陕西省咸阳市高考数学二模试卷理科 23页

‎2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）若复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（　　）‎ A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）‎ ‎2．（5分）若集合M＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x∈Z|log5（x+1）≤1}，则M∩N＝（　　）‎ A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2}‎ ‎3．（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法不正确的是（　　）‎ A．这10天中有3天空气质量为一级 ‎ B．从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低 ‎ C．这10天中PM2.5日均值的中位数是55 ‎ D．这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日 ‎4．（5分）《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（　　）‎ A．15.5尺 B．12.5尺 C．10.5尺 D．9.5尺 ‎5．（5分）设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊊α，b⊊β，α∥β，则a∥b ‎ C．若a∥α，a∥β，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β ‎6．（5分）函数y＝x﹣πsinx的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎7．（5分）已知G是△ABC的重心，若，则x+y＝（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．‎ ‎8．（5分）双曲线的渐近线与抛物线交于点A，B，且AB过抛物线C2的焦点，则双曲线C1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎9．（5分）已知二项式展开式中含x6项的系数为60，则实数a的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎10．（5分）已知a，b，c分别是方程的实数解，则（　　）‎ A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎11．（5分）△ABC中，，将△ABC沿BC上的高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，则三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为（　　）‎ A．π B． C．3π D．2π ‎12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），任意x∈（0，π），有f'（x）sinx＞f（x）cosx，且f（x）+f（﹣x）＝0，设，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．（5分）椭圆的焦距为2，则a＝　 　．‎ ‎14．（5分）已知a，b∈R+，且a+b＝1，则的最小值为　 　．‎ ‎15．（5分）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是a，b，c，当且仅当a＜b且b＞c时称为“凸函数”．现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的概率为　 　．‎ ‎16．（5分）已知等比数列{an}的各项都为正数，满足a1＝2，a7＝4a5，设bn＝log2a1+log2a2+…+log2an，则数列的前2019项和S2019　 　．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，共线．‎ ‎（1）求∠A的大小；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求b+c的最小值．‎ ‎18．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如表：‎ 类型 浮动因素 浮动比率 A1‎ 上一年度未发生有责任的道路交通事故 下浮10%‎ A2‎ 上两年度未发生有责任的道路交通事故 下浮20%‎ A3‎ 上三年度未发生有责任的道路交通事故 下浮30%‎ A4‎ 上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ A5‎ 上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮10%‎ A6‎ 上三年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故 上浮30%‎ 据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：‎ 类型 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ 数量 ‎40‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率．‎ ‎（1）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率；‎ ‎（2）记ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是CC1的中点 ‎（1）求证：平面A1DB⊥平面ABB1A1；‎ ‎（2）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，求平面A1DB与平面ABC夹角的余弦值．‎ ‎20．