专题五高考解析几何命题动向 12页

专题五　高考解析几何命题动向 高考命题分析 解析几何是高中数学的又一重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此可以以坐标为桥梁，使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系．用向量方法研究解析几何问题，主要是利用向量的平行(共线)、垂直关系及所成角研究解析几何中直线的平行、垂直关系及所成角．平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材，这类问题涉及面广、综合性强、背景新颖、灵活多样，求解此类问题对能力要求较高．在考基础、考能力、考素质、考潜能的考试目标指导下，每年的高考对解析几何的考查都占有较大的比例，且常考常新．‎ 高考命题特点 ‎(1)直线与圆的方程，圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质等是支撑解析几何的基石，也是高考命题的基本元素．高考十分注重对这些基础知识的考查，有的是求圆锥曲线的标准方程；有的是直接考查圆锥曲线的离心率，有的是对直线与圆锥曲线的位置关系进行考查等．‎ ‎(2)试题在考查相应基础知识的同时，着重考查基本数学思想和方法，如分类讨论思想、数形结合思想．除此之外，许多试卷都非常重视对考生思维能力和思维品质的考查．‎ ‎(3)解析几何是高中数学的重点内容，它的特点是用代数的方法研究解决几何问题，重点是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题，这类试题涉及面广、综合性强、题目新颖、灵活多样，解题对能力要求较高．‎ 高考动向透视 对于直线方程，要理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握点到直线的距离公式等，特别是求直线方程的三种形式．而对于圆的方程，要熟练运用与圆相关的基本问题的求解方法．如求解圆的方程的待定系数法、求圆的圆心与半径的配方法、求圆的弦心距的构造直角三角形法、判断直线与圆、圆与圆的位置关系的代数法与几何法、求圆的切线的基本方法等．这些方法是解决与圆有关问题的常用方法，必须认真领会，熟练运用．‎ ‎【示例1】►(2011·杭州模拟)设O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P，Q满足关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足·＝0.‎ ‎(1)求m的值 ‎(2)求直线PQ的方程．‎ 解　(1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，‎ 表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．‎ ‎∵点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，‎ ‎∴圆心(－1,3)在直线x＋my＋4＝0上，代入得m＝－1.‎ ‎(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直．‎ ‎∴可设直线PQ的方程为y＝－x＋b.‎ 将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得 ‎2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.‎ 由Δ＝4(4－b)2－4×2×(b2－6b＋1)＞0，‎ 得2－3＜b＜2＋3.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝－(4－b)，‎ x1x2＝.‎ ‎∴y1y2＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝＋4b.‎ ‎∵·＝0，‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝0，即b2－2b＋1＝0，‎ 解得b＝1∈(2－3，2＋3)．‎ ‎∴所求的直线方程为x＋y－1＝0.‎ 本题考查了圆的方程和直线与圆的位置关系，对于直线与圆的位置关系，可联立方程，转化为交点坐标，结合条件，求出参数值．‎ ‎【训练】(2011·福建)如图，‎ 直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.‎ ‎(1)求实数b的值；‎ ‎(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．‎ 解　(1)由得 x2－4x－4b＝0，(*)‎ 因为直线l与抛物线C相切，‎ 所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.‎ ‎(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0.‎ 解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2,1)．‎ 因为圆A与抛物线C的准线相切，‎ 所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，‎ 所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.‎ ‎(1)圆锥曲线的定义是高考考查的重点之一．对于圆锥曲线定义的考查，一般涉及焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系，属于基础知识、基本运算的考查，解题时要注意恒等变形，进行合理转化与化归．‎ ‎(2)圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小问的，这一问至关重要，因为只有求出了曲线方程，才能进行下一步的运算．求曲线方程的方法很多，其中“待定系数法”最为常见．‎ ‎【示例2】►(2011·山东)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为(　　)．‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析　圆心的坐标是(3,0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，根据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，则a2＝5，故所求的双曲线方程是－＝1，故选A.‎ 答案　A 本小题考查双曲线的几何性质(渐近线方程、焦点坐标)以及对直线与圆位置关系的理解与应用，求解本题时应注意将直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于圆的半径列式求解，本题难度适中．‎ 离心率是高考对圆锥曲线考查的又一个重点．