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- 2021-05-13 发布
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B=( ).
A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2}
2. =( ).
A. B. C. D.
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ).
A. B. C. D.
4.已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( ).
A. B. C. D.
5.已知命题p:,;命题q:,,则下列命题中为真命题的是( ).
A. B. C. D.
6.设首项为1,公比为的等比数列的前n项和为,则( ).
A. B. C. D.
7.执行下面的程序框图,如果输入的,则输出的属于( ).
A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5]
8. O为坐标原点,F为抛物线C:y2=的焦点,P为C上一点,若|PF|=,则△POF的面积为( ).
A.2 B. C. D.4
9.函数f(x)=(1-cos x)sin x在[-π,π]的图像大致为( ).
10.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=( ).
A.10 B.9 C.8 D.5
11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
A.16+8π
B.8+8π
C.16+16π
D.8+16π
12.已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( ).
A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0]
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,则t=______.
14.设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为______.
15.已知H是球O的直径AB上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为______.
16.设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=______.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)已知等差数列的前项和满足,.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
18.(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5
(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?
(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?
19. (本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(1)证明:AB⊥A1C;
(2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为
y=4x+4.
(1)求a,b的值;
(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.
21.(2013课标全国Ⅰ,文21)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.(2013课标全国Ⅰ,文22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.
23.(2013课标全国Ⅰ,文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
24.(2013课标全国Ⅰ,文24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.
答案:A
解析:∵B={x|x=n2,n∈A}={1,4,9,16},
∴A∩B={1,4}.
2.
答案:B
解析:=.
3.
答案:B
解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为.
4.
答案:C
解析:∵,∴,即.
∵c2=a2+b2,∴.∴.
∵双曲线的渐近线方程为,
∴渐近线方程为.故选C.
5.
答案:B
解析:由20=30知,p为假命题.令h(x)=x3-1+x2,
∵h(0)=-1<0,h(1)=1>0,
∴x3-1+x2=0在(0,1)内有解.
∴∃x∈R,x3=1-x2,即命题q为真命题.由此可知只有p∧q为真命题.故选B.
6.
答案:D
解析:=3-2an,故选D.
7.
答案:A
解析:当-1≤t<1时,s=3t,则s∈[-3,3).
当1≤t≤3时,s=4t-t2.
∵该函数的对称轴为t=2,
∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.
∴smax=4,smin=3.
∴s∈[3,4].
综上知s∈[-3,4].故选A.
8.
答案:C
解析:利用|PF|=,可得xP=.
∴yP=.∴S△POF=|OF|·|yP|=.
故选C.
9.
答案:C
解析:由f(x)=(1-cos x)sin x知其为奇函数.可排除B.当x∈时,f(x)>0,排除A.
当x∈(0,π)时,f′(x)=sin2x+cos x(1-cos x)=-2cos2x+cos x+1.
令f′(x)=0,得.
故极值点为,可排除D,故选C.
10.
答案:D
解析:由23cos2A+cos 2A=0,得cos2A=.
∵A∈,∴cos A=.
∵cos A=,∴b=5或(舍).
故选D.
11.
答案:A
解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.
V半圆柱=π×22×4=8π,
V长方体=4×2×2=16.
所以所求体积为16+8π.故选A.
12.
答案:D
解析:可画出|f(x)|的图象如图所示.
当a>0时,y=ax与y=|f(x)|恒有公共点,所以排除B,C;
当a≤0时,若x>0,则|f(x)|≥ax恒成立.
若x≤0,则以y=ax与y=|-x2+2x|相切为界限,
由得x2-(a+2)x=0.
∵Δ=(a+2)2=0,∴a=-2.
∴a∈[-2,0].故选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
13.答案:2
解析:∵b·c=0,|a|=|b|=1,〈a,b〉=60°,∴a·b=.
∴b·c=[ta+(1-t)b]·b=0,
即ta·b+(1-t)b2=0.
∴+1-t=0.
∴t=2.
14.答案:3
解析:画出可行域如图所示.
画出直线2x-y=0,并平移,当直线经过点A(3,3)时,z取最大值,且最大值为z=2×3-3=3.
15.答案:
解析:如图,
设球O的半径为R,
则AH=,
OH=.
又∵π·EH2=π,∴EH=1.
∵在Rt△OEH中,R2=,∴R2=.
∴S球=4πR2=.
16.答案:
解析:∵f(x)=sin x-2cos x=sin(x-φ),
其中sin φ=,cos φ=.
当x-φ=2kπ+(k∈Z)时,f(x)取最大值.
即θ-φ=2kπ+(k∈Z),θ=2kπ++φ(k∈Z).
∴cos θ==-sin φ=.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.
解:(1)设{an}的公差为d,则Sn=.
由已知可得
解得a1=1,d=-1.
故{an}的通项公式为an=2-n.
(2)由(1)知=,
从而数列的前n项和为
=.
18.
解:(1)设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为.
由观测结果可得
=(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)
=2.3,
=(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)
=1.6.
由以上计算结果可得>,因此可看出A药的疗效更好.
(2)由观测结果可绘制如下茎叶图:
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上,而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好.
19.
(1)证明:取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.
因为CA=CB,
所以OC⊥AB.
由于AB=AA1,∠BAA1=60°,
故△AA1B为等边三角形,
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.
(2)解:由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形,
所以OC=OA1=.
又A1C=,则A1C2=OC2+,
故OA1⊥OC.
因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.
又△ABC的面积S△ABC=,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3.
20.
解:(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.
由已知得f(0)=4,f′(0)=4.
故b=4,a+b=8.
从而a=4,b=4.
(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,
f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)·.
令f′(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.
从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0;
当x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0.
故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.
当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2).
21.
解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,
所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为(x≠-2).
(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,
所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.
若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=.
若l的倾斜角不为90°,由r1≠R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4).
由l与圆M相切得=1,解得k=.
当k=时,将代入,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1,2=,
所以|AB|=|x2-x1|=.
当k=时,由图形的对称性可知|AB|=.
综上,|AB|=或|AB|=.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.
(1)证明:连结DE,交BC于点G.
由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.
而∠ABE=∠CBE,
故∠CBE=∠BCE,BE=CE.
又因为DB⊥BE,
所以DE为直径,∠DCE=90°,
由勾股定理可得DB=DC.
(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,
故DG是BC的中垂线,
所以BG=.
设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°.
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,
所以CF⊥BF,
故Rt△BCF外接圆的半径等于.
23.
解:(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,
即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.
将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,.
24.
解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.
设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,
则y=
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.
所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.
(2)当x∈时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈都成立.故≥a-2,即a≤.从而a的取值范围是.