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  • 2021-05-13 发布

高考文科数学试题全国新课标Ⅰ逐题详解纯word解析版

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‎2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标I)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(2015新课标I文)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5‎ B.‎ ‎4‎ C.‎ ‎4‎ D.‎ ‎2‎ 解:A={x|x=3n+2,n∈N}={2,5,8,11,14,17,…},‎ 则A∩B={8,14},故集合A∩B中元素的个数为2个,故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(2015新课标I文)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(﹣4,﹣3),则向量=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(﹣7,﹣4)‎ B.‎ ‎(7,4)‎ C.‎ ‎(﹣1,4)‎ D.‎ ‎(1,4)‎ 解:由已知点A(0,1),B(3,2),得到=(3,1),向量=(﹣4,﹣3),‎ 则向量==(﹣7,﹣4);故答案为:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(2015新课标I文)已知复数z满足(z﹣1)i=1+i,则z=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣2﹣i B.‎ ‎﹣2+i C.‎ ‎2﹣i D.‎ ‎2+i 解:由(z﹣1)i=1+i,得z﹣1=,∴z=2﹣i.故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.(2015新课标I文)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 解:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)共10种,其中只有(3,4,5)为勾股数,‎ 故这3个数构成一组勾股数的概率为.故选:C ‎ ‎ ‎5.(2015新课标I文)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎3‎ B.‎ ‎6‎ C.‎ ‎9‎ D.‎ ‎12‎ 解:椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点(c,0)与抛物线C:y2=8x的焦点(2,0)重合,‎ 可得c=2,a=4,b2=12,椭圆的标准方程为:,抛物线的准线方程为:x=﹣2,‎ 由,解得y=±3,所以a(﹣2,3),B(﹣2,﹣3).|AB|=6.故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(2015新课标I文)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎14斛 B.‎ ‎22斛 C.‎ ‎36斛 D.‎ ‎66斛 解:设圆锥的底面半径为r,则×2×3r=8,解得r=,‎ 故米堆的体积为××3×()2×5=,∵1斛米的体积约为1.62立方,‎ ‎∴÷1.62≈22,故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(2015新课标I文)已知{an}是公差为1的等差数列;Sn为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ ‎10‎ D.‎ ‎12‎ 解:∵{an}是公差为1的等差数列,S8=4S4,∴=4×(4a1+),‎ 解得a1=.则a10==.故选:B.‎ ‎ ‎ ‎8.(2015新课标I文)函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎(kπ﹣,kπ+,),k∈z B.‎ ‎(2kπ﹣,2kπ+),k∈z ‎ ‎ C.‎ ‎(k﹣,k+),k∈z D.‎ ‎(,2k+),k∈z 解:由函数f(x)=cos(ωx+ϕ)的部分图象,可得函数的周期为=2(﹣)=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+ϕ).再根据函数的图象以及五点法作图,可得+ϕ=,k∈z,即ϕ=,f(x)=cos(πx+).由2kπ≤πx+≤2kπ+π,求得 2k﹣≤x≤2k+,故f(x)的单调递减区间为(,2k+),k∈z,故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(2015新课标I文)执行如图的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5‎ B.‎ ‎6‎ C.‎ ‎7‎ D.‎ ‎8‎ 解:由程序框图知:算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值,‎ 再根据t=0.01,可得当n=6时,S=1﹣﹣=>0.01,而当n=7时,S=1﹣﹣=≤0.01,故输出的n值为7,故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(2015新课标I文)已知函数f(x)=且f(a)=﹣3,则f(6﹣a)=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣‎ B.‎ ‎﹣‎ C.‎ ‎﹣‎ D.‎ ‎﹣‎ 解:函数f(x)=且f(a)=﹣3,‎ 若a≤1,则2a﹣1﹣2=﹣3,即有2a﹣1=﹣1<0,方程无解;‎ 若a>1,则﹣log2(a+1)=﹣3,解得a=7,‎ 则f(6﹣a)=f(﹣1)=2﹣1﹣1﹣2=﹣.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎11.(2015新课标I文)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎2‎ C.‎ ‎4‎ D.‎ ‎8‎ 解:由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,‎ 截圆柱的平面过圆柱的轴线,‎ 该几何体是一个半球拼接半个圆柱,‎ ‎∴其表面积为:×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2,‎ 又∵该几何体的表面积为16+20π,‎ ‎∴5πr2+4r2=16+20π,解得r=2,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎12.(2015新课标I文)设函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称,且f(﹣2)+f(﹣4)=1,则a=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1‎ B.‎ ‎1‎ C.‎ ‎2‎ D.‎ ‎4‎ 解:∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数,‎ x=log2y﹣a(y>0),‎ 即g(x)=log2x﹣a,(x>0).‎ ‎∵函数y=f(x)的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称,‎ ‎∴f(x)=﹣g(﹣x)=﹣log2(﹣x)+a,x<0,‎ ‎∵f(﹣2)+f(﹣4)=1,‎ ‎∴﹣log22+a﹣log24+a=1,‎ 解得,a=2,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.(2015新课标I文)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和,若Sn=126,则n= 6 .‎ 解:∵an+1=2an,‎ ‎∴,‎ ‎∵,a1=2,‎ ‎∴数列{an}是a1=2为首项,以2为公比的等比数列,‎ ‎∴Sn===2n+1﹣2=126,‎ ‎∴2n+1=128,‎ ‎∴n+1=7,‎ ‎∴n=6.‎ 故答案为:6‎ ‎ ‎ ‎14.(2015新课标I文)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= 1 .‎ 解:函数f(x)=ax3+x+1的导数为:f′(x)=3ax2+1,f′(1)=3a+1,而f(1)=a+2,‎ 切线方程为:y﹣a﹣2=(3a+1)(x﹣1),因为切线方程经过(2,7),‎ 所以7﹣a﹣2=(3a+1)(2﹣1),‎ 解得a=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎15.(2015新课标I文)若x,y满足约束条件,则z=3x+y的最大值为 4 .‎ 解:作出不等式对应的平面区域如图,‎ 由z=3x+y,得y=﹣3x+z,‎ 平移直线y=﹣3x+z,由图象可知当直线y=﹣3x+z,经过点A时,直线y=﹣3x+z的截距最大,‎ 此时z最大.‎ 由,解得,即A(1,1)‎ 此时z的最大值为z=3×1+1=4,‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎16.(2015新课标I文)已知F是双曲线C:x2﹣=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 12 .‎ 解:由题意,设F′是左焦点,则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2‎ ‎≥|AF|+|AF′|+2(A,P,F′三点共线时,取等号),‎ 直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0,‎ ‎∴P的纵坐标为2,‎ ‎∴△APF周长最小时,该三角形的面积为﹣=12.‎ 故答案为:12.‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(2015新课标I文)(12分)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.‎ ‎(Ⅰ)若a=b,求cosB;‎ ‎(Ⅱ)设B=90°,且a=,求△ABC的面积.‎ 解:(I)∵sin2B=2sinAsinC,‎ 由正弦定理可得:>0,‎ 代入可得(bk)2=2ak•ck,‎ ‎∴b2=2ac,‎ ‎∵a=b,∴a=2c,‎ 由余弦定理可得:cosB===.‎ ‎(II)由(I)可得:b2=2ac,‎ ‎∵B=90°,且a=,‎ ‎∴a2+c2=2ac,解得a=c=.‎ ‎∴S△ABC==1.‎ ‎ ‎ ‎18.(2015新课标I文)(12分)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面BED;‎ ‎(Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积.‎ 证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD为菱形,‎ ‎∴AC⊥BD,‎ ‎∵BE⊥平面ABCD,‎ ‎∴AC⊥BE,‎ 则AC⊥平面BED,‎ ‎∵AC⊂平面AEC,‎ ‎∴平面AEC⊥平面BED;‎ 解:(Ⅱ)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,得AG=GC=x,GB=GD=,‎ ‎∵AE⊥EC,∴△EBG为直角三角形,‎ 则BE=x,‎ ‎∵三棱锥E﹣ACD的体积V===,‎ 解得x=2,‎ 从而得AE=EC=ED=,‎ ‎∴△EAC的面积为3,∴△EAD的面积和△ECD的面积均为,‎ 故该三棱锥的侧面积为3+2.‎ ‎ ‎ ‎19.(2015新课标I文)(12分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ ‎(xi﹣)2‎ ‎(wi﹣)2‎ ‎(xi﹣)(yi﹣)‎ ‎(wi﹣)(yi﹣)‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中wi=1,=‎ ‎(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)‎ ‎(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;‎ ‎(Ⅲ)以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:‎ ‎(i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少?‎ ‎(ii)年宣传费x为何值时,年利率的预报值最大?‎ 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…..(un vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,=﹣.