高考数学压轴题精选一老师用 20页

高考数学压轴题精选(一)‎ ‎1．（本小题满分12分）设函数在上是增函数。求正实数的取值范围；‎ ‎ 设，求证：‎ 解：（1）对恒成立，‎ ‎ 对恒成立 ‎ 又为所求。‎ ‎ （2）取，，‎ ‎ 一方面，由（1）知在上是增函数，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 ‎ 另一方面，设函数 ‎ ‎ ‎ ∴在上是增函数且在处连续，又 ‎ ∴当时，‎ ‎ ∴即 ‎ 综上所述，‎ ‎2．已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直线 的距离为 ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设，若的取值范围。‎ 解：（1）由题意得：…………………1分 ‎ 由题意 ‎ 所以椭圆方程为………………………3分 ‎（2）容易验证直线l的斜率不为0。‎ 故可设直线l的方程为 中，得 设 则……………………………5分 ‎∵∴有 由…………7分 ‎∵‎ 又 故 ‎……………………………………………………8分 令∴，即 ‎∴‎ 而，∴‎ ‎∴………………………………………………………10分 ‎3．设函数 ‎（1）若时函数有三个互不相同的零点，求的范围；‎ ‎（2）若函数在内没有极值点，求的范围；‎ ‎（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1）当时，‎ 因为有三个互不相同的零点，所以，‎ 即有三个互不相同的实数根。‎ 令，则。‎ 因为在和均为减函数，在为增函数，‎ 的取值范围 ‎（2）由题可知，方程在上没有实数根，‎ 因为，所以 ‎（3）∵，且，‎ ‎∴函数的递减区间为，递增区间为和；‎ 当时，又，‎ ‎∴而 ‎∴，‎ 又∵在上恒成立，‎ ‎∴，即，即在恒成立。‎ ‎∵的最小值为 ‎4．（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M的轨迹C2的方程；‎ ‎（Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．‎ 解：（Ⅰ）‎ 相切 ‎∴椭圆C1的方程是 …………3分 ‎（Ⅱ）∵MP=MF2，∴动点M到定直线的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，∴动点M的轨迹C是以为准线，F2为焦点的抛物线 ‎∴点M的轨迹C2的方程为 …………6分 ‎（Ⅲ）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，‎ ‎，则直线AC的方程为 联立 所以 ‎…．9分 由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得 ‎∵，‎ ‎∴四边形ABCD的面积为……．．12分 由 所以时取等号． …………13分 易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积 ‎5．（本小题满分14分）已知椭圆＋＝1（a>b>0）的左．右焦点分别为F1．F2，离心率e＝，右准线方程为x＝2．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M．N两点，且|＋|＝，求直线l的方程．‎ 解析：（1）由条件有解得a＝，c＝1．‎ ‎∴b＝＝1．‎ 所以，所求椭圆的方程为＋y2＝1．‎ ‎（2）由（1）知F1（－1,0）．F2（1,0）．‎ 若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝－1，‎ 将x＝－1代入椭圆方程得y＝±．‎ 不妨设M．N，‎ ‎∴＋＝＋＝（－4,0）．‎ ‎∴|＋|＝4，与题设矛盾．‎ ‎∴直线l的斜率存在．‎ 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k（x＋1）．‎ 设M（x1，y1）．N（x2，y2），联立 消y得（1＋2k2）x2＋4k2x＋2k2－2＝0．‎ 由根与系数的关系知x1＋x2＝，从而y1＋y2＝k（x1＋x2＋2）＝．‎ 又∵＝（x1－1，y1），＝（x2－1，y2），‎ ‎∴＋＝（x1＋x2－2，y1＋y2）．‎ ‎∴|＋|2＝（x1＋x2－2）2＋（y1＋y2）2‎ ‎＝2＋2＝．‎ ‎∴＝2．‎ 化简得40k4－23k2－17＝0，‎ 解得k2＝1或k2＝－（舍）．∴k＝±1．‎ ‎∴所求直线l的方程为y＝x＋1或y＝－x－1．‎ ‎6.（本小题满分12分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）．‎ ‎（1）判断函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ 解（1）：∵，∴．‎ 令，得．‎ ①若，则，在区间上单调递增. ‎ ②若，当时，，函数在区间上单调递减，‎ 当时，，函数在区间上单调递增，‎ ③若，则，函数在区间上单调递减. ……6分 ‎（2）解：‎ ‎∵，，‎ 由（1）可知，当时，．‎ 此时在区间上的最小值为，即．‎ 当，，，∴．‎ 曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解．‎ 而，即方程无实数解．‎ 故不存在，使曲线在 处的切线与轴垂直……12分 ‎7．（本小题满分12分）已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）．‎ ‎（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；‎ ‎（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值．