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  • 2021-05-13 发布

高考数学思想方法专题 数形结合思想

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高考数学思想方法专题:第二讲 数形结合思想 ‎【思想方法诠释】‎ 一、数形结合的思想 所谓的数形结合,就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,寻找解题思路,使问题得到解决,数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从形的直观和数的严谨两方面思考问题,拓宽了解题思路,是数学的规律性与灵活性的有机结合.‎ 数形结合的实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键是代数问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化.‎ 二、数形结合思想解决的问题常有以下几种:‎ ‎1.构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围;‎ ‎2.构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围;‎ ‎3.构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系;‎ ‎4.构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式;‎ ‎5.构建立体几何模型研究代数问题;‎ ‎6.构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题;‎ ‎7.构建方程模型,求根的个数;‎ ‎8.研究图形的形状、位置关系、性质等。‎ 三、数形结合思想是解答高考数学试题的一种常见方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥奇特功效,具体操作时,应注意以下几点:‎ ‎1.准确画出函数图象,注意函数的定义域;‎ ‎2.用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整,以便于作图)然后作出两个函数的图象,由图求解。‎ 四、在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点:‎ ‎1.要清楚一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征;‎ ‎2.要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化;‎ ‎3.要正确确定参数的取值范围,以防重复和遗漏;‎ ‎4.精心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解。‎ ‎【核心要点突破】‎ 要点考向1:利用数学概念或数学式的几何意义解题 例1:实系数一元二次方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,求:‎ ‎(1)点(a,b)对应的区域的面积;‎ ‎(2)的取值范围;‎ ‎(3)(a-1)2+(b-2)2的值域.‎ 思路精析:列出a,b满足的条件→画出点(a,b)对应的区域→求面积→根据的几何意义求范围→根据(a-1)2+(b-2)2的几何意义求值域.‎ 解析:方程x2+ax+2b=0的两根在区间(0,1)和(1,2)上的几何意义分别是:函数y=f(x)= x2+ax+2b与x轴的两个交点的横坐标分别在区间(0,1)和(1,2)内,‎ 由此可得不等式组 由,解得A(-3,1).‎ 由,解得C(-1,0).‎ ‎∴在如图所示的aOb坐标平面内,满足条件的点(a,b)对应的平面区域为△ABC(不包括边界).‎ ‎(1)△ABC的面积为(h为A到Oa轴的距离).‎ ‎(2)几何意义是点(a,b)和点D(1,2)边线的斜率.‎ 由图可知 ‎(3)∵(a-1)2+(b-2)2表示的区域内的点(a,b)与定点(1,2)之间距离的平方,‎ 注:如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的几何法求解,比较常见的对应有:‎ ‎(1)连线的斜率;‎ ‎(2)之间的距离;‎ ‎(3)为直角三角形的三边;‎ ‎(4)图象的对称轴为x=.只要具有一定的观察能力,再掌握常见的数与形的对应类型,就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法.‎ 要点考向2:用数形结合求方程根的个数,解决与不等式有关的问题 例2:(1)已知:函数f(x)满足下面关系:①f(x+1)=f(x-1);②当x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则方程f(x)=lgx解的个数是( )‎ ‎(A)5 (B)7 (C)9 (D)10‎ ‎(2)设有函数f(x)=a+ 和g(x)= ,已知x∈[-4,0]时,恒有f(x)≤g(x),求实数a的范围.‎ 思路精析:(1)画出f(x)的图象→画出y=lgx的图象→数出交点个数.‎ ‎(2)f(x)≤g(x)变形为→画出的图象 ‎→画出的图象→寻找成立的位置 解析:(1)选C.由题间可知,f(x)是以2为周期,值域为[0,1]的函数.又f(x) =lgx,则x∈(0,10],画出两函数图象,则交点个数即为解的个数.由图象可知共9个交点.‎ ‎(2)f(x)≤g(x),即,变形得,令…………①,………………②‎ ‎①变形得,即表示以(-2,0)为圆心,2为半径的圆的上半圆;‎ ‎②表示斜率为,纵截距为1-a的平行直线系.设与圆相切的直线为AT,其倾斜角为,则有tan=,,‎ 要使f(x)≤g(x)在x∈[-4,0]时恒成立,则②成立所表示的直线应在直线AT的上方或与它重合,故有1-a≥6,∴a≤-5.