=，则tan2α= ‎ ‎【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。‎ ‎【精讲精析】.由a∈(，)，sinα=得,‎ ‎.‎ ‎15. 已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .‎ ‎【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。‎ ‎【精讲精析】6.‎ 由角平分线定理得：,故 ‎16. 己知点E、F分别在正方体ABCD-A1B‎2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值等于 .‎ ‎【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF必与BC相交，交点为P，则AP为面AEF与面ABC的交线.‎ ‎【精讲精析】.延长EF交BC的延长线于P，则AP为面AEF与面ABC的交线，因为，所以为面AEF与面ABC所成的二面角的平面角。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．‎ ‎17. (本小题满分l0分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知A—C=90°，a+c=b，求C.‎ ‎【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A—C=90°,得到.即可求解。‎ ‎【精讲精析】由，得A为钝角且，‎ 利用正弦定理，可变形为，‎ 即有，‎ 又A、B、C是的内角，故 或(舍去)‎ 所以。‎ 所以.（本小题满分10分）‎ ‎18. (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ ‎ 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立 ‎(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率；‎ ‎(Ⅱ)X表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。 ‎ ‎【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.‎ ‎【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：，解得。‎ （I） 设所求概率为P1，则.‎ 故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。‎ （I） 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为。‎ ‎，‎ 所以X的期望是20人。‎ ‎19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，,，侧面为等边三角形，.‎ ‎（Ⅰ）证明：;‎ ‎（Ⅱ)求与平面所成角的大小.‎ ‎【思路点拨】本题第（I）问可以直接证明，也可建系证明。‎ ‎（II）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。‎ ‎【精讲精析】（Ⅰ）证明：在直角梯形ABCD中，AB=BC=2，CD=1， ，‎ 易算得：，‎ 又因为侧面SAB为等边三角形，SD=1，AB=2，‎ 所以,‎ 于是,,‎ 所以.‎ ‎（II）（向量法）过D做，如图建立空间直角坐标系D-xyz，‎ A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),‎ 可计算平面SBC的一个法向量是 ‎.‎ 所以AB与平面SBC所成角为 ‎（几何法）设点A到平面SBC的距离为d，‎ 因为，所以,从而,‎ 因而可以算得：，又，故 又因为,所以点C到平面SAB的距离为 另外，显然，‎ 所以 得：‎ 设AB与平面SBC所成的角为，则 ‎，‎ 即AB与平面SBC所成的角为（显然是锐角）‎ ‎20.（本小题满分12分）设数列满足且 ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设 ‎【思路点拨】解本题突破口关键是由式子得到是等差数列，进而可求出数列的通项公式.（II）问求出的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。‎ ‎【精讲精析】 (I) （Ⅰ）由得：‎ 数列是等差数列，首项为 故，从而 ‎(II)‎ ‎.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足 ‎(Ⅰ)证明：点P在C上；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎【思路点拨】方程联立利用韦达定理是解决这类问题的基本思路，注意把用坐标表示后求出P点的坐标，然后再结合直线方程把P点的纵坐标也用A、B两点的横坐标表示出来。从而求出点P的坐标代入椭圆方程验证即可证明点P在C上。(II)此问题证明有两种思路：思路一：关键是证明互补.通过证明这两个角的正切值互补即可，再求正切值时要注意利用倒角公式。‎ 思路二：根据圆的几何性质圆心一定在弦的垂直平分线上，所以根据两条弦的垂直平分线的交点找出圆心N，然后证明N到四个点A、B、P、Q的距离相等即可.‎ ‎【精讲精析】 (I)设 直线，与联立得 由得 ‎,‎ 所以点P在C上。‎ ‎（II）法一：‎ 同理，‎ 所以互补，‎ 因此A、P、B、Q四点在同一圆上。‎ 法二：由和题设知，,PQ的垂直平分线的方程为…①‎ 设AB的中点为M，则，AB的垂直平分线的方程为…②‎ 由①②得、的交点为 ‎,‎ ‎,,‎ 故.‎ 所以A、P、B、Q四点在同一圆圆N上.‎ ‎22 .（本小题满分12分）（Ⅰ）设函数，证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为.证明：‎ ‎【思路点拨】本题第（I）问是利用导数研究单调性最值的常规题，不难证明。‎ 第(II)问证明如何利用第（I）问结论是解决这个问题的关键也是解题能力高低的体现。‎ ‎【精讲精析】(I)‎ 所以在上单增。‎ 当时，。‎ ‎（II）‎ 由(I)，当x<0时，,即有 故 于是,即.‎ 利用推广的均值不等式：‎ 另解：，‎ 所以是上凸函数，于是 因此 ‎，‎ 故 综上：‎