2015高考数学真题重庆市文科数学卷word版有答案 9页

2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数 学（文史类） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 {1,2,3},B {1,3}A = = ，则 A B  (A) {2} (B) {1,2} (C) {1,3} (D) {1,2,3} 2.“ x 1= ”是“ 2x 2 1 0x- + = ”的 (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 3.函数 2 2(x) log (x 2x 3)f = + - 的定义域是 (A) [ 3,1]- (B) ( 3,1)- (C) ( , 3] [1, )   (D) ( , 3) (1, )   4.重庆市 2013 年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下 则这组数据中的中位数是 (A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (A) 1 23  (B) 13 6  (C) 7 3  (D) 5 2  6.若 1 1tan ,tan( )3 2 a a b= + = ,则 tan =b (A) 1 7 (B) 1 6 (C) 5 7 (D) 5 6 7.已知非零向量 ,a b  满足| |=4| | ( + )b a a a b   ，且 2 则 a b 与 的夹角为 (A) 3 p (B) 2 p (C) 2 3 p (D) 5 6 p 8.执行如图（8）所示的程序框图，则输出 s 的值为 (A) 3 4 (B) 5 6 (C) 11 12 (D) 25 24 9.设双曲线 2 2 2 2 1(a 0,b 0)x y a b - = > > 的右焦点是 F，左、右顶点分别是 1 2A ,A ,过 F 做 1 2A A 的垂线 与双曲线交于 B，C 两点，若 1 2A B A C ,则双曲线的渐近线的斜率为 (A) 1 2 ± (B) 2 2 ± (C) 1± (D) 2± 10.若不等式组 2 0 2 2 0 2 0 x y x y x y m            ,表示的平面区域为三角形，且其面积等于 4 3 ，则 m 的值为 (A)-3 (B) 1 (C) 4 3 (D)3 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．复数 (1 2i)i+ 的实部为________. 12.若点 P（1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为___________. 13. 设 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 , ,a b c ,且 12,cos ,4a C= = - 3sin 2sinA B= ,则 c=________. 14.设 , 0, 5a b a b> + = ,则 1+ +3a b+ 的最大值为 ________. 15. 在区间 [0,5] 上随机地选择一个数 p，则方程 2 2 3 2 0x px p+ + - = 有两个负根的概率为 ________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、(本小题满分 12 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分) 已知等差数列 na 满足 3a =2，前 3 项和 3S = 9 2 . （I） 求 na 的通项公式； （II） 设等比数列 nb 满足 1b = 1a ， 4b = 15a ，求 nb 前 n 项和 nT . 17、(本小题满分 13 分，（I）小问 10 分，（II）小问 3 分) 随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额） 如下表： 年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号 t 1 2 3 4 5 储蓄存款 y（千亿元） 5 6 7 8 10 （I） 求 y 关于 t 的回归方程 （II） 用所求回归方程预测该地区 2015 年（t=6）的人民币储蓄存款. 附：回归方程 中 18、(本小题满分 13 分，（I）小问 7 分，（II）小问 6 分) 已知函数 f(x)= 1 2 sin2x- 3 2cos x . （I） 求 f（x）的最小周期和最小值； （II） 将函数 f（x）的图像上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数 g（x） 的图像.