2017年度高考数学（文）二模试题（上海市四区） 12页

上海市杨浦、静安、宝山、青浦（四区）‎ ‎2014届高三下学期质量调研（二模）‎ 数学（文）试题 一、填空题 (本大题共有14题，满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1.二阶行列式的值是 . （其中为虚数单位） ‎ ‎2. 已知是方向分别与轴和轴正方向相同的两个基本单位向量，则平面向量的模等于 . ‎ ‎3．二项式的展开式中含项的系数值为_______________.‎ ‎4.已知圆锥的母线长为,侧面积为,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留)‎ ‎5.已知集合，，则 .‎ ‎（文）若，则方程的解是_____________.‎ 结束 开始 输出 否 是 ‎ 第10题图 ‎9．‎ ‎（文）满足约束条件的目标函数的最小值为_______.‎ ‎10. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 . ‎ ‎ ‎ ‎11．‎ ‎（文）在平面直角坐标系中，若中心在坐标原点的双曲线过点，且它的一个顶点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的方程为 . ‎ ‎12． ‎ ‎（文）从5男3女8位志愿者中任选3人参加冬奥会火炬接力活动，所选3人中恰有两位女志愿者的概率是 ．‎ ‎13.‎ ‎（文）若三个数成等差数列（其中），且成等比数列，则的值为 ．‎ ‎14． ‎ ‎（文） 函数的定义域为实数集，对于任意的都有.若在区间上函数恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是 .‎ 二、选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15. ‎ ‎（文） 不等式的解集为……………………………………………（ ）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎16．“”是“函数的最小正周期为”的…………（ ）.‎ ‎ 充分必要条件 充分不必要条件 ‎ 必要不充分条件 既不充分又必要条件 ‎17. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为、,则:=………………………………………………………………（ ）.‎ ‎ 1:1 2:1 3:2 4:1‎ ‎18. ‎ ‎（文）已知向量，满足：，且（）．则向量与向量的夹角的最大值为 ……………………………… （ ）.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共有5题，满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．（本题满分12分）‎ ‎（文）已知几何体由正方体和直三棱柱组成，其三视图和直观图（单位：cm）如图所示．设两条异面直线和所成的角为，求的值．‎ A B B1‎ Q P P ‎2‎ D A A1‎ D1‎ A1‎ D1‎ C1‎ P Q B1‎ A1‎ 正视图 ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 侧视图 俯视图 D ‎ C ‎ B ‎ A ‎ A1 ‎ C1 ‎ B1 ‎ D1 ‎ P ‎ Q ‎ 第19题图 ‎ ‎20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 D ‎ A ‎ C ‎ B ‎ ‎ ‎ ‎ (第20题图) ‎ ‎ ‎ 某公司承建扇环面形状的花坛如图所示，该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧、弧以及两条线段和围成的封闭图形．花坛设计周长为‎30米，其中大圆弧所在圆的半径为‎10米．设小圆弧所在圆的半径为米（），圆心角为弧度．‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）在对花坛的边缘进行装饰时，已知两条线段的装饰费用为4元/米，两条弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为，当为何值时，取得最大值？‎ ‎21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分 ‎（文）已知椭圆的右焦点，长轴的左、右端点分别为,且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过焦点斜率为（）的直线交椭圆于两点，弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 ‎（文）已知数列满足（为常数，）‎ ‎（１）当时，求；‎ ‎（２）当时，求的值；‎ ‎（3）问：使恒成立的常数是否存在？