（12分）设定点F（0，1），动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切．‎ ‎（1）求动点E的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设A，B是曲线C上两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1﹣2lnx（a∈R）．‎ ‎（1）当a≥1时，求证：f（x）≥0；‎ ‎（2）讨论函数f（x）零点的个数．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]（本小题10分）‎ ‎22．（10分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设过点P（1，0）且倾斜角为45°的直线l和曲线C交于两点A，B，求的值．‎ ‎[选修4-：5：不等式选讲]（本小题10分）‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣m（x∈R），且f（x+2）≤0的解集为[﹣1，1]．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）设a，b，c∈R+，且a2+b2+c2＝m，求a+2b+3c的最大值．‎ ‎2019年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）若复数（i为虚数单位）在复平面上对应的点的坐标为（　　）‎ A．（1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（﹣1，﹣1）‎ ‎【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；36：整体思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则和几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：z＝＝＝1﹣i，‎ 故复数z＝（i是虚数单位）在复平面内对应的点是（1，﹣1），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了复数的运算法则和几何意义，属于基础题．‎ ‎2．（5分）若集合M＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x∈Z|log5（x+1）≤1}，则M∩N＝（　　）‎ A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{0，1，2}‎ ‎【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4O：定义法；5J：集合．‎ ‎【分析】求出集合N的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．‎ ‎【解答】解：由log5（x+1）≤1得0＜x+1≤5，得﹣1＜x≤4，即N＝{0，1，2，3，4}，‎ 则M∩N＝{0，1，2}，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎3．（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法不正确的是（　　）‎ A．这10天中有3天空气质量为一级 ‎ B．从6日到9日PM2.5日均值逐渐降低 ‎ C．这10天中PM2.5日均值的中位数是55 ‎ D．这10天中PM2.5日均值最高的是12月6日 ‎【考点】B9：频率分布折线图、密度曲线．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】由图可知，第1，3，4这三天的空气质量为一级，‎ ‎【解答】解：在35μg/m3以下的有3天（第一天，第三天，第四天）故A正确 这10天中PM2.5日均值从小到大排序为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80．中位数为＝43．所以C不正确．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了频率分布折线图，密度曲线，属基础题．‎ ‎4．（5分）《周髀算经》中一个问题：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（　　）‎ A．15.5尺 B．12.5尺 C．10.5尺 D．9.5尺 ‎【考点】84：等差数列的通项公式．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设此等差数列{an}的公差为d，由已知可得a1+a4+a7＝3a1+9d＝37.5，a1+11d＝4.5，联立解得：d，a1．‎ ‎【解答】解：设此等差数列{an}的公差为d，‎ 则a1+a4+a7＝3a1+9d＝37.5，a1+11d＝4.5，‎ 解得：d＝﹣1，a1＝15.5．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎5．（5分）设a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（　　）‎ A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊊α，b⊊β，α∥β，则a∥b ‎ C．若a∥α，a∥β，则α∥β D．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β ‎【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交或平行；在C中，若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，由面面垂直的判定定理得α⊥β．