当 x ,2       时，求 g(x)的值域. 19、(本小题满分 12 分，（I）小问 4 分，（II）小问 8 分) 已知函数 f（x）=a 3x + 2x （aR）在 x= 4 3  处取得极值. （I） 确定 a 的值； （II） 若 g（x）= f（x） xe ，讨论的单调性. 20、(本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分) 如题（20）图，三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC  平面 ABC，  ABC= 2  ，点 D、E 在线段 AC 上，且 AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点 F 在线段 AB 上，且 EF//BC. （I） 证明：AB  平面 PFE. （II） 若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长. 21、(本小题满分 12 分，（I）小问 5 分，（II）小问 7 分) 如题（21）图，椭圆 2 2 2 2 1x y a b   （ a >b >0）的左右焦点分别为 1F , 2F ,且过 2F 的直线交 椭圆于 P,Q 两点，且 PQ  1PF . （I） 若| 1PF |=2+ 2 ，| 2PF |=2- 2 ，求椭圆的标准方程. （II） 若|PQ|=  | 1PF |，且 3 4 4 3   ，试确定椭圆离心率的取值范围. 答案 一．选择题 1. C 2.A 3.D 4.B 5.B 6.A 7.C 8.D 9.C 10.B 二．填空题 11. -2 12.x+2y-5=0 13.4 14.3 2 15. 3 2 三.解答题 16.解： （1）设{ }na 的公差为 d，则由已知条件得 1 1 3 2 92 2,3 ,2 2a d a d´+ = + = 化简得 1 1 32 2, ,2a d a d+ = + = 解得 1 1=1 ,2a d =， 故通项公式 1=1+ 2n na - ，即 +1= 2n na . (2)由（1）得 1 4 15 15+1=1 = = 82b b a =， . 设{ }nb 的公比为 q,则 3 4 1 q 8b b = = ,从而 2q = . 故{ }nb 的前 n 项和 1(1 ) 1 (1 2 ) 2 11 1 2 n n n n b qT q - ´ -= = = -- - . 17. 解：（Ⅰ）列表计算如下 这里 1 1 1 15 1 365, 3, 7.2.5 5 n n i i i i n t t y yn n= = = = = = = = =邋 又 2 2 1 1 l 55 5 3 10, 120 5 3 7.2 12. n n nt i ny i i i i t nt l t y nt y = = = - = - � = - = - 创 =邋 从而 12ˆ ˆˆ1.2, 7.2 1.2 3 3.610 ny nt lb a y btl = = = = - = - ´ = . 故所求回归方程为 ˆ 1.2 3.6y t= + . （Ⅱ）将 6t = 代入回归方程可预测该地区 2015 年的人民币储蓄存款为 ˆ 1.2 6 3.6 10.8( ).y = ´ + = 千亿元 18. 解：（Ⅰ） 21 1 3( ) sin 2 3 cos sin 2 (1 cos2 )2 2 2f x x x x x= - = - + 1 3 3 3sin 2 cos2 sin(2 )2 2 2 3 2x x x p= - - = - - , 因此 ( )f x 的最小正周期为p ，最小值为 2+ 3 2 - . （Ⅱ）由条件可知： 3g( ) sin( )3 2x x p= - - . 当 [ , ]2x p pÎ 时，有 2[ , ]3 6 3x p p p- Î ，从而sin( )3x p- 的值域为 1[ ,1]2 ，那么 3sin( )3 2x p- - 的值域 为 1 3 2 3[ , ]2 2 - - . 故 g( )x 在区间[ , ]2 p p 上的值域是 1 3 2 3[ , ]2 2 - - . 19. 解：（Ⅰ）对 ( )f x 求导得 2( ) 3 2f x ax x¢ = + 因为 ( )f x 在 4 3x = - 处取得极值，所以 4( ) 03f ¢- = ， 即 16 4 16 83 2 ( ) 09 3 3 3 aa´ + ´ - = - = ,解得 1 2a = . （Ⅱ）由（Ⅰ）得， 3 21g( ) 2 xx x x e 骣琪= +琪桫 , 故 2 3 2 3 23 1 1 5g ( ) 2 22 2 2 2 x x xx x x e x x e x x x e 骣 骣 骣¢ 琪 琪 琪= + + + = + +琪 琪 琪桫 桫 桫 1 ( 1)( 4)2 xx x x e= + + 令 g ( ) 0x¢ = ，解得 0, 1 =-4x x x= = - 或 . 