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- 2021-05-13 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)
本试卷共5页,150分。考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。
第一部分(选择题 共40分)
一、 选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)若集合,,则( )
(A) (B) (C) (D)
(2)下列函数中,定义域是且为增函数的是( )
(A) (B) (C) (D)
(3)已知向量,,则( )
(A) (B) (C) (D)
(4)执行如图所示的程序框图,输出的值为( )
(A) (B) (C) (D)
(5)设、是实数,则“”是“”的( )
(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不必要条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分不必要条件
(6)已知函数,在下列区间中,包含零点的区间是( )
(A) (B) (C) (D)
(7)已知圆和两点,,若圆上存在点,使得,则的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
(8)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率与加工时间(单位:分钟)满足的函数关系(、、是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )
(A)分钟 (B)分钟
(C)分钟 (D)分钟
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分。
(9)若,则 .
(10)设双曲线的两个焦点为,,一个顶点是,
则的方程为 .
(11)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为 .
(12)在中,,,,则 ; .
(13)若,满足,则的最小值为 .
(14)顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件颜料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下:
工序
时间
原料
粗加工
精加工
原料
原料
则最短交货期为 工作日.
三、解答题共6小题,共80分。解答应写出必要的文字说明,演算步骤。
(15)(本小题13分)已知是等差数列,满足,,数列满足,, 且为等比数列.(Ⅰ)求数列和的通项公式;(Ⅱ)求数列的前项和.
(16)(本小题13分)函数的部分图象如图所示.
(Ⅰ)写出的最小正周期及图中、的值;
(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.
(17)(本小题14分)如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,
、分别为、的中点.
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求证:平面;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.
(18)(本小题14分)从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:
组号
分组
频数
1
6
2
8
3
17
4
22
5
25
6
12
7
6
8
2
9
2
合计
100
(Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率;
(Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值;
(Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)
(19)(本小题14分)已知椭圆C:.(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)设O为原点,若点A在直线,点B在椭圆C上,且,求线段AB长度的最小值.
(20)(本小题13分)已知函数.
(Ⅰ)求在区间上的最大值;
(Ⅱ)若过点存在3条直线与曲线相切,求t的取值范围;
(Ⅲ)问过点分别存在几条直线与曲线相切?(只需写出结论)
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2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C (2)B (3)A (4)C
(5)D (6)C (7)B (8)B
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)2 (10) (11)
(12) (13)1 (14)42
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ) 设等差数列的公差为,由题意得
所以.
设等比数列的公比为,
由题意得,解得.
所以.
从而
(Ⅱ)由⑴知.
数列的前项和为,数列的前项和为.
所以,数列的前项和为.
(16)(共13分)解:(Ⅰ) 的最小正周期为 .
(Ⅱ) 因为,所以.
于是当,即时,取得最大值0;
当,即时,取得最小值.
(17)(共14分)解:(Ⅰ)在三棱柱中,底面.
所以.
又因为.
所以平面.
所以平面平面.
(Ⅱ)取中点,连结,.
因为,分别是,的中点,
所以,且.
因为,且,
所以,且.
所以四边形为平行四边形.
所以.
又因为平面,平面,
所以平面.
(Ⅲ)因为,,,
所以.
所以三棱锥的体积
.
(18)(共13分)解:(Ⅰ)根据频数分布表,100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名,所以样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是
.
从该校随机选取一名学生,估计其课外阅读时间少于12小时的概率为.
(Ⅱ)课外阅读时间落在组的有17人,频率为,所以
.
课外阅读时间落在组的有25人,频率为,
所以.
(Ⅲ)样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组.
(19)(共14分)解:(Ⅰ)由题意,椭圆的标准方程为.
所以,,从而.
因此,.
故椭圆的离心率.
(Ⅱ)设点,的坐标分别为,,其中.
因为,
所以,
即,解得.
又,所以
.
因为,且当时等号成立,所以.
故线段长度的最小值为.
(20)(共13分)解:(Ⅰ) 由得.
令,得或.
因为,,
所以 在区间上的最大值为 .
(Ⅱ) 设过点的直线与曲线相切于点
则且切线斜率为
所以切线方程为,
因此 .
整理得.
设
则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.
.
与的情况如下:
0
1
0
0
↗
↘
↗
所以,是的极大值,是的极小值.
当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以 至多有2个零点.
当,即时,此时在区间和上分别至多有1个零点,所以 至多有2个零点.
当且,即时,因为,所以 分别在区间,和上恰有个零点.由于在区间和上单调,所以分别在区间和上恰有1个零点.
综上可知,当过点存在条直线与曲线相切时,的取值范围是 .
(Ⅲ) 过点 存在条直线与曲线相切;
过点 存在条直线与曲线相切;
过点 存在条直线与曲线相切.: