高考数学一轮复习课后强化作业23导数的实际应用文理合用 人教A版 11页

‎2012届高考数学一轮复习课后强化作业 ‎2.3导数的实际应用 ‎ 一、选择题 ‎1．(2010·山东济南市模考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b的值为(　　)‎ A．－3　 　　‎ B．9　　　　‎ C．－15　　　‎ D．－7‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.‎ 又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，‎ ‎∴b＝3－2k＝3－18＝－15，故选C.‎ ‎2．(2010·安徽合肥市质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f ′(x)的图象可能是(　　)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x)≤0，在(－∞，0)上f ′(x)≥0，故选D.‎ ‎3．(文)(2010·甘肃省质检)函数f(x)＝x3－ax2＋x在x＝1处的切线与直线y＝2x平行，则a＝(　　)‎ A．0 ‎ B．1 ‎ C．2 ‎ D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　由条件知，f ′(1)＝3×12－‎2a×1＋1＝2，‎ ‎∴a＝1.‎ ‎(理)(2010·烟台市诊断)曲线y＝cosx在x＝处的切线方程是(　　)‎ A．x－y－＝0 ‎ B．x＋y＋＝0‎ C．x＋y－＝0 ‎ D．x＋y＋＝0‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　y′|x＝＝－sinx|x＝＝－sin＝－1，‎ ‎∴切线方程为y－cos＝－，‎ 即x＋y－1－＝0，故选C.‎ ‎4．(文)圆柱的表面积为S，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为(　　)‎ A. ‎ B. C. ‎ D．3π· ‎[答案]　C ‎[解析]　设圆柱底面半径为r，高为h，‎ ‎∴S＝2πr2＋2πrh∴h＝ 又V＝πr2h＝，则V′＝，令V′＝0‎ 得S＝6πr2，∴h＝2r，r＝.‎ ‎(理)内接于半径为R的球并且体积最大的圆锥的高为(　　)‎ A．R ‎ B．2R C.R ‎ D.R ‎[答案]　C ‎[解析]　设圆锥的高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2∴r2＝2Rh－h2‎ ‎∴V＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3‎ V′＝πRh－πh2，令V′＝0得h＝R.‎ ‎5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为‎20cm，要使其体积最大，则高为(　　)‎ A.cm ‎ B.cm C.cm ‎ D.cm ‎[答案]　D ‎[解析]　设圆锥的高为x，则底面半径为，‎ 其体积为V＝πx(400－x2)　(0＜x＜20)，‎ V′＝π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝.‎ 当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0‎ 所以当x＝时，V取最大值．‎ ‎6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R与产量x的关系是R＝则总利润最大时，每年生产的产品是(　　)‎ A．100 ‎ B．150 ‎ C．200 ‎ D．300‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意，总成本为C＝20000＋100x.所以总利润为P＝R－C＝ P′＝ 令P′＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．‎ ‎7．(文)(2010·山东邹平)若函数y＝ex＋mx有极值，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．m>0 ‎ B．m<0‎ C．m>1 ‎ D．m<1‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　y′＝ex＋m，由条件知ex＋m＝0有实数解，‎ ‎∴m＝－ex<0，故选B.‎ ‎(理)(2010·泰安质检)已知非零向量a，b满足：|a|＝2|b|，若函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，设向量a，b的夹角为θ，则cosθ的取值范围为(　　)‎ A. ‎ B. C. ‎ D. ‎[答案]　D ‎[解析]　∵函数f(x)在R上有极值，∴f ′(x)＝x2＋|a|x＋a·b＝0有两不等实根，∴Δ＝|a|2－4|a|·|b|cosθ＝4|b|2－8|b|2cosθ>0，∴cosθ<，∴选D.‎ ‎[点评]　若f(x)为三次函数，f(x)在R上有极值，则f ′(x)＝0应有二不等实根，当f(x)有两相等实根时，不能保证f(x)有极值，这一点要特别注意，如f(x)＝x3，f ′(x)＝x2＝0有实根x＝0，但f(x)在R上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．‎ ‎8．(文)(2010·常德市检测)已知函数f(x)＝x3＋ax2－bx＋1(a、b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，则a＋b的最小值是(　　)‎ A. ‎ B. ‎ C．2 ‎ D．3‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　f ′(x)＝x2＋2ax－b，在[－1,3]上有f ′(x)≤0，∴，∴，‎ 由得，‎ ‎∴当直线a＋b＝z经过点A(－1,3)时，zmin＝2.‎ ‎(理)(2010·鞍山一中)函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋‎2a＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a>－ ‎ B．－－ ‎ D．－≤a≤－ ‎[答案]　B ‎[解析]　f ′(x)＝ax2＋ax－‎2a＝a(x＋2)(x－1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f(x)的一个极大值点和一个极小值点，‎ ‎∵f(x)的图象经过4个象限，∴f(－2)·f(1)<0，‎ ‎∴<0，∴－0和x>0，得00，∴x＝8.‎ 因为当0＜x＜8时，y′＜0；当x＞8时，y′＞0，‎ 所以当x＝8时，y取最小值，此时宽为‎8m，长为‎16m.‎ 即当堆料场的长为‎16m，宽为‎8m时，可使砌墙所用材料最省．‎ 三、解答题 ‎15．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为‎2m2‎的正四棱锥形有盖容器(如右图)．设容器的高为hm，盖子边长为am.‎ ‎(1)求a关于h的函数解析式；‎ ‎(2)设容器的容积为Vm3，则当h为何值时，V最大？求出V的最大值．(容器的厚度忽略不计)‎ ‎[解析]　(1)如右图，作PO⊥平面ABCD，O为垂足，作OE⊥BC于E，连结PE，则PE⊥BC，正四棱锥的全面积为 ‎2＝4××a×＋a2.‎ 所以a＝　(h>0)．‎ ‎(2)V＝a2h＝·(h>0)，‎ V′＝·＝.‎ 所以当00.所以V(h)在(0,1]上为增函数．‎ 当h>1时，V′<0，所以V(h)在[1，＋∞)上为减函数．‎ 故h＝1为函数V(h)的唯一极大值点也是最大值点，‎ ‎∴Vmax＝.‎ 答：当高h＝‎1m时，容积取最大值m3.‎ ‎16．(2010·陕西宝鸡市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x(00；当0.‎ 又(－b)2＋2b(－b)－2b2＝－3b2≠0，‎ 即－b不是方程x2＋2bx－2b2＝0的根．‎ ‎∴f(x)＝0有不同于－b的根x1、x2.‎ ‎∵x1＋x2＝－2b，∴x1，－b，x2成等差数列．‎ ‎(3)∵x→＋∞，f(x)→＋∞，且x＝0是极大值点，‎ ‎∴f(0)<16，即－2b3<16，‎ ‎∴b>－2，于是－2