‎ ‎【解答】解：由a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，得：‎ 在A中，若a∥α，b∥α，则a与b相交、平行或异面，故A错误；‎ 在B中，若a⊊α，b⊊α，α∥β，则a与b相交或平行，故B错误；‎ 在C中，若a∥α，a∥β，则α与β相交或平行，故C错误；‎ 在D中，若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎6．（5分）函数y＝x﹣πsinx的大致图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【考点】3A：函数的图象与图象的变换．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】判断函数的奇偶性，结合函数的对称性以及利用极限思想进行排除即可．‎ ‎【解答】解：f（﹣x）＝﹣x+πsinx＝﹣（x﹣πsinx）＝﹣f（x），‎ 则函数f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C，‎ 当x→+∞，f（x）→+∞，排除A，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，利用排除法是解决本题的关键．‎ ‎7．（5分）已知G是△ABC的重心，若，则x+y＝（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．‎ ‎【考点】9H：平面向量的基本定理．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；41：向量法；5A：平面向量及应用．‎ ‎【分析】本题可根据三角形的重心的定义和向量的线性运算进行解决．‎ ‎【解答】解：由题意，画图如下：‎ 由重心的定义，可知：‎ ‎＝，‎ ‎∴＝＝．‎ ‎∴x+y＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查三角形重心的定义以及向量的线性运算，本题属基础题．‎ ‎8．（5分）双曲线的渐近线与抛物线交于点A，B，且AB过抛物线C2的焦点，则双曲线C1的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【考点】K8：抛物线的性质；KC：双曲线的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】根据题意可得点A（，p）在y＝x上，即可求出b＝2a，再根据c＝＝a，即可求出离心率 ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程为y＝±x，‎ 抛物线交于点A，B，且AB过抛物线C2的焦点，‎ 由抛物线C2的焦点为（，0），‎ 当x＝时，y＝±p，‎ ‎∵点A（，p）在y＝x上，‎ ‎∴p＝•，‎ 即b＝2a，‎ ‎∴c＝＝a，‎ ‎∴e＝＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考抛物线和双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，离心率的求法，属于基础题和易错题 ‎9．（5分）已知二项式展开式中含x6项的系数为60，则实数a的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．6‎ ‎【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；49：综合法；5P：二项式定理．‎ ‎【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得含x6项的系数，再根据含x6项的系数等于60，求得实数a的值．‎ ‎【解答】解：∵二项式展开式中的通项公式为 Tr+1＝•（﹣a）r•x12﹣3r，‎ 令12﹣3r＝6，求得r＝2，可得含x6项的系数为•a2＝60，则实数a＝2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎10．（5分）已知a，b，c分别是方程的实数解，则（　　）‎ A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎【考点】53：函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．‎ ‎【分析】由指数函数，对数函数的定义域，值域可列出不等式，再逐一解不等式即可得解．‎ ‎【解答】解：由2a＝﹣a＞0，得a＜0，‎ 由log2b＝﹣b＜0，得0＜b＜1，‎ 由log2c＝＞0，得c＞1，‎ 综上可知：a＜b＜c，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法，属中档题．‎ ‎11．（5分）△ABC中，，将△ABC沿BC上的高AD折成直二面角B﹣AD﹣C，则三棱锥B﹣ACD的外接球的表面积为（　　）‎ A．π B． C．3π D．2π ‎【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有 ‎【专题】31：数形结合；46：分割补形法；5F：空间位置关系与距离．‎ ‎【分析】由题意画出图形，可知DA，DB，DC两两互相垂直，然后把三棱锥B﹣ACD补形为正方体求解．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵AB＝AC＝，∠BAC＝90°，∴BC＝2，‎ 则BD＝DC＝AD＝1，‎ 由题意，AD⊥底面BDC，又二面角B﹣AD﹣C为直二面角，‎ ‎∴BD⊥DC，把三棱锥B﹣ACD补形为正方体，‎ 则正方体的对角线长为，则三棱锥B﹣ACD外接球的半径为，‎ 则表面积为S＝．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查多面体外接球表面积的求法，训练了“分割补形法”，是中档题．‎ ‎12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），任意x∈（0，π），有f'（x）sinx＞f（x）cosx，且f（x）+f（﹣x）＝0，设，则（　　）‎ A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a ‎【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【专题】33：函数思想；4M：构造法；51：函数的性质及应用；52：导数的概念及应用．