求离心率取值范围问题是解析几何中常见的问题，求解时，可根据题意列出关于a、b、c的相应等式，并把等式中的a、b、c转化为只含有a、c的齐次式，再转化为含e的等式，最后求出e.该类题型较为基础、简单，一般以填空题、选择题或解答题的第一问的形式出现，是送分题，只要我们熟练掌握圆锥曲线的几何性质，就可以顺利解题．‎ ‎【示例3】►(2011·新课标全国)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与双曲线C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为(　　)．‎ A.B.C．2 D．3‎ 解析　设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.‎ 答案　B 本小题考查对双曲线的几何性质的理解与应用，考查运算求解能力及逻辑思维能力．‎ 此类试题一般为高考的压轴题，主要考查圆锥曲线的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系．高考经常设计探究是否存在的问题，也经常考查与平面向量知识的综合运用．处理此类问题，主要是在“算”上下工夫．即利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数的关系解决问题．解题时，也要特别注意特殊情况(如斜率不存在的情况)的处理．‎ ‎【示例4】►(2011·湖南)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1.‎ ‎(1)求动点P的轨迹C的方程；‎ ‎(2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求·的最小值．‎ 解　‎ ‎(1)如图，设动点P的坐标为(x，y)，由题意有－|x|＝1.化简得y2＝2x＋2|x|.‎ 当x≥0时，y2＝4x；‎ 当x＜0时，y＝0.‎ 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x＜0)．‎ ‎(2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋，x1x2＝1.‎ 因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－.‎ 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得 x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1.‎ 故·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝·＋·＋·＋· ‎＝||·||＋||·||‎ ‎＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)(x4＋1)‎ ‎＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1‎ ‎＝1＋＋1＋1＋(2＋4k2)＋1‎ ‎＝8＋4≥8＋4×2 ＝16.‎ 当且仅当k2＝，即k＝±1时，·取最小值16.‎ 本题综合考查了直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率以及平面向量知识，考查了数形结合思想和化归转化思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般联立方程，设而不求，并借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．‎ 高考对圆锥曲线的考查是综合性的，这种综合性体现在圆锥曲线、直线、圆、平面向量、不等式等知识的相互交汇，高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，一般以椭圆或者抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合应用．‎ ‎【示例5】►(2011·北京)已知椭圆G：＋y2＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．‎ ‎(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；‎ ‎(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．‎ 解　(1)由已知得a＝2，b＝1，所以c＝＝.‎ 所以椭圆G的焦点坐标为(－，0)，(，0)，‎ 离心率为e＝＝.‎ ‎(2)由题意知，|m|≥1.‎ 当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为，，此时|AB|＝.‎ 当m＝－1时，同理可得|AB|＝.‎ 当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)．‎ 由得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.‎ 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 又由l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，‎ 即m2k2＝k2＋1.‎ 所以|AB|＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 由于当m＝±1时，|AB|＝，‎ 所以|AB|＝，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．‎ 因为|AB|＝＝≤2，且当m＝±时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.‎ 本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系、两点间距离公式、基本不等式等基础知识，考查考生分析问题、解决问题的能力与运算能力．直线与圆锥曲线的问题，一般方法是联立方程，利用“设而不求”思想解题.‎ 一、圆锥曲线的最值问题 ‎【考情快递】 最值问题是高考的热点，可能出选择题、填空题和解答题．‎ 方法1：定义转化法 解题步骤 ‎①根据圆锥曲线的定义列方程；‎ ‎②将最值问题转化为距离问题求解．‎ 适用情况 此法为求解最值问题的常用方法，多数题可以用.‎ ‎【例1】►已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．‎ 解析　如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，‎ 即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，‎ 将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，‎ 即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，‎ 即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9.