高考数学总复习系列高中数学必修四 18页

2011 高考数学复习必修 4 第一章 基本初等函数 II 一、基础知识（理解去记） 定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若 旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 一弧度。360 度=2π弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边 上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα= r y ,余弦函数 cosα= r x ,正切函数 tanα= x y ，余切函数 cotα= y x ，正割函数 secα= x r ,余割函数 cscα= .y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式： 倒数关系：tanα= cot 1 ,sinα= csc 1 ，cosα= sec 1 ； 商数关系：tanα=    sin coscot,cos sin  ； 乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα； 平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理 2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(- α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π- α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin       2 =cosα, cos       2 =sinα, tan       2 =cotα（记法： 奇变偶不变，符号看象限）。 定理 3（根据图像去记） 正弦函数的性质：根据图象可得 y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区 间      22,22  kk 上为增函数，在区间       2 32,22 kk 上为减函数，最小正周期为 2 . 奇偶 数. 有界性：当且仅当 x=2kx+ 2  时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k - 2  时, y 取最小值-1。对称性：直线 x=k + 2  均为其对称轴，点（k , 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里 k∈Z. 定理 4（根据图像去记）余弦函数的性质：根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π] 上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=kπ均为 其对称轴，点       0,2 k 均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2kπ时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2kπ-π 时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里 k∈Z. 定理 5 （根据图像去记） 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(x  kπ+ 2  )在开区间(kπ- 2  , kπ+ 2  )上 为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+ 2  ，0）均为其对称中心。 定理 6 两角和与差的基本关系式：cos(α  β)=cosαcosβ  sinαsinβ,sin(α  β)=sinαcosβ  cosαsin β; tan(α  β)= .)tantan1( )tan(tan     定理 7 和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sin       2  cos       2  ,sinα-sinβ=2sin       2  cos       2  , cosα+cosβ=2cos       2  cos       2  , cosα-cosβ=-2sin       2  sin       2  , sinαcosβ= 2 1 [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ= 2 1 [sin(α+β)-sin(α-β)], cosαcosβ= 2 1 [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=- 2 1 [cos(α+β)-cos(α-β)]. 口诀记忆： 积化和差： 2 1 前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后为和，正后 为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦 定理 8 倍角公式（常考）:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α= .)tan1( tan2 2    定理 9 半角公式:sin      2  = 2 )cos1(  ,cos      2  = 2 )cos1(  , tan      2  = )cos1( )cos1(     = .sin )cos1( )cos1( sin      定理 10 万能公式:            2tan1 2tan2 sin 2    ,            2tan1 2tan1 cos 2 2    , . 