‎ ‎【分析】根据题意，令g（x）＝，x∈（0，π），对其求导分析可得g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，再判断a、b、c的大小．‎ ‎【解答】解：根据题意，令g（x）＝，x∈（0，π），则其导数g′（x）＝，‎ 又x∈（0，π），且恒有f'（x）sinx＞f（x）cosx，‎ 所以g′（x）＞0，‎ 所以函数g（x）在（0，π）上单调递增，‎ 又f（x）+f（﹣x）＝0，所以f（x）为奇函数；‎ 且＜＜，‎ 所以g（）＜g（）＜g（），即＜＜，‎ ‎2f（）＜f（）＜f（），‎ 所以2f（）＜f（）＜﹣f（﹣），‎ 即a＜b＜c．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数的单调性与函数导数的关系，注意构造函数g（x）＝，并借助导数分析其单调性 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．（5分）椭圆的焦距为2，则a＝　2　．‎ ‎【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；4A：数学模型法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】由椭圆方程求得长半轴与短半轴长，结合焦距及隐含条件即可求得a值．‎ ‎【解答】解：椭圆的长半轴长为，短半轴长为1，‎ 又焦距为2，即c＝1，‎ 则有a＝12+12＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单性质，是基础题．‎ ‎14．（5分）已知a，b∈R+，且a+b＝1，则的最小值为　9　．‎ ‎【考点】7F：基本不等式及其应用．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】+＝（+）（a+b），展开后使用基本不等式可求最小值．‎ ‎【解答】解：∵a+b＝1，‎ ‎∴+＝（+）（a+b）＝5+≥5＝9，‎ 当且仅当时取等号，‎ 由解得a＝，b＝，‎ ‎∴+的最小值为9，‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】该题考查利用基本不等式求函数的最值，注意使用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．‎ ‎15．（5分）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次是a，b，c，当且仅当a＜b且b＞c时称为“凸函数”．现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的概率为　　．‎ ‎【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】先求出基本事件总数n＝＝24，它为“凸数”包含的基本事件有8个，由此能求出它为“凸数”的概率．‎ ‎【解答】解：现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，‎ 基本事件总数n＝＝24，‎ 它为“凸数”包含的基本事件有8个，分别为：‎ ‎（1，3，2），（2，3，1），（1，4，2），（2，4，1），（1，4，3），（3，4，1），（2，4，3），（3，4，2），‎ 则它为“凸数”的概率为p＝＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎16．（5分）已知等比数列{an}的各项都为正数，满足a1＝2，a7＝4a5，设bn＝log2a1+log2a2+…+log2an，则数列的前2019项和S2019　　．‎ ‎【考点】88：等比数列的通项公式；8E：数列的求和．菁优网版权所有 ‎【专题】34：方程思想；4R：转化法；54：等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q＞0，根据a1＝2，a7＝4a5，可得q2＝4，解得q ‎．利用通项公式、对数运算性质可得bn，再利用求和公式、裂项求和方法即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q＞0，∵a1＝2，a7＝4a5，‎ ‎∴q2＝4，解得q＝2．‎ ‎∴an＝2n，log2an＝n．‎ ‎∴bn＝log2a1+log2a2+…+log2an＝1+2+……+（n﹣1）+n＝．‎ ‎∴＝2．‎ 则数列的前2019项和S2019＝2（1﹣+……+）＝2＝．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，共线．‎ ‎（1）求∠A的大小；‎ ‎（2）若△ABC的面积为，求b+c的最小值．‎ ‎【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示；HT：三角形中的几何计算．菁优网版权所有 ‎【专题】15：综合题；38：对应思想；4R：转化法；58：解三角形．‎ ‎【分析】（1）根据向量的共线可得2cosBcosC+1﹣2sinBsinC＝0，根据两角和余弦公式和诱导公式即可求出∠A的大小，‎ ‎（2）根据三角形的面积求出bc＝4，再根据基本不等式即可求出．‎ ‎【解答】解：（1）∵向量，共线，‎ ‎∴2cosBcosC+1﹣2sinBsinC＝0，‎ ‎∴cos（B+C）＝﹣，‎ ‎∴cosA＝，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴A＝．‎ ‎（2）∵△ABC的面积为，‎ ‎∴bcsinA＝，‎ ‎∴bc＝4，‎ ‎∴b+c≥2＝4，当且仅当b＝c＝2时取等号，‎ 故b+c的最小值为4．‎ ‎【点评】本题考查了向量的共线，三角形函数的化简，三角形的面积，基本不等式，考查了运算求解能力，属于中档题．‎ ‎18．