‎ 答案　9‎ 方法2：切线法 解题步骤 ‎①求与直线平行的圆锥曲线的切线；‎ ‎②求出两平行线的距离即为所求的最值．‎ 适用情况 当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时用此法.‎ ‎【例2】►求椭圆＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．‎ 解　设椭圆的切线方程为y＝x＋b，‎ 代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.‎ 由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±.‎ 当b＝时，直线y＝x＋与y＝x＋2的距离d1＝，将b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，‎ 解得x＝－，此时y＝，‎ 即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最小，最小值是；‎ 当b＝－时，直线y＝x－到直线y＝x＋2的距离d2＝，将b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，‎ 解得x＝，此时y＝－，‎ 即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最大，最大值是.‎ 方法3：参数法 解题步骤 ‎①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；‎ ‎②求解关于这个参数的函数最值．‎ 适用情况 可以用参数表示某个曲线并求得最值的问题.‎ ‎【例3】►在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．‎ 解析　因为椭圆＋y2＝1的参数方程为 (φ为参数)．‎ 故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，‎ 其中0≤φ＜2π.‎ 因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝2＝2sin，所以，当φ＝时，S取最大值2.故填2.‎ 答案　2‎ 方法4：基本不等式法 解题步骤 ‎①将最值用变量表示．‎ ‎②利用基本不等式求得表达式的最值．‎ 适用情况 最值问题中的多数问题可用此法.‎ ‎【例4】►设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k＞0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．‎ 解　依题设得椭圆的方程为＋y2＝1.‎ 直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．‎ 设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2，‎ 且x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝.①‎ 根据点到直线的距离公式和①式，‎ 得点E，F到AB的距离分别为 h1＝＝，‎ h2＝＝，‎ 又|AB|＝＝，所以四边形AEBF的面积为 S＝|AB|(h1＋h2)＝··＝ ‎＝2≤2，‎ 当2k＝1，即k＝时，取等号．‎ 所以四边形AEBF面积的最大值为2.‎ 二、圆锥曲线的范围问题 ‎【考情快递】 圆锥曲线中的范围问题是高考中的常见考点，一般出选择题、填空题．‎ 方法1：曲线几何性质法 解题步骤 ‎①由几何性质建立关系式；‎ ‎②化简关系式求解．‎ 适用情况 利用定义求解圆锥曲线的问题.‎ ‎【例1】►已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围是________．‎ 解析　根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r，‎ 则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝，|PF2|＝.‎ 根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即≥c－a，‎ 即≤，即e≤.又e＞1，‎ 故双曲线的离心率e的取值范围是.故填.‎ 答案　 方法2：判别式法 解题步骤 ‎①联立曲线方程，消元后求判别式；‎ ‎②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．‎ 适用情况 当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零．此类问题可用判别式法求解.‎ ‎【例2】►(2011·浏阳一中月考)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.‎ ‎(1)求k的取值范围；‎ ‎(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量＋与共线？如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．‎ 解　(1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋，‎ 代入椭圆方程，得＋(kx＋)2＝1，‎ 整理得x2＋2kx＋1＝0.①‎ 由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，‎ 得Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，‎ 解得k＜－或k＞，‎ 即k的取值范围为∪.‎ ‎(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 则＋＝(x1＋x2，y1＋y2)．‎ 由方程①，知x1＋x2＝－.②‎ 又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.③‎ 由A(，0)，B(0,1)，得＝(－，1)．‎ 所以＋与共线等价于x1＋x2＝－(y1＋y2)，‎ 将②③代入，解得k＝.‎ 由(1)知k＜－或k＞，‎ 故不存在符合题意的常数k.‎ 三、圆锥曲线的定值、定点问题 ‎【考情快递】 此类问题也是高考的热点，圆锥曲线中的定值问题是指某些几何量不受运动变化的点的影响而有固定取值的一类问题，定点问题一般是指运动变化中的直线或曲线恒过平面内的某个或某几个定点而不受直线和曲线的变化影响的一类问题．‎ 方法1：特殊到一般法 解题步骤 ‎①根据特殊情况确定出定值或定点；‎ ‎②对确定出来的定值或定点进行证明．