‎ 解:(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型;‎ ‎(Ⅱ)令w=,先建立y关于w的线性回归方程,由于==68,‎ ‎=﹣=563﹣68×6.8=100.6,‎ 所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w,‎ 因此y关于x的回归方程为=100.6+68,‎ ‎(Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6,‎ 年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32,‎ ‎(ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润z的预报值=0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.6+20.12,‎ 当==6.8时,年利润的预报值最大.‎ ‎ ‎ ‎20.(2015新课标I文)(12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1交于点M、N两点.‎ ‎(1)求k的取值范围;‎ ‎(2)若•=12,其中O为坐标原点,求|MN|.‎ ‎(1)由题意可得,直线l的斜率存在,‎ 设过点A(0,1)的直线方程:y=kx+1,即:kx﹣y+1=0.‎ 由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3),半径R=1.‎ 故由=1,解得:k1=,k2=.‎ 故当<k<,过点A(0,1)的直线与圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1相交于M,N两点.‎ ‎(2)设M(x1,y1);N(x2,y2),‎ 由题意可得,经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,‎ 可得 (1+k2)x2﹣4(k+1)x+7=0,‎ ‎∴x1+x2=,x1•x2=,‎ ‎∴y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=,‎ 由•=x1•x2+y1•y2==12,解得 k=1,‎ 故直线l的方程为 y=x+1,即 x﹣y+1=0.‎ 圆心C在直线l上,MN长即为圆的直径.‎ 所以|MN|=2.‎ ‎ ‎ ‎21.(2015新课标I文)(12分)设函数f(x)=e2x﹣alnx.‎ ‎(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;‎ ‎(Ⅱ)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.‎ 解:(Ⅰ)f(x)=e2x﹣alnx的定义域为(0,+∞),‎ ‎∴f′(x)=2e2x﹣.‎ 当a≤0时,f′(x)>0恒成立,故f′(x)没有零点,‎ 当a>0时,∵y=e2x为单调递增,y=﹣单调递增,‎ ‎∴f′(x)在(0,+∞)单调递增,‎ 又f′(a)>0,‎ 当b满足0<b<时,且b<,f(b)<0,‎ 故当a>0时,导函数f′(x)存在唯一的零点,‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,可设导函数f′(x)在(0,+∞)上的唯一零点为x0,‎ 当x∈(0,x0)时,f′(x)<0,‎ 当x∈(x0+∞)时,f′(x)>0,‎ 故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0+∞)单调递增,‎ 所欲当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0),‎ 由于﹣=0,‎ 所以f(x0)=+2ax0+aln≥2a+aln.‎ 故当a>0时,f(x)≥2a+aln.‎ ‎ ‎ 四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.【选修4-1:几何证明选讲】‎ ‎22.(2015新课标I文)(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,BC交⊙O于点E.‎ ‎(Ⅰ)若D为AC的中点,证明:DE是⊙O的切线;‎ ‎(Ⅱ)若OA=CE,求∠ACB的大小.‎ 解:(Ⅰ)连接AE,由已知得AE⊥BC,AC⊥AB,‎ 在RT△ABC中,由已知可得DE=DC,∴∠DEC=∠DCE,‎ 连接OE,则∠OBE=∠OEB,‎ 又∠ACB+∠ABC=90°,∴∠DEC+∠OEB=90°,‎ ‎∴∠OED=90°,∴DE是⊙O的切线;‎ ‎(Ⅱ)设CE=1,AE=x,‎ 由已知得AB=2,BE=,‎ 由射影定理可得AE2=CE•BE,‎ ‎∴x2=,即x4+x2﹣12=0,‎ 解方程可得x=‎ ‎∴∠ACB=60°‎ ‎ ‎ 五、【选修4-4:坐标系与参数方程】‎ ‎23.(2015新课标I文)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.‎ 解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的极坐标方程为 ρcosθ=﹣2,‎ 故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为:(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1,化简可得ρ2﹣3ρ+4=0.‎ ‎(Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ=(ρ∈R)代入ρ2﹣3ρ+4=0,求得ρ1=2,ρ2=,‎ ‎∴|MN|=ρ1﹣ρ2=,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N,△C2MN的面积为•C2M•C2N=.‎ ‎ ‎ 六、【选修4-5:不等式选讲】‎ ‎24.(2015新课标I文)已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0.‎ ‎(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;‎ ‎(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1,即 ①,或 ②,或③.‎ 解①求得x∈∅,解②求得<x<1,解③求得1≤x<2.‎ 综上可得,原不等式的解集为(,2).‎ ‎(Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|=,‎ 由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (,0),B(2a+1,0),‎ 故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1),由△ABC的面积大于6,‎ 可得[2a+1﹣]•(a+1)>6,求得a>2.‎ 故要求的a的范围为(2,+∞).‎ ‎ ‎