当 -4x < 时， g ( ) 0x¢ < ,故 g( )x 为减函数； 当 4 1x- < < - 时， g ( ) 0x¢ > ,故 g( )x 为增函数； 当 -1 0x< < 时， g ( ) 0x¢ < ,故 g( )x 为减函数； 当 0x > 时， g ( ) 0x¢ > ,故 g( )x 为增函数； 综上知 g( )x 在 ( , 4) ( 1,0)-¥ - -和 内为减函数， ( 4, 1) (0, )- - +¥和 内为增函数. 20. （Ⅰ）证明：如题(20)图.由 DE=EC，PD=PC 知，E 为等腰 D PDC 中 DC 边的中点，故 PE ^ AC， 又平面 PAC ^ 平面 ABC，平面 PAC Ç 平面 ABC=AC，PE Ì 平面 PAC，PE ^ AC，所以 PE ^ 平 面 ABC，从而 PE ^ AB. 因 ABC= , , AB EF2 EF BCpÐ ^ 故 . 从而 AB 与平面 PEF 内两条相交直线 PE，EF 都垂直， 所以 AB ^ 平面 PFE. （Ⅱ）解：设 BC=x ,则在直角 D ABC 中， 2 2 2AB= AC = 36BC x- - .从而 21 1S AB BC= 362 2ABC x xD = ´ - 由 EF BC ，知 2 3 AF AE AB AC = = ，得 AEF ABCD D ,故 22 4( )S 3 9 AEF ABC SD D = = ， 即 4 S9AEF ABCSD D= . 由 1AD= 2 AE , 21 1 4 2 1S S = S S 362 2 9 9 9AFB AFE ABC ABC x xD D D D= × = = - , 从而四边形 DFBC 的面积为 2 2 DFBC 1 1S S - = 36 362 9ABC ADFS x x x xD D= - - - 27 3618 x x= - 由（Ⅰ）知，PE ^ 平面 ABC，所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高. 在直角 PECD 中， 2 2 2 2PE= PC 4 2 2 3EC- = - = , 体积 2 DFBC 1 1 7S 36 2 3 73 3 18P DFBCV PE x x- = 鬃 = � � , 故得 4 236 243 0x x- + = ，解得 2 29 7x x= =或 ，由于 0x > ，可得 3 3 3x x= =或 . 所以 3 3 3BC = =或BC . 21. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义， ( ) ( )1 22 | PF | | PF | 2 2 2 2 4a a= + = + + - = ，故 =2. 设椭圆的半焦距为 c，由已知 1 2PF PF^ ，因此 ( ) ( )2 22 2 1 2 1 22 | FF | | PF | | PF | 2 2 2 2 2 3c = = + = + + - = ，即 3c= . 从而 2 2b 1a c= - = 故所求椭圆的标准方程为 2 2+y =14 x . （Ⅱ）如题(21)图，由 1 1PF ,| | | PF |PQ PQ l^ = ,得 2 2 2 1 1 1| QF | | PF | | PQ | 1 | PF |l= + = + 由椭圆的定义， 1 2 1 2| PF | | PF | 2 ,| QF | | QF | 2a a+ = + = ,进而 1 1| PF | | PQ | | QF | 4a+ + = 于是 2 1(1 1 ) | PF | 4al l+ + + = . 解得 1 2 4| PF | 1 1 a l l = + + + ，故 2 2 1 2 2 ( 1 1)| PF | 2 | PF | 1 1 aa l l l l + + -= - = + + + . 由勾股定理得 2 2 2 2 2 1 2 2| PF | | PF | | PF | (2 ) 4c c+ = = = , 从而 22 2 2 2 2 4 2 ( 1 1) 4 1 1 1 1 a a cl l l l l l 骣骣 + + -琪琪 + =琪琪 琪+ + + + + +桫 桫 , 两边除以 24a ，得 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1 1) 1 1 1 1 el l l l l l + + -+ = + + + + + + , 若记 21 1t l l= + + + ，则上式变成 22 2 2 4 (t 2) 1 1 18 4 2e t t 骣+ - 琪= = - +琪桫 . 由 3 4 4 3 l£ < ，并注意到 21 1l l+ + + 关于 l 的单调性，得3 4t£ < ，即 1 1 1 4 3t < £ ，进而 21 5 2 9e< £ ， 即 2 5 2 3e< £ .