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- 2021-05-13 发布
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高考数学思想方法专题:第二讲 数形结合思想
【思想方法诠释】
一、数形结合的思想
所谓的数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学的规律性与灵活性的有机结合.
数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.
二、数形结合思想解决的问题常有以下几种:
1.构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;
2.构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;
3.构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;
4.构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;
5.构建立体几何模型研究代数问题;
6.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;
7.构建方程模型,求根的个数;
8.研究图形的形状、位置关系、性质等。
三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效,具体操作时,应注意以下几点:
1.准确画出函数图象,注意函数的定义域;
2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图)然后作出两个函数的图象,由图求解。
四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点:
1.要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;
2.要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化;
3.要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;
4.精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解。
【核心要点突破】
要点考向1:利用数学概念或数学式的几何意义解题
例1:实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:
(1)点(a,b)对应的区域的面积;
(2)的取值范围;
(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.
思路精析:列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域.
解析:方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,
由此可得不等式组
由,解得A(-3,1).
由,解得C(-1,0).
∴在如图所示的aOb坐标平面内,满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).
(1)△ABC的面积为(h为A到Oa轴的距离).
(2)几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率.
由图可知
(3)∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,
注:如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:
(1)连线的斜率;
(2)之间的距离;
(3)为直角三角形的三边;
(4)图象的对称轴为x=.只要具有一定的观察能力,再掌握常见的数与形的对应类型,就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.
要点考向2:用数形结合求方程根的个数,解决与不等式有关的问题
例2:(1)已知:函数f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是( )
(A)5 (B)7 (C)9 (D)10
(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]时,恒有f(x)≤g(x),求实数a的范围.
思路精析:(1)画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数.
(2)f(x)≤g(x)变形为→画出的图象
→画出的图象→寻找成立的位置
解析:(1)选C.由题间可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数.又f(x) =lgx,则x∈(0,10],画出两函数图象,则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.
(2)f(x)≤g(x),即,变形得,令…………①,………………②
①变形得,即表示以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半圆;
②表示斜率为,纵截距为1-a的平行直线系.设与圆相切的直线为AT,其倾斜角为,则有tan=,,
要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立,则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合,故有1-a≥6,∴a≤-5.
注:(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.
(2)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.
(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.
要点考向2:数形结合在解析几何中的应用
例3:已知椭圆的中心在原点,一个焦点,且长轴长与短轴长的比是.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若椭圆在第一象限的一点的横坐标为,过点作倾斜角互补的两条不同的直线,分别交椭圆于另外两点,,求证:直线的斜率为定值;
(Ⅲ)求面积的最大值.
解析:(Ⅰ)设椭圆的方程为.
由题意 ………………………………………………2分
解得 ,.
所以椭圆的方程为.………………………………………………4分
(Ⅱ)由题意知,两直线,的斜率必存在,设的斜率为,则的直线方程为.
由得
.………………6分
设,,则
,
同理可得,
则,.
所以直线的斜率为定值. ……………………………………8分
(Ⅲ)设的直线方程为.
由得.
由,得.……………………………………10分
此时,.
到的距离为,
则
.
因为使判别式大于零,
所以当且仅当时取等号,
所以面积的最大值为.………………………………………………………13分
注:1.数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形,通过方程等代数的方法来研究几何问题,也就是解析法,解析法与几何法结合来解题,会有更大的功效.
2.此类题目的求解要结合该类图形的几何性质,将条件信息或结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代数语言,即方程(组)或不等式(组),从而将问题解决.
要点考向2:数形结合在立体几何中的应用
例4:如图1,在直角梯形中,,,, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.
(Ⅰ) 求证:平面;
(Ⅱ) 求二面角的余弦值.
解析:(Ⅰ)在图1中,可得,从而,故.
取中点连结,则,又面面,
面面,面,从而平面. …………………4分
∴,又,.
∴平面. ………………………………………………6分
(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示,则,,
,. ………………………………………………8分
设为面的法向量,
则即,解得.
令,可得.
又为面的一个法向量,
∴.
∴二面角的余弦值为.
注:1.应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角;位置关系中的平行、垂直及点的空间位置.其一般思路是:尽量建立空间直角坐标系,将要证、要求的问题转化为坐标运算.
2.立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质,结合该类图形的几何性质,将条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,为代数法求解找到突破口.
【跟踪模拟训练】
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.方程lgx=sinx的根的个数( )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
2.已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},则右图中阴影部分表示的集合为( )
A.(3,5) B.(-2,+) C.(-2,5) D.(5,+ )
3.在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为( )
(A)2 (B)1 (C) (D)
4.函数图象如图,则函数 的单调递增区间为( )
-2
3
y
x
0
A. B. C. D.
5.不等式组有解,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当04时,f(x)在[t,t+1]上单调递减(如图③),
h(t)=f(t)=-t2+8t.
(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数φ
(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.
∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,
当x∈(0,1)时φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;
当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;
当x=1或x=3时,φ′(x)=0.
∴φ(x)极大值=φ(1)=m-7,
φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15.
∵当x充分接近0时,φ(x)<0,
当x充分大时,φ(x)>0,
∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,
即7c
(B)b≥c或b≤c中至少有一个正确
(C)b