‎ 解（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为.……4分 ‎(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且 设，，的斜率为，则的方程为，的方程为解方程组 得，‎ 同理可求得， ‎ 面积=………………8分 令则 令所以，即 当时，可求得,故，‎ 故的最小值为，最大值为1. ……12分 ‎8.（本小题满分12分）设上的两点，已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；[来源:Zxxk.Com]‎ ‎（Ⅱ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由 解：椭圆的方程为 4分 ‎(2) ①当直线AB斜率不存在时，即,由 ‎…………5分 又在椭圆上，所以 所以三角形的面积为定值.……6分 ‎②当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b ‎ ，D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)>0……………8分而,‎ ‎ ……………10分 ‎ S=|AB|=|b|===1‎ 综上三角形的面积为定值1.………………………12分 ‎9.已知函数的导数．a，b为实数，．‎ (1) 若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求a、b的值；‎ (2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程；‎ (3) 设函数，试判断函数的极值点个数．‎ 解：(1) 由已知得，， 由，得，．‎ ‎∵，，‎ ‎∴ 当时，，递增；www.ks5u.com当时，， 递减．‎ ‎∴ 在区间上的最大值为，∴．‎ 又，‎ ‎，‎ ‎∴ ．‎ 由题意得，即，得． 故，为所求．‎ ‎(2) 由 (1) 得，，点在曲线上．‎ 当切点为时，切线的斜率，‎ ‎∴ 的方程为，‎ 即． ‎ ‎(3‎ 二次函数的判别式为 令，得：‎ 令，得 ∵，，‎ ‎∴当时，，函数为单调递增，极值点个数为0；‎ 当时，此时方程有两个不相等的实数根，‎ 根据极值点的定义，可知函数有两个极值点．‎ ‎10.已知函数f(x)=‎ ‎(1)当时, 求的最大值;‎ ‎(2) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由．‎ ‎(2)存在符合条件 解: 因为=‎ 不妨设任意不同两点，其中 则 由知: 1+‎ 又故 故存在符合条件．…12分 解法二:据题意在图象上总可以在找一点使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在 故存在符合条件．‎ ‎11．A﹑B﹑C是直线上的三点，向量﹑﹑满足：-[y+2]·‎ ‎+ln(x+1)·= ；‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f(x)的表达式； （Ⅱ）若x＞0, 证明f(x)＞；‎ ‎（Ⅲ）当时,x及b都恒成立，求实数m的取值范围。‎ 解I）由三点共线知识，‎ ‎∵,∴,∵A﹑B﹑C三点共线，‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎∴∴，‎ ‎∴f(x)=ln(x+1)………………4分 ‎(Ⅱ)令g(x)=f(x)－,‎ 由，‎ ‎∵x>0∴‎ ‎∴g(x)在 (0,+∞)上是增函数,故g(x)>g(0)=0,即f(x)>;………8分 ‎（III）原不等式等价于,令 h(x)==由 当x∈[-1,1]时,[h(x)]max=0, ∴m2-2bm-3≥0,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)≥0及Q（-1)≥0解得m≤-3或m≥3. …………12分 ‎12.已知经过点，且与圆内切.‎ ‎（Ⅰ）求动圆的圆心的轨迹的方程.‎ ‎（Ⅱ）以为方向向量的直线交曲线于不同的两点，在曲线上是否存在点使四边形为平行四边形（为坐标原点）.若存在，求出所有的点的坐标与直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ 解:（Ⅰ）依题意，动圆与定圆相内切，得|，可知到两个定点、的距离和为常数，并且常数大于，所以点的轨迹为椭圆，可以求得，，，‎ 所以曲线的方程为．……………………5分 ‎（Ⅱ）假设上存在点，使四边形为平行四边形．‎ 由（Ⅰ）可知曲线E的方程为.‎ 设直线的方程为，，.‎ 由，得 ‎，‎ 由得，且，，………7分 则，‎ ‎，‎ ‎　　上的点使四边形为平行四边形的充要条件是，‎ 即 且，‎ 又，，所以可得，…………9分 可得，即或．‎ 当时，，直线方程为；‎ 当时，，直线方程为 ‎．高☆考♂资♀源€……………………12分 ‎13.已知函数和的图象关于原点对称，且．‎ ‎(Ⅰ)求函数的解析式；‎ ‎(Ⅱ)解不等式；‎ ‎(Ⅲ)若在上是增函数，求实数的取值范围．‎ 解：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则 ‎∵点在函数的图象上 ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由 当时，，此时不等式无解。‎ 当时，，解得。‎ 因此，原不等式的解集为。‎ ‎（Ⅲ）‎ ‎①‎ ‎②‎ ⅰ）‎ ⅱ）‎ ‎14.已知函数 ‎（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设各项为正的数列满足：求证：‎ 解：（1）‎ 依题意在时恒成立，即在恒成立.