‎ 适用情况 根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题.‎ ‎【例1】►已知双曲线C：x2－＝1，过圆O：x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值．‎ 证明　当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝±.‎ 当x＝时，代入双曲线方程，得y＝±，‎ 即A(，)，B(，－)，此时∠AOB＝90°，‎ 同理，当x＝－时，∠AOB＝90°.‎ 当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b，‎ 则＝，即b2＝2(1＋k2)．‎ 由直线方程和双曲线方程消掉y，‎ 得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0，‎ 由直线l与双曲线交于A，B两点．‎ 故2－k2≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，‎ y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2‎ ‎＝＋＋＝，‎ 故x1x2＋y1y2＝＋＝，‎ 由于b2＝2(1＋k2)，‎ 故x1x2＋y1y2＝0，即·＝0，∠AOB＝90°.‎ 综上可知，若l交双曲线于A，B两点，‎ 则∠AOB的大小为定值90°.‎ 方法2：引进参数法 解题步骤 ‎①引进参数表示变化量；‎ ‎②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点．‎ 适用情况 定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).‎ ‎【例2】►如图所示，曲线C1：＋＝1，曲线C2：y2＝4x，过曲线C1的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点．若G为CD的中点、H为BE的中点，证明为定值．‎ 证明　由题意，知F1(－1,0)，F2(1,0)，设B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，‎ 直线y＝k(x－1)，代入＋＝1，‎ 得82＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，‎ 则y1＋y2＝－，y1y2＝－.‎ 同理，将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＝0，‎ 则y3＋y4＝，y3y4＝－4，‎ 所以＝· ‎＝ ‎＝ ‎＝＝3为定值．‎ 方法运用训练2‎ ‎1．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到x＝－1直线的距离之和的最小值为(　　)．‎ A.B.C.D. 解析　如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，‎ 准线是x＝－1，由抛物线的定义知：‎ 点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离；‎ 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，‎ 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小；显然，连AF交曲线于P点．‎ 故最小值为，即为.‎ 答案　C ‎2．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆离心率e的范围为(　　)．‎ A.＜e＜B．0＜e＜ C.＜e＜D.＜e＜ 解析　此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b)一个在圆外、一个在圆内即：‎ ⇒⇒ ‎⇒＜e＜.‎ 答案　A ‎3．(2011·长郡中学1次月考)设F是椭圆＋＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为________．‎ 解析　若公差d＞0，则|FP1|最小，|FP1|＝－1；‎ 数列中的最大项为＋1，并设为第n项，‎ 则＋1＝－1＋(n－1)d⇒n＝＋1≥21⇒d≤，‎ 注意到d＞0，得0＜d≤；若d＜0，易得－≤d＜0.‎ 那么，d的取值范围为∪.‎ 答案　∪ ‎4．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则的值为________．‎ 解析　设直线PA的斜率为kPA，PB的斜率为kPB，‎ 由y＝2px1，y＝2px0，得kPA＝＝，‎ 同理kPB＝，‎ 由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，‎ 因此＝－，即y1＋y2＝－2y0(y0＞0)，‎ 那么＝－2.‎ 答案　－2‎ ‎5．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．‎ 解　求直线方程，由于F(－c,0)为已知，仅需求斜率k，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则y0＝，‎ 由于S△PFO＝|OF|·|y0|＝|y0|只需保证|y0|最大即可，‎ 由⇒(b2＋a2k2)y2－2b2cky－b4k2＝0，‎ ‎|y0|＝＝＝≤ 得：S△PFO≤，此时＝a2|k|⇒k＝±，‎ 故直线方程为：y＝±(x＋c)．‎ ‎6．(长沙雅礼中学最新月考)已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在轴上所截得的弦．‎ ‎(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；‎ ‎(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．‎ 解　(1)设O′(x0，y0)，则x＝2py0(y0≥0)，‎ 则⊙O′的半径|O′A|＝，‎ ‎⊙O′的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x＋(y0－p)2，‎ 令y＝0，并把x＝2py0，代入得x2－2x0x＋x－p2＝0，‎ 解得x1＝x0－p，x2＝x0＋p，所以|MN|＝|x1－x2|＝2p，‎ 这说明|MN|是不变化，其为定值2p.‎ ‎(2)不妨设M(x0－p,0)，N(x0＋p,0)．‎ 由题2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x0＋p|，‎ 所以－p≤x0≤p.‎ O′到抛物线准线y＝－的距离d＝y0＋＝，‎ ‎⊙O′的半径|O′A|＝＝ ‎＝.‎ 因为r＞d⇔x＋4p4＞2⇔x＜p2，‎ 又x≤p2＜p2(p＞0)，所以r＞d，‎ 即⊙O′与抛物线的准线总相交