2tan1 2tan2 tan 2               定理 11 ****【必考】辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b2  0，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则 sinβ= 22 ba b  ,cosβ= 22 ba a  ，对任意的角α. asinα+bcosα= )( 22 ba  sin(α+β). 定理 12 正弦定理：在任意△ABC 中有 RC c B b A a 2sinsinsin  ，其中 a, b, c 分别是角 A，B，C 的 对边，R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理：在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边。 定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+ )的图 象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的  1 ，得到 y=sin x ( 0 )的图象（周期变换）；横坐 标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin( x+ )( >0)的图象（周期 变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin( x+ )( ,  >0)(|A| 叫作振幅)的图象向右平移   个单位得到 y=Asin x 的图象。 定义 4 函数 y=sinx           2,2 x 的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 y=tanx           2,2 x 的反函数叫反正切函 数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集，如果 a∈(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx  arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R，方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式： arcsina+arccosa= 2  ；arctana+arccota= 2  . 定理 16 若      2,0 x ，则 sinx-1，所以 cos     0,2 x ， 所以 sin(cosx) ≤0,又 00， 所以 cos(sinx)>sin(cosx). 若      2,0 x ，则因为 sinx+cosx= 2cos2 2sin2 22        xx (sinxcos 4  +sin 4  cosx)= 2 sin(x+ 4  ) ≤ 2 < 2  ， 所以 0cos( 2  -cosx)=sin(cosx). 综上，当 x∈(0,π)时，总有 cos(sinx)0，求证： .2sin cos sin cos           xx     【证明】 若α+β> 2  ，则 x>0，由α> 2  -β>0 得 cosαsin( 2  -β)=cosβ, 所以 0<   sin cos <1， 所以 .2sin cos sin cos sin cos sin cos 00                            xx 若α+β< 2  ，则 x<0，由 0<α< 2  -β< 2  得 cosα>cos( 2  -β)=sinβ>0, 所以   sin cos >1。又 01， 所以 2sin cos sin cos sin cos sin cos 00                            xx ，得证。 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。 3．最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx）；其次，当且仅当 x=kπ+ 2  时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）, 所以若最小正周期为 T0，则 T0=mπ, m∈N+，又 sin(2cos0)=sin2  sin(2cosπ)，所以 T0=2π。 4．三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+ x2cos1 ，求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令 sinx=        4 304sin2cos1,cos2 2 x , 则有 y= ).4sin(2sin2cos2   因为  4 304  ，所以   42 ， 所以 )4sin(0   ≤1， 所以当  4 3 ，即 x=2kπ- 2  (k∈Z)时，ymin=0， 当 4   ，即 x=2kπ+ 2  (k∈Z)时，ymax=2. 例 6 设 0< <π，求 sin )cos1(2   的最大值。 【解】因为 0< <π，所以 220   ，所以 sin 2  >0, cos 2  >0. 所以 sin 2  （1+cos ）=2sin 2  ·cos2 2  = 2cos2cos2sin22 222   ≤ 3 222 3 2cos2cos2sin2 2              = .9 34 27 16  当且仅当 2sin2 2  =cos2 2  , 即 tan 2  = 2 2 ,  =2arctan 2 2 时，sin 2  (1+cos )取得最大值 9 34 。 例 7 若 A，B，C 为△ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因为 sinA+sinB=2sin 2 BA  cos 2sin22 BABA  , ① sinC+sin 2 3sin22 3cos2 3sin23       CCC , ② 又因为 3sin24 3cos4 3sin22 3sin2sin        CBACBACBA ，③ 由①，②，③得 sinA+sinB+sinC+sin 3  ≤4sin 3  , 所以 sinA+sinB+sinC≤3sin 3  = 2 33 , 当 A=B=C= 3  时，（sinA+sinB+sinC）max= 2 33 . 注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数 的单调性等是解三角最值的常用手段。 5．换元法的使用。 例 8 求 xx xxy cossin1 cossin  的值域。 【解】 设 t=sinx+cosx= ).4sin(2cos2 2sin2 22        xxx 因为 ,1)4sin(1  x 所以 .22  t 又因为 t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx= 2 12 t ，所以 2 1 1 2 12    t t x y ， 所以 .2 12 2 12  y 因为 t  -1，所以 12 1 t ，所以 y  -1. 所以函数值域为 .2 12,11,2 12              y 例 9 已知 a0=1, an= 1 1 121    n n a a (n∈N+)，求证：an> 22 n  . 【证明】 由题设 an>0，令 an=tanan, an∈      2,0  ，则 an= .tan2tan sin cos1 tan 1sec tan 1tan1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n aa a a a a a a          因为 2 1na ，an∈      2,0  ，所以 an= 12 1 na ，所以 an= .2 1 0a n      又因为 a0=tana1=1，所以 a0= 4  ，所以 n na      2 1 · 4  。 又因为当 0x，所以 .22tan 22   nnna  注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当 x∈      2,0  时，有 tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。 6．图象变换【常考】：y=sinx(x∈R)与 y=Asin( x+ )(A,  ,  >0). 由 y=sinx 的图象向左平移 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后再保持纵坐标不 变，横坐标变为原来的  1 ，得到 y=Asin( x+ )的图象；也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变，纵坐 标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的  1 ，最后向左平移   个单位，得到 y=Asin( x+ )的图象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( x+ )( >0, 0≤ ≤π)是 R 上的偶函数，其图象关于点      0,4 3M 对称， 且在区间     2,0  上是单调函数，求 和 的值。 【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin( + )=sin(- x+ )，所以 cos sinx=0，对任意 x∈R 成立。 又 0≤ ≤π，解得 = 2  ， 因为 f(x)图象关于      0,4 3M 对称，所以 )4 3()4 3( xfxf   =0。 取 x=0，得 )4 3( f =0，所以 sin .024 3        所以 24 3   k (k∈Z)，即 = 3 2 (2k+1) (k∈Z). 又 >0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+ 2  )在[0， 2  ]上是减函数； 取 k=1 时， =2，此时 f(x)=sin(2x+ 2  )在[0， 2  ]上是减函数； 取 k=2 时， ≥ 3 10 ，此时 f(x)=sin( x+ 2  )在[0， 2  ]上不是单调函数， 综上， = 3 2 或 2。 7．三角公式的应用。 例 11 已知 sin(α-β)= 13 5 ，sin(α+β)=- 13 5 ，且α-β∈       ,2 ，α+β∈       2,2 3 ，求 sin2α,cos2β的值。 【解】 因为α-β∈       ,2 ，所以 cos(α-β)=- .13 12)(sin1 2   又因为α+β∈       2,2 3 ，所以 cos(α+β)= .13 12)(sin1 2   所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= 169 120 , cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例 12 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且 BCA cos 2 cos 1 cos 1  ，试求 2cos CA  的值。 【解】 因为 A=1200-C，所以 cos 2 CA  =cos(600-C)， 又由于 )120cos(cos cos)120cos( cos 1 )120cos( 1 cos 1 cos 1 0 0 0 CC CC CCCA     = 22 2 1)2120cos( )60cos(2 )]2120cos(120[cos2 1 )60cos(60cos2 0 0 00 00      C C C C ， 所以 232cos22cos24 2  CACA =0。 解得 2 2 2cos  CA 或 8 23 2cos  CA 。 又 2cos CA  >0，所以 2 2 2cos  CA 。 例 13 求证：tan20  +4cos70  . 