高考文科数学试题全国新课标Ⅰ逐题详解纯word解析版 10页

‎2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（2015新课标I文）已知集合A={x|x=3n+2，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ ‎4‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎2‎ 解：A={x|x=3n+2，n∈N}={2，5，8，11，14，17，…}，‎ 则A∩B={8，14}，故集合A∩B中元素的个数为2个，故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．（2015新课标I文）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣7，﹣4）‎ B．‎ ‎（7，4）‎ C．‎ ‎（﹣1，4）‎ D．‎ ‎（1，4）‎ 解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3），‎ 则向量==（﹣7，﹣4）；故答案为：A．‎ ‎　‎ ‎3．（2015新课标I文）已知复数z满足（z﹣1）i=1+i，则z=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣2﹣i B．‎ ‎﹣2+i C．‎ ‎2﹣i D．‎ ‎2+i 解：由（z﹣1）i=1+i，得z﹣1=，∴z=2﹣i．故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（2015新课标I文）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，‎ 故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C ‎　‎ ‎5．（2015新课标I文）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y2=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎9‎ D．‎ ‎12‎ 解：椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点（c，0）与抛物线C：y2=8x的焦点（2，0）重合，‎ 可得c=2，a=4，b2=12，椭圆的标准方程为：，抛物线的准线方程为：x=﹣2，‎ 由，解得y=±3，所以a（﹣2，3），B（﹣2，﹣3）．|AB|=6．故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．（2015新课标I文）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学明著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎14斛 B．‎ ‎22斛 C．‎ ‎36斛 D．‎ ‎66斛 解：设圆锥的底面半径为r，则×2×3r=8，解得r=，‎ 故米堆的体积为××3×（）2×5=，∵1斛米的体积约为1.62立方，‎ ‎∴÷1.62≈22，故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（2015新课标I文）已知{an}是公差为1的等差数列；Sn为{an}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎10‎ D．‎ ‎12‎ 解：∵{an}是公差为1的等差数列，S8=4S4，∴=4×（4a1+），‎ 解得a1=．则a10==．故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（2015新课标I文）函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（kπ﹣，kπ+，），k∈z B．‎ ‎（2kπ﹣，2kπ+），k∈z ‎　‎ C．‎ ‎（k﹣，k+），k∈z D．‎ ‎（，2k+），k∈z 解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos（πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得 2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（2015新课标I文）执行如图的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎7‎ D．‎ ‎8‎ 解：由程序框图知：算法的功能是求S=1﹣﹣≤t 时n的最小值，‎ 再根据t=0.01，可得当n=6时，S=1﹣﹣=＞0.01，而当n=7时，S=1﹣﹣=≤0.01，故输出的n值为7，故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（2015新课标I文）已知函数f（x）=且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣‎ B．‎ ‎﹣‎ C．‎ ‎﹣‎ D．‎ ‎﹣‎ 解：函数f（x）=且f（a）=﹣3，‎ 若a≤1，则2a﹣1﹣2=﹣3，即有2a﹣1=﹣1＜0，方程无解；‎ 若a＞1，则﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，‎ 则f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣1﹣2=﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（2015新课标I文）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎4‎ D．‎ ‎8‎ 解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，‎ 截圆柱的平面过圆柱的轴线，‎ 该几何体是一个半球拼接半个圆柱，‎ ‎∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，‎ 又∵该几何体的表面积为16+20π，‎ ‎∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（2015新课标I文）设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）=1，则a=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎2‎ D．‎ ‎4‎ 解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，‎ x=log2y﹣a（y＞0），‎ 即g（x）=log2x﹣a，（x＞0）．‎ ‎∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=﹣x对称，‎ ‎∴f（x）=﹣g（﹣x）=﹣log2（﹣x）+a，x＜0，‎ ‎∵f（﹣2）+f（﹣4）=1，‎ ‎∴﹣log22+a﹣log24+a=1，‎ 解得，a=2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13．（2015新课标I文）在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n=　6　．‎ 解：∵an+1=2an，‎ ‎∴，‎ ‎∵，a1=2，‎ ‎∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，‎ ‎∴Sn===2n+1﹣2=126，‎ ‎∴2n+1=128，‎ ‎∴n+1=7，‎ ‎∴n=6．‎ 故答案为：6‎ ‎　‎ ‎14．（2015新课标I文）已知函数f（x）=ax3+x+1的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，7），则a=　1　．‎ 解：函数f（x）=ax3+x+1的导数为：f′（x）=3ax2+1，f′（1）=3a+1，而f（1）=a+2，‎ 切线方程为：y﹣a﹣2=（3a+1）（x﹣1），因为切线方程经过（2，7），‎ 所以7﹣a﹣2=（3a+1）（2﹣1），‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎15．（2015新课标I文）若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为　4　．‎ 解：作出不等式对应的平面区域如图，‎ 由z=3x+y，得y=﹣3x+z，‎ 平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，‎ 此时z最大．‎ 由，解得，即A（1，1）‎ 此时z的最大值为z=3×1+1=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（2015新课标I文）已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C的左支上一点，A（0，6）．当△APF周长最小时，该三角形的面积为　12　．‎ 解：由题意，设F′是左焦点，则△APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF′|+2‎ ‎≥|AF|+|AF′|+2（A，P，F′三点共线时，取等号），‎ 直线AF′的方程为与x2﹣=1联立可得y2+6y﹣96=0，‎ ‎∴P的纵坐标为2，‎ ‎∴△APF周长最小时，该三角形的面积为﹣=12．‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（2015新课标I文）（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．