并证明你的结论．‎ ‎23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 ‎（文）设函数，.‎ ‎（1）解方程：；‎ ‎（2）令，求证：‎ ‎；‎ ‎（3）若是实数集上的奇函数，且 对任意实数恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案及评分标准 2014.04‎ 说明 ‎1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．‎ ‎2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但是原则上不应超出后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．‎ ‎3．第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数．‎ ‎4．给分或扣分均以1分为单位．‎ 一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ 理1．2； 2．‎ ‎3．35； 4．‎ ‎5．；6． ‎ ‎7. ； 8．‎ ‎9． （为参数）；10. ‎ ‎11．‎ ‎12．3．‎ ‎13.‎ ‎14．‎ 文1．2； 2．‎ ‎3．35； 4．‎ ‎5．；6．‎ ‎7. ； 8．‎ ‎9．； 10. ‎ ‎11. ； 12．‎ ‎13．当时，；‎ 当时，舍去．‎ ‎14.‎ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15．D；16．B；17．C；18．理D；文A 三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .‎ ‎19．（理）. (1) 证明方法一：四边形是平行四边形，平面，又，，‎ 平面.‎ 方法二：证得是平面的一个法向量，平面.‎ ‎ (2)通过平面几何图形性质或者解线性方程组,计算得平面一个法向量为，‎ 又平面法向量为，所以 ‎ 所求二面角的余弦值为. ‎ ‎（文）由，且，可知，‎ 故为异面直线、所成的角（或其补角）．‎ 由题设知，，‎ 取中点，则，且， ‎ ‎．‎ 由余弦定理，得 ‎．‎ ‎20．(1)设扇环的圆心角为q，则，‎ 所以，‎ ‎ (2) 花坛的面积为 ‎．‎ 装饰总费用为，‎ 所以花坛的面积与装饰总费用的比，‎ 令，则，当且仅当t=18时取等号，‎ 此时．‎ 答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．‎ ‎21．理（1）依题意不妨设，，则，.‎ 由，得. ‎ 又因为，‎ 解得.‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）依题意直线的方程为. ‎ 由得.‎ 设，，则，.‎ 所以弦的中点为 ‎.‎ 所以 ‎.‎ 直线的方程为，‎ 由，得，则，‎ 所以. ‎ 所以.‎ 又因为，所以.‎ 所以.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎（文）（1）依题设，，则，.‎ 由，解得，所以.‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎（2）依题直线的方程为.‎ 由得.‎ 设,,弦的中点为，‎ 则，，，，‎ 所以.‎ 直线的方程为，‎ 令，得，则.‎ 若四边形为菱形，则，.‎ 所以.‎ 若点在椭圆上，则.‎ 整理得，解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形.‎ ‎22．理（1），， ‎ ‎（2），．‎ 因为，‎ 所以，，‎ ‎．‎ ‎=．‎ ‎（3）因为是实数集上的奇函数，所以.‎ ‎，在实数集上单调递增.‎ 由得，又因为是实数集上的奇函数，所以，，‎ 又因为在实数集上单调递增，所以 即对任意的都成立，‎ 即对任意的都成立，.‎ ‎（文）（1）‎ ‎（2）　，，，‎ ‎，，，，，，，，‎ ‎，我们发现数列为一周期为６的数列．事实上，由有 ‎，．……8分(理由和结论各2分)‎ ‎　　　因为　，所以．‎ ‎　（3）假设存在常数，使恒成立．‎ 由　　　　　，‎ 及，有 式减式得．‎ 所以，或．‎ 当，时，数列｛｝为常数数列，不满足要求．‎ 由得，于是，即对于，都有，所以　，从而　．‎ 所以存在常数，使恒成立．‎ ‎23．理（1），‎ ‎；‎ ‎（2）根据反证法排除和 证明：假设，又，所以或 ‎①当时，与矛盾，所以；‎ ‎②当时，即，即，又，所以与矛盾； ‎ 由①②可知．‎ ‎（3）首先是公差为1的等差数列，‎ 证明如下：‎ 时，‎ 所以，‎ 即 由题设又 即是等差数列．又的首项，所以，，对此式两边乘以2，得 两式相减得 ‎，即，当时，，即存在最小正整数5使得成立．‎ 注：也可以归纳猜想后用数学归纳法证明．‎ ‎（文）（1）即：，解得，‎ ‎（2）.‎ 因为，‎ 所以，，‎ ‎（3）同理科22（3）．‎