【解】 tan20  +4cos70  =   20cos 20sin +4sin20       20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin      20cos 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin .3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin      三、趋近高考（必懂） 1.（四川省成都市 2010 届高三第三次诊断理科）计算 cot15°－tan15的结果是( ) (A) 3 2 (B) 6 2 (C)3 3 (D)2 3 【答案】D 2.（成都 2010 届高三第三次诊断文科）计算 cos45cos15－sin45cos75的结果是( ) (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 1 2 (D)1 【答案】C 【解析】cos45cos15－sin45cos75 ＝cos45cos15－sin45sin15 ＝cos(45＋15) ＝cos60 ＝ 1 2 3. （成都 2010 届高三第三次诊断文科）先把函数 f(x)＝sinx－ 3 cosx 的图象按向量 a＝(π 3 ，0)平移得到曲 线 y＝g(x)，再把曲线 y＝g(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的 1 2 倍，横坐标保持不变，得到曲线 y＝h(x)， 则曲线 y＝h(x)的函数表达式为( ) (A)h(x)＝sin(x－2π 3 ) (B)h(x)＝sinx (C)h(x)＝4sin (x－2π 3 ) (D)h (x)＝4sinx 【答案】A 【解析】f(x)＝2sin(x－π 3)， 按向量 a＝(π 3 ，0)平移后，得到曲线 y＝g(x) ＝2sin(x－2π 3 ) 再把纵坐标缩短到原来的 1 2 倍，横坐标保持不变，得到曲线 y＝h(x)＝sin(x－2π 3 ) 4. （成都 2010 届高三第三次诊断理科）已知 sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝ 3 3 ，则 cos2β的值为 ________________. 【答案】 1 3 【解析】因为 sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ＝ 3 3 于是 cos2β＝1－2sin22β＝1－ 2 1 3 3  6.(绵阳 2010 年 4 月高三三诊理科试题) （本小题满分 12 分）已知△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别 为 a，b，c，若 A、B、C 成等差数列，b=1，记角 A=x，a+c=f (x)． （Ⅰ）当 x∈[ 6  ， 3  ]时，求 f (x)的取值范围； （Ⅱ）若 5 6)6(  xf ，求 sin2x 的值． 解：（I）由已知 A、B、C 成等差数列，得 2B=A+C， ∵ 在△ABC 中， A+B+C=π，于是解得 3 B ， 3 2 CA ． ∵ 在△ABC 中， C c B b A a sinsinsin  ，b=1， ∴ CAca sin 3sin 1sin 3sin 1   )]3 2sin([sin3 32 AA   ]sin3 2coscos3 2sin[sin3 32 AAA   AA cossin3  )6sin(2  A ， 即 )6sin(2)(  xxf ． …………………………………………………………6 分 由 6  ≤x≤ 3  得 3  ≤x+ 6  ≤ 2  ，于是 3 ≤ )(xf ≤2， 即 f (x)的取值范围为[ 3 ，2] ． ………………………………………………8 分 （Ⅱ）∵ 5 6)66sin(2)6(   xxf ，即 5 3sin x ． ∴ 5 4sin1cos 2  xx ． ……………………………………………………9 分 若 5 4cos x ，此时由 2 2 5 4  知 x> 4 3 ，这与 3 2CA 矛盾． ∴ x 为锐角，故 5 4cos x ． ……………………………………………………11 分 ∴ 25 24cossin22sin  xxx ．……………………………………………………12 分 7．（雅安 2010 届高三第三次诊断性考试理科） （本题满分 12 分） 三角形的三内角 , ,A B C 所对边的长分别为 , ,a b c ，设向量 ( , )m c a b a   ， n  ( , )a b c ，若 //m n   。 (1)求角 B 的大小； (2)求sin sinA C 的取值范围。 8．（自贡 2010 届高三三诊理科试题）（本小题满分 12 分） 如图 4，已知△ABC 中，| | 1AC  ，∠ABC=120°，∠BAC= ，记 ( )f AB BC    。 （I）求 ( )f  关于 的表达式； （II）求 ( )f  的值域。 解：（Ⅰ），由正弦定理有：  120sin 1 sin ||  BC ＝ )60sin( ||  AB …………(2 分) ∴ sin120sin 1|| BC ,   120sin )60sin(|| AB …………(4 分) ∴ )(f 2 1)60sin(sin3 4)0(  BCABf ＝  sin)sin2 1cos2 3(3 2  ＝ )2 2cos12sin2 3(3 1   ＝ 6 1)62sin(3 1   )30(   …………(8 分) (Ⅱ) 30   => 6 5 626   , ∴ 1)62sin(2 1   ∴ ]6 1,0()( f ………（12 分） 9.（南充 2010 届高三 4 月月考理科试题）（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c， 7,5,2 72cos2sin4 2  cbaCBA ． （1）求角 C 的大小； （2）求△ABC 的面积． 