（12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通7座以下私家车投保交强险第一年的费用（基本保费）是950元，在下一年续保时，实行费率浮动制，其保费与上一年车辆发生道路交通事故情况相联系，具体浮动情况如表：‎ 类型 浮动因素 浮动比率 A1‎ 上一年度未发生有责任的道路交通事故 下浮10%‎ A2‎ 上两年度未发生有责任的道路交通事故 下浮20%‎ A3‎ 上三年度未发生有责任的道路交通事故 下浮30%‎ A4‎ 上一年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 ‎0%‎ A5‎ 上一年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 上浮10%‎ A6‎ 上三年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故 上浮30%‎ 据统计，某地使用某一品牌7座以下的车大约有5000辆，随机抽取了100辆车龄满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保情况，统计得到如下表格：‎ 类型 A1‎ A2‎ A3‎ A4‎ A5‎ A6‎ 数量 ‎40‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ 以这100辆该品牌汽车的投保类型的频率视为概率．‎ ‎（1）试估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率；‎ ‎（2）记ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求ξ的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．菁优网版权所有 ‎【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意能估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率．‎ ‎（2）ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，则ξ的可能取值为950×（1﹣30%）＝665，950（1﹣20%）＝760，950×（1﹣10%）＝855，950，950（1+10%）＝1045，950（1+30%）＝1235，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．‎ ‎【解答】解：（1）由题意估计该地使用该品牌汽车的一续保人本年度的保费不超过950元的该概率：‎ p＝＝0.8．‎ ‎（2）ξ为某家庭的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，‎ 则ξ的可能取值为950×（1﹣30%）＝665，950（1﹣20%）＝760，950×（1﹣10%）＝855，950，950（1+10%）＝1045，950（1+30%）＝1235，‎ P（ξ＝665）＝＝0.1，‎ P（ξ＝760）＝＝0.1，‎ P（ξ＝855）＝＝0.4，‎ P（ξ＝950）＝＝0.2，‎ P（ξ＝1045）＝＝0.15，‎ P（ξ＝1235）＝＝0.05，‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎ 665‎ ‎760‎ ‎855‎ ‎ 950‎ ‎ 1045‎ ‎ 1235‎ ‎ P ‎ 0.1‎ ‎ 0.1‎ ‎ 0.4‎ ‎ 0.2‎ ‎ 0.15‎ ‎ 0.05‎ E（ξ）＝665×0.1+760×0.1+855×0.4+950×0.2+1045×0.15+1235×0.05＝893．‎ ‎【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是CC1的中点 ‎（1）求证：平面A1DB⊥平面ABB1A1；‎ ‎（2）若异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，求平面A1DB与平面ABC夹角的余弦值．‎ ‎【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．菁优网版权所有 ‎【专题】14：证明题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．‎ ‎【分析】（1）推导出C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，从而C1D⊥平面ABB1A1，由此能证明平面C1DB⊥平面ABB1A1．‎ ‎（2）由异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，推导出AC＝BC＝CC1，以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面C1DB与平面ABC夹角的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是CC1的中点，‎ ‎∴C1D⊥A1B1，C1D⊥AA1，‎ ‎∵A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面ABB1A1，‎ ‎∴C1D⊂平面C1DB，∴平面C1DB⊥平面ABB1A1．‎ 解：（2）∵异面直线A1B1和BC1所成的角为60°，BC1＝AC1，‎ ‎∴AC＝BC＝CC1，‎ 以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设AC＝BC＝CC1＝1，则A1（1，0，1），B1（0，1，1），‎ D（，1），B（0，1，0），C1（0，0，1），A（1，0，0），‎ ‎＝（0，﹣1，1），＝（，1），＝（﹣1，1，0），＝（0，0，1），‎ 设平面C1DB的法向量＝（x，y，z），‎ 则，取y＝1，得＝（﹣1，1，1），‎ 平面ABC的法向量＝（0，0，1），‎ 设平面C1DB与平面ABC夹角为θ，‎ 则cosθ＝＝，‎ ‎∴平面C1DB与平面ABC夹角的余弦值为．‎ ‎【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎20．（12分）设定点F（0，1），动点E满足：以EF为直径的圆与x轴相切．‎ ‎（1）求动点E的轨迹C的方程；‎ ‎（2）设A，B是曲线C上两点，若曲线C在A，B处的切线互相垂直，求证：A，F，B三点共线．