‎ ‎（Ⅰ）若a=b，求cosB；‎ ‎（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．‎ 解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，‎ 由正弦定理可得：＞0，‎ 代入可得（bk）2=2ak•ck，‎ ‎∴b2=2ac，‎ ‎∵a=b，∴a=2c，‎ 由余弦定理可得：cosB===．‎ ‎（II）由（I）可得：b2=2ac，‎ ‎∵B=90°，且a=，‎ ‎∴a2+c2=2ac，解得a=c=．‎ ‎∴S△ABC==1．‎ ‎　‎ ‎18．（2015新课标I文）（12分）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E﹣ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积．‎ 证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∵BE⊥平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥BE，‎ 则AC⊥平面BED，‎ ‎∵AC⊂平面AEC，‎ ‎∴平面AEC⊥平面BED；‎ 解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=x，GB=GD=，‎ ‎∵AE⊥EC，∴△EBG为直角三角形，‎ 则BE=x，‎ ‎∵三棱锥E﹣ACD的体积V===，‎ 解得x=2，‎ 从而得AE=EC=ED=，‎ ‎∴△EAC的面积为3，∴△EAD的面积和△ECD的面积均为，‎ 故该三棱锥的侧面积为3+2．‎ ‎　‎ ‎19．（2015新课标I文）（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．‎ ‎（xi﹣）2‎ ‎（wi﹣）2‎ ‎（xi﹣）（yi﹣）‎ ‎（wi﹣）（yi﹣）‎ ‎46.6‎ ‎563‎ ‎6.8‎ ‎289.8‎ ‎1.6‎ ‎1469‎ ‎108.8‎ 表中wi=1，=‎ ‎（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）以知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：‎ ‎（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？‎ ‎（ii）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？‎ 附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（un vn），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．‎ 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；‎ ‎（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，‎ ‎=﹣=563﹣68×6.8=100.6，‎ 所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，‎ 因此y关于x的回归方程为=100.6+68，‎ ‎（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，‎ 年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，‎ ‎（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，‎ 当==6.8时，年利润的预报值最大．‎ ‎　‎ ‎20．（2015新课标I文）（12分）已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1交于点M、N两点．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若•=12，其中O为坐标原点，求|MN|．‎ ‎（1）由题意可得，直线l的斜率存在，‎ 设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．‎ 由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．‎ 故由=1，解得：k1=，k2=．‎ 故当＜k＜，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．‎ ‎（2）设M（x1，y1）；N（x2，y2），‎ 由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，‎ 可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=，‎ 由•=x1•x2+y1•y2==12，解得 k=1，‎ 故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．‎ 圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．‎ 所以|MN|=2．‎ ‎　‎ ‎21．（2015新课标I文）（12分）设函数f（x）=e2x﹣alnx．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的导函数f′（x）零点的个数；‎ ‎（Ⅱ）证明：当a＞0时，f（x）≥2a+aln．‎ 解：（Ⅰ）f（x）=e2x﹣alnx的定义域为（0，+∞），‎ ‎∴f′（x）=2e2x﹣．‎ 当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f′（x）没有零点，‎ 当a＞0时，∵y=e2x为单调递增，y=﹣单调递增，‎ ‎∴f′（x）在（0，+∞）单调递增，‎ 又f′（a）＞0，‎ 当b满足0＜b＜时，且b＜，f（b）＜0，‎ 故当a＞0时，导函数f′（x）存在唯一的零点，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可设导函数f′（x）在（0，+∞）上的唯一零点为x0，‎ 当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，‎ 当x∈（x0+∞）时，f′（x）＞0，‎ 故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0+∞）单调递增，‎ 所欲当x=x0时，f（x）取得最小值，最小值为f（x0），‎ 由于﹣=0，‎ 所以f（x0）=+2ax0+aln≥2a+aln．‎ 故当a＞0时，f（x）≥2a+aln．‎ ‎　‎ 四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．【选修4-1：几何证明选讲】‎ ‎22．（2015新课标I文）（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．‎ ‎（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．‎ 解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，‎ 在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，‎ 连接OE，则∠OBE=∠OEB，‎ 又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，‎ ‎∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；‎ ‎（Ⅱ）设CE=1，AE=x，‎ 由已知得AB=2，BE=，‎ 由射影定理可得AE2=CE•BE，‎ ‎∴x2=，即x4+x2﹣12=0，‎ 解方程可得x=‎ ‎∴∠ACB=60°‎ ‎　‎ 五、【选修4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎23．（2015新课标I文）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为 ρcosθ=﹣2，‎ 故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣3ρ+4=0．‎ ‎（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，‎ ‎∴|MN|=ρ1﹣ρ2=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=．‎ ‎　‎ 六、【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎24．（2015新课标I文）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即 ①，或 ②，或③．‎ 解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．‎ 综上可得，原不等式的解集为（，2）．‎ ‎（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，‎ 由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），‎ 故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，‎ 可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．‎ 故要求的a的范围为（2，+∞）．‎ ‎　‎