解：（1）由 2 72cos2cos4,2 72cos2sin4 22 CCCBA  得 ∴ 4cos2C－4cosC＋１＝０ 解得 2 1cos C ∴ C＝60° （2）由余弦定理得 C2＝a2＋b2－2ab cos C 即 7＝a2＋b2－ab ① 又 a＋b＝5 ∴a2＋b2＋2ab＝25 ② 由①②得 ab＝6 ∴ S△ABC＝ 2 33sin2 1 Cab 10．（资阳 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理）（本小题满分 12 分） 在直角坐标系 xOy 中，若角α的始边为 x 轴的非负半轴，终边为射线 l： 2 ( 0)y x x  ． （Ⅰ）求 tan 2 的值； （Ⅱ）求 22cos 2sin( ) 12 72 cos( )4         的值． 解：（Ⅰ）在终边 l 上取一点 ( 1, 2)P   ，则 2tan 21    ，·································· 2 分 ∴ 2 2 2 4tan 2 1 2 3     ．··········································································4 分 （Ⅱ） 22cos 2sin( ) 12 72 cos( )4         cos 2sin 2 cos( )4      cos 2sin cos sin       ························ 8 分 1 2tan 1 2 2 51 tan 1 2          ． 12 分 11.（四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题）（12 分）在 ABC 中， 角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ， 2 2 2 1 2a c b ac   . (Ⅰ)求 2sin cos22 A C B  的值； （Ⅱ）若 2b  ，求 ABC 面积的最大值. 解：（Ⅰ）由余弦定理： 1cos 4B  （Ⅱ）由 .4 15sin,4 1cos  BB 得 ∵ 2b ， 2 2 2 1 2a c b ac   ∴ 2 2 21 1 4 22 2a c ac b ac ac      ，从而 8 3ac  故 1 15sin2 3ABCS ac B   （当且仅当 a c 时取等号） 12．(成都石室中学 2010 届高三三诊模拟理科) （12 分） 已知 ABC 中， .sin3)cos3(sinsin CBBA  （I）求角 A 的大小； （II）若 BC=3，求 ABC 周长的取值范围。 解：（I）  CBA 得 )sin(sin BAC  代入已知条件得 BBA sincos3sinsin  0sin B ，由此得 3,3tan  AA …………6 分 （II）由上可知： BCCB  3 2,3 2  由正弦定理得： ))3 2sin((sin32)sin(sin2 BBCBRACAB   即得： )6sin(6)cos2 3sin2 3(32  BBBACAB 1)6sin(2 1 3 20   BB 得 63  ACAB ， ABC 周长的取值范围为  9,6 …………12 分 5_u.c o*m 第二章 平面向量 一、基础知识（理解去记） 定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量 的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如 a. |a|表示 向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为 1 的向量称为 单位向量【最近几年常考】。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结 合律。 定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合 律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数  0，使得 a= .b f 定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量 a, b 不共线，则对同一平面内任意向是 c，存在唯一一对实 数 x, y，使得 c=xa+yb，其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底，任取一个 向量 c，由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y，使得 c=xi+yi，则（x, y）叫做 c 坐标。 定义 4 向量的数量积，若非零向量 a, b 的夹角为 ，则 a, b 的数量积记作 a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos 叫做 b 在 a 上的投影（注：投影可能为负值）。 定理 4 平面向量的坐标运算：若 a=(x1, y1), b=(x2, y2)， 1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)， 2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c， 3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx   (a, b  0), 4. a//b  x1y2=x2y1, a  b  x1x2+y1y2=0. 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1，p2 的一点，则存在唯一实数λ，使 21 PPPP  ，λ叫 P 分 21 PP 所 成的比，若 O 为平面内任意一点，则     1 21 OPOPOP 。由此可得若 P1，P，P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则 .. 