‎ ‎【考点】J3：轨迹方程．菁优网版权所有 ‎【专题】14：证明题；35：转化思想；5B：直线与圆．‎ ‎【分析】（1）设出E点坐标，根据圆心到x轴的距离等于圆的半径，列式，化简可得．‎ ‎（2）设出A，B两点坐标，证明kAB＝kAF即可说明A，B，F三点共线．‎ ‎【解答】解：（1）设E点坐标为（x，y），则EF中点为圆心，设为P．‎ 则P点坐标为：（，）．‎ ‎∴P到x轴的距离等于，即||＝，化简得：x2＝4y．‎ ‎∴E点轨迹C的方程为：x2＝4y．‎ ‎（2）由（1）知，曲线C为以F为焦点的抛物线，其方程可化为y＝，设A，B两点的坐标分别为（），（），‎ ‎∵曲线方程为y＝，∴y′＝，∴曲线在A，B处切线斜率分别为k1＝，，‎ ‎∴k1k2＝﹣1，∴＝﹣1，∴，‎ ‎∴AB两点连线的斜率为：kAB＝＝﹣，‎ AF两点连线的斜率为：kAF＝＝﹣＝kAB，‎ ‎∴A，B，F三点共线．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系、曲线方程的求法、三点共线的证明等知识，属于中档题．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）＝ax2﹣1﹣2lnx（a∈R）．‎ ‎（1）当a≥1时，求证：f（x）≥0；‎ ‎（2）讨论函数f（x）零点的个数．‎ ‎【考点】52：函数零点的判定定理；6E：利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有 ‎【专题】32：分类讨论；34：方程思想；53：导数的综合应用；59：不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）a≥1时，f（x）＝ax2﹣1﹣2lnx（x＞0），f（1）＝a﹣1．f′（x）＝2ax﹣＝，利用导数研究其单调性即可得出．‎ ‎（2）f′（x）＝2ax﹣，（x＞0）．对a分类讨论，利用导数研究其单调性极值即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：a≥1时，f（x）＝ax2﹣1﹣2lnx（x＞0），f（1）＝a﹣1．‎ f′（x）＝2ax﹣＝，‎ 得：x＝时，函数f（x）取得极小值即最小值，‎ ‎∴f（x）≥f（）＝﹣2ln＝lna≥0，‎ ‎∴f（x）≥0．‎ ‎（2）解：f′（x）＝2ax﹣，（x＞0）．‎ ‎①a≤0时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，至多有一个零点，不符合题意．‎ ‎②a＞0时，f′（x）＝2ax﹣＝，‎ 可得x＝时，函数f（x）取得极小值即最小值．‎ x→0+时，f（x）→+∞；x→+∞时，f（x）→+∞．‎ ‎∵函数f（x）有两个零点，‎ ‎∴f（x）min═lna＜0，解得0＜a＜1．‎ ‎∴0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．‎ a＝1时，函数f（x）有一个零点．‎ a＞1时，函数f（x）无零点．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-：4：坐标系与参数方程]（本小题10分）‎ ‎22．（10分）以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设过点P（1，0）且倾斜角为45°的直线l和曲线C交于两点A，B，求的值．‎ ‎【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有 ‎【专题】35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．‎ ‎【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．‎ ‎（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为．‎ 转换为直角坐标方程为：；‎ ‎（2）点P（1，0）且倾斜角为45°的直线l，‎ 转换为参数方程为：（t为参数），‎ 把直线的参数方程代入，‎ 得到：，（t1和t2为A、B对应的参数）‎ 所以：，，‎ 所以：＝＝．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．‎ ‎[选修4-：5：不等式选讲]（本小题10分）‎ ‎23．已知函数f（x）＝|x﹣2|﹣m（x∈R），且f（x+2）≤0的解集为[﹣1，1]．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）设a，b，c∈R+，且a2+b2+c2＝m，求a+2b+3c的最大值．‎ ‎【考点】7F：基本不等式及其应用；R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】38：对应思想；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．‎ ‎【分析】（1）由f（x+2）≤0，可得|x|≤m，解得﹣m≤x≤m．再根据f（x+2）≤0的解集为[﹣1，1]，可得m的值．‎ ‎（2）由条件可得a+2b+3c＝（a+2b+3c）•（a2+b2+c2），再利用柯西不等式求得a+2b+3c的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得f（x+2）＝|x|﹣m，故由f（x+2）≤0，可得|x|≤m，解得﹣m≤x≤m．‎ 再根据f（x+2）≤0的解集为[﹣1，1]，可得m＝1．‎ ‎（2）若a，b，c∈R+，且且a2+b2+c2＝1，‎ ‎∴由柯西不等式可得：‎ a+2b+3c≤•＝，‎ 故a+2b+3c的最大值为：．‎ ‎【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，柯西不等式的应用，是一道常规题．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/4/17 8:52:16；用户：qgjyuser10390；邮箱：qgjyuser10390.21957750；学号：21985397‎