‎ 则在恒成立，即 当时，取最小值 ‎∴的取值范围是……‎ ‎（2）‎ 设则列表：‎ 极大值 ¯ 极小值 ‎∴极小值，极大值，又……‎ 方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根. ‎ 则，得…………‎ ‎（3）设，则 在为减函数，且故当时有.‎ 假设则，故 从而 即，∴…………‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.‎ ‎（1）求△APB的重心G的轨迹方程.‎ ‎（2）证明∠PFA=∠PFB.‎ 解：（1）设切点A、B坐标分别为，‎ ‎∴切线AP的方程为：‎ ‎ 切线BP的方程为：‎ 解得P点的坐标为：‎ 所以△APB的重心G的坐标为 ，‎ 所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：‎ ‎ （2）方法1：因为 由于P点在抛物线外，则 ‎∴‎ 同理有 ‎∴∠AFP=∠PFB.‎ 方法2：①当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：‎ 即 所以P点到直线BF的距离为：‎ 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.‎ ‎②当时，直线AF的方程：‎ 直线BF的方程：‎ 所以P点到直线AF的距离为：‎ ‎，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB.‎ ‎16.已知．‎ ‎（1）求函数的图像在处的切线方程；‎ ‎（2）设实数，求函数在上的最小值；‎ ‎（3）证明对一切，都有成立．‎ 解：（1）定义域为又 函数的在处的切线方程为：，即……3分 ‎（2）令得当，，单调递减，当，，单调递增． …………5分 ‎（i）当时，在单调递增，，…………6分 ‎（ii）当即时，…………7分 ‎（iii）当即时，在单调递减，………………8分 ‎(3)问题等价于证明，‎ 由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得最小值……10分 设，则，‎ 当时，单调递增；当时单调递减。故，当且仅当时取得最大值…………12分 所以且等号不同时成立，即 从而对一切，都有成立．…………13分 ‎17．（本小题满分14分）已知函数处取得极值．‎ ‎（I）求实数的值；‎ ‎（II）若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；‎ ‎（III）证明：对任意正整数n，不等式都成立．‎ 解：（I）……………………………………………2分 时，取得极值，‎ ‎…………………………………………………………………3分 故，解得a=1，‎ 经检验a=1符合题意．……………………………………………………………4分 ‎（II）由a=1知 得令 则上恰有两个不同的实数根等价于 在[0，2]上恰有两个不同的实数根．…………………5分 ‎……………6分 当上单调递增 当上单调递减．‎ 依题意有 ‎…………………9分 ‎（III）的定义域为……………10分 由（1）知………………………………………11分 令（舍去），单调递增；‎ 当x>0时，单调递减．上的最大值．（12分）‎ ‎（当且仅当x=0时，等号成立）………13分 对任意正整数n，取得， 14分 ‎18. (本小题满分12分) 已知椭圆（）的左、右焦点分别为，为椭圆短轴的一个顶点，且是直角三角形，椭圆上任一点到左焦点的距离的最大值为 ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）与两坐标轴都不垂直的直线：交椭圆于两点，且以线段为直径的圆恒过坐标原点，当面积的最大值时，求直线的方程.‎ 解：（1）由题意得 ‎，————————2分 ‎，则——————3分 所以椭圆的方程为————————————4分 ‎（2）设，，联立得 ‎，，——————————————————5分 又以线段为直径的圆恒过坐标原点，所以 即，代入得————————————7分 ‎=-----9分 设，则 当，即时，面积取得最大值，——————————11分 又，所以直线方程为——————————————-12分 ‎19.(本小题满分12分) 已知函数 ‎（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，设函数，若，求证 解：（1）————————1分 ‎，即在上恒成立 设 ‎，时，单调减，单调增，所以时，有最大值————3分 ‎，所以——————————5分 ‎（2）当时，,‎ ‎,所以在上是增函数，上是减函数——————————6分 因为，所以 即 同理——————————————————————————8分 所以 又因为当且仅当“”时，取等号————————————————10分 又，——————————11分 所以 所以 所以：————————————12分 ‎20．本小题满分12分的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为.‎ ‎（1）求的方程；‎ x y A B C D E F ‎. I O ‎（2）过点的动直线交曲线于不同的两点（点在轴的上方），问在轴上是否存在一定点（不与重合），使恒成立，若存在，试求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【解】（1）设点，由题知 ‎，根据双曲线定义知，点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的右支（除去点），故的方程为. …4分 ‎（2）设点.‎ ‎ ‎ ‎，　 ……………………… 6分 ‎①当直线轴时，点在轴上任何一点处都能使得成立. 　　　 ………………………7分 ‎ ②当直线不与轴垂直时，设直线，由得 ‎ 　　　　　　　 …………… 9分 ‎ ‎ ‎ ，使，只需成立，即，即，‎ ‎ ，即 ‎，故，故所求的点的坐标为时，恒成立. 　　　　　　　 ………………………12分