1 1 2 1 2 1 21 21 yy yy xx xx yyy xxx                    定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向，平移|a|= 22 kh  个单 位得到图形 'F ，这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点，平移到 'F 上对应的点为 )','(' yxp ，则      kyy hxx ' ' 称为平移公式。 定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2= ))(( 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx  -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|， 化简即为柯西不等式：  ))(( 22 2 2 1 22 2 2 1 nn yyyxxx  (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0， 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|， 化简即为柯西不等式：  ))(( 22 2 2 1 22 2 2 1 nn yyyxxx  (x1y1+x2y2+…+xnyn)2。 2）对于任意 n 个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。 二、基础例题【必会】 1．向量定义和运算法则的运用 例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2…An 的中心，求证： .21 OOAOAOA n   【证明】 记 nOAOAOAS  21 ，若 OS  ，则将正 n 边形绕中心 O 旋转 n 2 后与原正 n 边形重合，所以 S 不变，这不可能，所以 .OS  例 2 给定△ABC，求证：G 是△ABC 重心的充要条件是 .OGCGBGA  【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为 D，E，F，延长 AD 至 P，使 DP=GD，则 .2 GPGDAG  又因为 BC 与 GP 互相平分， 所以 BPCG 为平行四边形，所以 BG // PC，所以 .CPGB  所以 .OPGCPGCGCGBGA  充分性。若 OGCGBGA  ，延长 AG 交 BC 于 D，使 GP=AG，连结 CP，则 .PGGA  因为 OPCPGGC  ，则 PCGB  ，所以 GB // CP，所以 AG 平分 BC。 同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例 3 在 凸 四 边 形 ABCD 中 ， P 和 Q 分 别 为 对 角 线 BD 和 AC 的 中 点 ， 求 证 ： AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示，结结 BQ，QD。 因为 DQPQDPBQPQBP  , ， 所以 2222 )()( PQDPPQBPDQBQ  = BPPQDPBP 22 222  · PQDPPQ  2 = .2)(22 222222 PQDPBPPQDPBPPQDPBP  ① 又因为 ,,, OQCQABAQABQBCQCBQ  同理 22222 2BQQCQABCBA  ， ② 22222 2QDQCQADACD  ， ③ 由①，②，③可得 )(24 222222 QDBQQACDBCBA  222222 4)22(2 PQBDACPQBPAC  。得证。 2．证利用定理证明共线 例 4 △ABC 外心为 O，垂心为 H，重心为 G。求证：O，G，H 为共线，且 OG：GH=1： 【证明】 首先 AMOAAGOAOG 3 2 = )2(3 1)(3 1 OCOBAOOAACABOA  ).(3 1 OCOBOA  其次设 BO 交外接圆于另一点 E，则连结 CE 后得 CE .BC 又 AH  BC，所以 AH//CE。 又 EA  AB，CH  AB，所以 AHCE 为平行四边形。 所以 ,ECAH  所以 OCOBOAOCEOOAECOAAHOAOH  ， 所以 OGOH 3 ， 所以 OG 与OH 共线，所以 O，G，H 共线。 所以 OG：GH=1：2。 3．利用数量积证明垂直 例 5 给定非零向量 a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是 a  b. 【证明】|a+b|=|a-b|  (a+b)2=(a-b)2  a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2  a·b=0  a  b. 例 6 已知△ABC 内接于⊙O，AB=AC，D 为 AB 中点，E 为△ACD 重心。求证：OE  CD。 【证明】 设 cOCbOBaOA  ,, ， 则 )(2 1 baOD  ， .6 1 2 1 3 1)(2 1 3 1 bacbacaOE      又 cbaCD  )(2 1 ， 所以            cbabcaCDOE 2 1 2 1 6 1 3 1 2 1 cabacba  3 1 3 1 3 1 12 1 4 1 222 3 1 a·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2） 又因为 AB=AC，OB=OC，所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE  CD。 4．向量的坐标运算 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形，BE//AC，AC=CE，EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F，求证： AF=AE。 【证明】 如图所示，以 CD 所在的直线为 x 轴，以 C 为原点建立直角坐标系，设正方形边长为 1，则 A，B 坐标分别为（-1，1）和（0，1），设 E 点的坐标为（x, y），则 BE =(x, y-1), )1,1( AC ，因为 ACBE // ， 所以-x-(y-1)=0. 