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- 2021-05-13 发布
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2017年黄浦区高考数学一模试卷含答案
2017年1月
(完卷时间:120分钟 满分:150分)
一、填空题(本大题共有12题,满分54分. 其中第1~6题每题满分4分,第7~12题每题满分5分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[
1. 若集合,则∩ .
2. 抛物线的准线方程是___ ______.
3. 若复数满足(为虚数单位),则_________.
4. 已知,,则的值为 .
5. 以点为圆心,且与直线相切的圆的方程是__________.
6. 若二项式的展开式共有6项,则此展开式中含的项的系数是 .
7. 已知向量(),,若,则的最大值为 .
8. 已知函数是奇函数,且当时,.若函数是的反函数,则 .
9. 在数列中,若对一切都有,且,则的值为 .
10. 若甲、乙两人从6门课程中各选修3门,则甲、乙所选修的课程中至多有1门相同的选法种数为 .
11.已知点分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点,过点作的平行线,它与椭圆在第一象限部分交于点,若,则实数的值为 .
12. 已知为常数),,且当时,总有,则实数的取值范围是 .
二、选择题(本大题共有4题,满分20分.)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.若,则“”是“”的 ( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
14.关于直线及平面,下列命题中正确的是 ( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
15.在直角坐标平面内,点的坐标分别为,则满足为非零常数)的点的轨迹方程是 ( )
A. B.
C. D.
16.若函数在区间I上是增函数,且函数在区间I上是减函数,则称函数是区间I上的“H函数”.对于命题:①函数是上的“H函数”;②函数是上的“H函数”.下列判断正确的是 ( )
A.①和②均为真命题 B.①为真命题,②为假命题
C.①为假命题,②为真命题 D.①和②均为假命题
三、解答题(本大题共有5题,满分76分.)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分) 本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
在三棱锥中,底面是边长为6的正三角形,^ 底面,且与底面所成的角为.
(1)求三棱锥的体积;
(2)若是的中点,求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
18.(本题满分14分)本题共有2小题,第小题满分6分,第小题满分8分.
已知双曲线以为焦点,且过点.
(1)求双曲线与其渐近线的方程;
(2)若斜率为1的直线与双曲线相交于两点,且(为坐标原点).求直线的方程.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题8分,第2小题6分.
现有半径为、圆心角为的扇形材料,要裁剪出一个五边形工件,如图所示.其中分别在上,在上,且,,.记,五边形的面积为.
(1)试求关于的函数关系式;
(2)求的最大值.
20.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
已知集合M是满足下列性质的函数的全体:在定义域内存在实数,使得.
(1)判断是否属于集合,并说明理由;
(2)若属于集合,求实数的取值范围;
(3)若,求证:对任意实数,都有.
21.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.
已知数列,满足(…).
(1)若,求的值;
(2)若且,则数列中第几项最小?请说明理由;
(3)若(n=1,2,3,…),求证:“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且(n=1,2,3,…)”.
高三数学参考答案与评分标准
一、填空题:(1~6题每题4分;7~12题每题5分)
1. ; 2. ; 3.; 4.; 5. ; 6. 10;
7. ; 8. ; 9.; 10. 200; 11.; 12. .
二、选择题:(每题5分)
13.A 14. C 15. C 16. B
三、解答题:(共76分)
17.解:(1)因为平面,所以为与平面所成的角,
由与平面所成的角为,可得, ……………………………2分
因为平面,所以,又,可知,
故. ……………………………6分
(2)设为棱的中点,连,由分别是
棱的中点,可得∥,所以与的夹
角为异面直线与所成的角. ………………8分
因为平面,所以,,
又,,
,
所以, ……………………………12分
故异面直线与所成的角为. ……………………………14分
18.解:(1)设双曲线的方程为,半焦距为,
则,,, ……………2分
所以,
故双曲线的方程为. ……………………………4分
双曲线的渐近线方程为. ……………………………6分
(2)设直线的方程为,将其代入方程,
可得 (*) ……………………………8分
, 若设,
则是方程(*)的两个根,所以,
又由,可知, ……………………………11分
即, 可得,
故,解得,
所以直线方程为. …………………………14分
19.解:(1)设是中点,连,由,可知,,
,,又,,,可得△≌△,
故,可知, …………2分
又,,所以,故
,在△中,有,
可得 ………5分
所以
………8分
(2) ……………10分
(其中) ……………………12分
当,即时,取最大值1.
又,所以的最大值为. ……………14分
20.解:(1)当时,方程 ……2分
此方程无解,所以不存在实数,使得,
故不属于集合. ……………………………4分
(2)由属于集合,可得
方程有实解
有实解有实解,………7分
若时,上述方程有实解;
若时,有,解得,
故所求的取值范围是. ……………………………10分
(3)当时,方程
, ………………12分
令,则在上的图像是连续的,
当时,,,故在内至少有一个零点;
当时,,,故在内至少有一个零点;
故对任意的实数,在上都有零点,即方程总有解,
所以对任意实数,都有. ………………………16分
21.解:(1)由,可得,故是等差数列.
所以
……………………………4分
(2)
……………………………6分
由,
, ……………………………8分
故有,
所以数列中最小,即第8项最小. ……………………………10分
法二:由, ……………………………5分
可知
……………………………8分
(当且仅当,即时取等号)
所以数列中的第8项最小. ……………………………10分
(3)若数列为等差数列,设其公差为,
则为常数,
所以数列为等差数列. ……………………………12分
由(…),可知(…). ………………13分
若数列为等差数列且(n=1,2,3,…),设的公差为,
则(n=1,2,3,…), ………………15分
又,故,
又,,故, …………17分
所以,故有,所以为常数.
故数列为等差数列.
综上可得,“数列为等差数列”的充分必要条件是“数列为等差数列且(n=1,2,3,…)”. …………………18分