‎ 注:(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法,其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时,需要作适当变形转化为两熟悉的函数),然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数.‎ ‎(2)解不等式问题经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以避免繁琐的运算,获得简捷的解答.‎ ‎(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降;奇偶性经常联系函数图象的对称性;最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标.‎ 要点考向2:数形结合在解析几何中的应用 例3:已知椭圆的中心在原点,一个焦点,且长轴长与短轴长的比是.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若椭圆在第一象限的一点的横坐标为,过点作倾斜角互补的两条不同的直线,分别交椭圆于另外两点,,求证:直线的斜率为定值;‎ ‎(Ⅲ)求面积的最大值.‎ 解析:(Ⅰ)设椭圆的方程为.‎ 由题意 ………………………………………………2分 解得 ,.‎ 所以椭圆的方程为.………………………………………………4分 ‎(Ⅱ)由题意知,两直线,的斜率必存在,设的斜率为,则的直线方程为.‎ 由得 ‎ ‎.………………6分 设,,则 ‎,‎ 同理可得, ‎ 则,.‎ 所以直线的斜率为定值. ……………………………………8分 ‎(Ⅲ)设的直线方程为.‎ 由得.‎ 由,得.……………………………………10分 此时,.‎ 到的距离为,‎ ‎ ‎ 则 ‎.‎ 因为使判别式大于零,‎ 所以当且仅当时取等号,‎ 所以面积的最大值为.………………………………………………………13分 注:1.数形结合思想中一个非常重要的方面是以数辅形,通过方程等代数的方法来研究几何问题,也就是解析法,解析法与几何法结合来解题,会有更大的功效.‎ ‎2.此类题目的求解要结合该类图形的几何性质,将条件信息或结论信息结合在一起,观察图形特征,转化为代数语言,即方程(组)或不等式(组),从而将问题解决.‎ 要点考向2:数形结合在立体几何中的应用 例4:如图1,在直角梯形中,,,, 为线段的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图2所示.‎ ‎(Ⅰ) 求证:平面;‎ ‎(Ⅱ) 求二面角的余弦值.‎ 解析:(Ⅰ)在图1中,可得,从而,故.‎ 取中点连结,则,又面面,‎ 面面,面,从而平面. …………………4分 ‎∴,又,.‎ ‎∴平面. ………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)建立空间直角坐标系如图所示,则,,‎ ‎,. ………………………………………………8分 设为面的法向量,‎ 则即,解得.‎ 令,可得.‎ 又为面的一个法向量,‎ ‎∴.‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ 注:1.应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角、线面角、二面角;位置关系中的平行、垂直及点的空间位置.其一般思路是:尽量建立空间直角坐标系,将要证、要求的问题转化为坐标运算.‎ ‎2.立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质,结合该类图形的几何性质,将条件信息和结论信息结合在一起,观察图形特征,为代数法求解找到突破口.‎ ‎【跟踪模拟训练】‎ 一、选择题(每小题6分,共36分)‎ ‎1.方程lgx=sinx的根的个数( )‎ ‎(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 ‎2.已知全集U=R,集合A={x|x2-3x-10<0},B={x|x>3},则右图中阴影部分表示的集合为( )‎ A.(3,5) B.(-2,+) C.(-2,5) D.(5,+ )‎ ‎3.在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为( )‎ ‎ (A)2 (B)1 (C) (D) ‎ ‎4.函数图象如图,则函数 的单调递增区间为( )‎ ‎-2‎ ‎3‎ y x ‎0‎ A. B. C. D.‎ ‎5.不等式组有解,则实数的取值范围是( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎6.已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当04时,f(x)在[t,t+1]上单调递减(如图③),‎ h(t)=f(t)=-t2+8t.‎ ‎(2)函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,即函数φ ‎(x)=g(x)-f(x)的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点.‎ ‎∵φ(x)=x2-8x+6lnx+m,‎ 当x∈(0,1)时φ′(x)>0,φ(x)是增函数;‎ 当x∈(1,3)时,φ′(x)<0,φ(x)是减函数;‎ 当x∈(3,+∞)时,φ′(x)>0,φ(x)是增函数;‎ 当x=1或x=3时,φ′(x)=0.‎ ‎∴φ(x)极大值=φ(1)=m-7,‎ φ(x)极小值=φ(3)=m+6ln3-15.‎ ‎∵当x充分接近0时,φ(x)<0,‎ 当x充分大时,φ(x)>0,‎ ‎∴要使φ(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点,‎ 即7c ‎(B)b≥c或b≤c中至少有一个正确 ‎(C)b