又因为 |||| ACCE  ，所以 x2+y2=2. 由①，②解得 .2 31,2 31  yx 所以 .324||,2 31,2 33 2        AEAE 设 )1,'(xF ，则 )1,'(xCF  。由CF 和CE 共线得 .02 31'2 31  x 所以 )32(' x ，即 F )1,32(  ， 所以 2|| AF =4+ 2||32 AE ，所以 AF=AE。 三、趋近高考【必懂】 1.（成都市 2010 届高三第三次诊断理科）已知向量 a＝(－3,2),b＝(2,1),则|a＋2 b|的值为( ) (A)3 2 (B)7 (C) 17 (D) 13 2 5 【答案】C 【解析】因为 a＋2 b＝(1,4) 故|a＋2 b|＝ 2 21 4 17   2. (绵阳市 2010 年 4 月高三三诊理科试题)已知向量 a、b 不共线，若向量 a+λb 与 b+λa 的方向相反，则λ= （ C ） （A）1 （B）0 （C）-1 （D）±1 3．（雅安市 2010 届高三第三次诊断性考试理科）已知 ,a b   为非零向量，函数 ( ) ( ) ( )f x xa b a xb       ， 则使 ( )f x 的图象为关于 y 轴对称的抛物线的一个必要不充分条件 是( C ) A． a b  B． //a b   C．| | | |a b  D． a b  4．（资阳市 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理）已知平面直角坐标系内的点 A(1，1)，B(2，4)， C(－1，3)，则 | |AB AC   （ B ） （A） 2 2 （B） 10 （C）8 （D）10 5．（泸州市 2010 届高三第二次教学质量 诊断性考试理科）如图：正六边形 ABCDEF 中，下列命题错误的是（ C ） A． AC AD AD AB      B． 2AD AB AF    C． 2AC AF BC    D．   AD AF EF EF AF AD        6.（四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题）已知  1, 6, 2a b a b a         ，则向量 a  与 向量 b  的夹角是（ C ） A. 6  B. 4  C. 3  D. 2  7． (成都市石室中学 2010 届高三三诊模拟理科)已知 ba, 是非零向量且满足 bbaaba  )4(,)3( ，则 ba与 的夹角是 （ A ） A． 6  B． 3  C． 3 2 D． 6 5 二、填空题： 8．（自贡市 2010 届高三三诊理科试题）有下列命题： ① a b 是 2 2a b 的充分不必要条件； ② 2 2 21 ( )2OP OQ OP OQ PQ        ； ③若函数 ( )f x 满足 ( 1) 1 ( )f x f x   ，则 ( )f x 是周期函数； ④如果一组数据中，每个数都加上同一个非零常数 c，则这组数据的平均数和方差都改变。 其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。①④ 9.（眉山市 2010 年 4 月高三第二次诊断性考试理科）设 1 2 3 4, , ,e e e e     是平面内的四个单位向量，其中 1 2 3,e e e   与 4e  的夹角为135 ，对这个平面内的任一个向量 1 2a xe ye    ，规定经过一次“斜二测变换” 得到向量 1 3 42 ya xe e    ，设向量 1 23 4v e e    ，则经过一次“斜 二测变换”得到向量 1v  的模 1v  是_____________________. 13 6 2 [ 10．（省泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊断性考试理科）已知向量 (2,1), 10a a b     ， 5 2a b   ， 则 b  5 . 11．（泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊断性考试文科）已知向量 (1, ), ( 1, )a n b n    ，若 2a b  与 b  垂直，则 a  2 . 12.（四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统 考文科试题）已知点 ( 1, 5)A   和向量 (2,3)a  ，若 3AB a  ，则点 B 的坐标为 . 5 , 4 13.（攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题）（12 分）已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率 为 1 2 ，且其焦点 ( ,0)( 0)F c c  到相应准线l 的距离为３， 过焦点 F 的直线与椭圆交于 ,A B 两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设 M 为椭圆的右顶点，则直线 ,AM BM 与准线l 分别交于 ,P Q 两点（ ,P Q 两点不重合），求证： 0FP FQ    . 【解析】 ∴直线 AB 的方程为 0),1(  kxky 又设 ),(),,(),,(),,( 44332211 yxQyxPyxByxA 联立      134 )1( 22 yx xky 消 y 得 01248)43( 2222  kxkxk ∴ 2 2 212 2 21 43 124,43 8 k kxxk kxx   ∴ 2 2 21 2 21 43 9)1)(1( k kxxkyy   又∵A、M、P 三点共线，∴ 2 2 1 1 3  x yy 同理 2 2 2 2 4  x yy ∴ )2 2,3( 1 1  x yFP ， )2 2,3( 2 2  x yFQ ∴ 04)(2 49 2121 21  xxxx yyFQFP 综上所述： 0FQFP [