答案高考三角函数复习 17页

高考复习-三角函数 考点一 有关三角函数的概念和公式的简单应用 例1：已知∈(，)，=，则=‎ ‎【解析】 ∈(，)，sin= ‎ 则 = 故=‎ 例2：已知=2，则的值为 ．‎ 解∵ tan=2, ∴ ;‎ 所以==.‎ 考点二 有关三角函数的性质问题 例3：已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）因为 所以的最小正周期为 ‎（Ⅱ）因为于是，当时，取得最大值2；当取得最小值．‎ ‎【名师点睛】对于形如型，要通过引入辅助角化为 (＝，＝)的形式来求．‎ 例4：已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域. ‎ 解（1）由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即，‎ 由点在图像上的 故 又 ‎（2）当=，即时，取得最大值2；当即时，取得最小值-1，故的值域为[-1,2] ‎ ‎【名师点睛】求函数 (或，或)的单调区间(1)将化为正．(2)将看成一个整体，由三角函数的单调性求解．‎ 例5：设函数．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．‎ 解：（Ⅰ）= = = 故的最小正周期为T = =8‎ ‎ (Ⅱ)解法一： 在的图象上任取一点，它关于的对称点 .由题设条件，点在的图象上，从而 = = 当时，，因此在区间上的最大值为 ‎ 解法二：因区间关于x = 1的对称区间为，且与的图象关于x = 1对称，故在上的最大值为在上的最大值由（Ⅰ）知＝ 当时，因此在上的最大值为w.w .‎ 例6：将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】:将函数的图象向左平移个单位,得到函数即 的图象,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式为,故选A.‎ ‎【名师点睛】平移变换：①沿x轴平移时，由变为时，“左加右减”即φ>0，左移；φ<0，右移．②沿y轴平移：由变为时，“上加下减”，即>0，上移；<0，下移．伸缩变换：①沿x轴伸缩：由变为时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍．②沿y轴伸缩：由变为，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍．‎ 例7：设函数的最小正周期为，且 ‎，则 （A）在单调递减 （B）在单调递减 （C）在单调递增 （D）在单调递增 解析：函数解析式可化为，又因为该函数是偶函数，所以，，所以该函数在上是减函数。故选A 考点四 三角恒等变换 例8：的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】原式=，故选A。‎ 例9：已知函数．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．‎ 解：（1）‎ ‎，由得，‎ ‎，所以．‎ ‎ （2）由（1）得，‎ 由得，所以，‎ 从而．‎ 例10：（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 解：‎ ‎【名师点睛】给值求值、给值求角问题. ⑴发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”；⑵寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系；⑶合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.‎ 例11：求值：‎ ‎【解析】原式＝‎ ‎＝＝‎ ‎【名师点睛】合理转化：选择恰当的公式，促使差异的转化.‎ 例12：已知,,, (Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求的值.‎ 解:（Ⅰ）因为,又,所以 ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ），得…8分 而,且,1‎ 故=‎ ‎【名师点睛】善于观察条件中的角与欲求式中角的内在联系，整体运用条件中角的函数值可使问题简化．角的常见变换：α＋2β＝(α＋β)＋β，(α－)－(－β)＝ 考点五 解三角形及实际应用 例13：在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且2asinA = (2b+c)sinB+(2c+b)sinC.‎ ‎（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.‎ 解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得 即 由余弦定理得故 ，A=120°6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得： ‎ 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。……12分 例14：某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。‎ (1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？‎ ‎[解析] （1），同理：，。 AD—AB=DB，故得，解得：。‎ 因此，算出的电视塔的高度H是124m。‎ ‎（2）由题设知，得，‎ ‎，（当且仅当时，取等号）‎ 故当时，最大。因为，则，所以当时，-最大。故所求的是m。‎ 例15：如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ 解：由题意知AB＝5(3＋)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，‎ ‎∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，‎ 在△DAB中，由正弦定理得＝，‎ ‎∴DB＝＝＝ ‎＝＝10(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，‎ BC＝20(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos ∠DBC ‎＝300＋1 200－2×10×20×＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝＝1(小时)．‎ 答：救援船到达D点需要1小时．‎ 突破训练 ‎1、如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解: 函数的图像关于点中心对称 ‎ 由此易得.故选A ‎2、已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 ‎ A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 ‎ 解析：由题知，所以，故选择A。‎ ‎3、下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 解析：因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即。‎ ‎4、已知函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）==, ‎ 因为，所以，当时，取最大值6；当时，取最小值 5、 已知函数（1）求的值；‎ 6、 ‎（2）设求的值.‎ 7、 ‎【解析】‎ ‎6、已知函数 ‎（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，求证：.‎ 解析：（Ⅰ）∵‎ ‎，∴的最小正周期是，当，‎ 即时，函数取得最小值-2.‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎..‎ ‎，‎ ‎，所以，结论成立. ‎ ‎7、设满足，求函数 在上的最大值和最小值 解析：‎ 由得，解得： ‎ 因此当时，，为增函数，当时，，为减函数，‎ 所以在上的最大值为又因为，所以在上的最小值为 ‎8、设函数 （1）求的最小正周期；（II）若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最大值。‎ 解：（I） ‎ 故的最小正周期为 ‎ （II）依题意 当为增函数，所以上的最大值为 ‎9、已知函数，，，.的部分图像，如图所示，‎ ‎、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为.[‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点的坐标为，，求的值.‎ ‎【解析】：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）法一： 设点由题意可知所以，连结，在中 ‎，由余弦定理得 解得又所以 法二：设点由题意可知所以，在中 ‎， ‎ ‎10、已知函数其中， （I）若求的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。‎ 解法一：（I）由得即又 ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由（I）得， 依题意， 又故 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为 是偶函数当且仅当 即 从而，最小正实数 解法二：（I）同解法一 ‎（Ⅱ）由（I）得， 依题意，又，故 函数的图像向左平移个单位后所对应的函数为，是偶函数当且仅当对恒成立亦即对恒成立。‎ 即对恒成立。故从而，最小正实数 ‎11、已知函数．（1）当时，求在区间上的取值范围；（2）当时，，求的值．‎ 解：（1）当时，‎ 又由得，所以，‎ 从而.‎ ‎（2）‎ 由得，‎ ‎，所以，得．‎ ‎12、在ABC中，内角的对边分别为.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由正弦定理得 所以=,即,‎ 即有,即,所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知: ,即,又因为,所以由余弦定理得：，即,解得,所以,又因为，所以，故的面积为=‎ ‎13、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。 ‎ ‎ 解：作交BE于N，交CF于M． ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎．　．．．．．．6分 ‎ 在中，由余弦定理，‎ ‎. ‎ ‎14、在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．‎ 解析：（I）由正弦定理得 因为所以 ‎（II）由（I）知于是 取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时 ‎15、在，已知，求角A，B，C的大小。‎ 解：设由得，所以 又因此由得，于是所以，，‎ 因此，既 由A=知，所以，，从而或，既或故或。‎ 高考复习-三角函数 考点一 有关三角函数的概念和公式的简单应用 例1：已知∈(，)，=，则=‎ 例2：已知=2，则的值为 ．‎ 考点二 有关三角函数的性质问题 例3：已知函数（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值。‎ 例4：已知函数（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为.(Ⅰ)求的解析式；（Ⅱ）当，求的值域. ‎ 例5：设函数．（Ⅰ）求的最小正周期．（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．‎ 例6：将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).‎ A. B. C. D. ‎ 例7：设函数的最小正周期为，且 ‎，则 （A）在单调递减 （B）在单调递减 （C）在单调递增 （D）在单调递增 考点四 三角恒等变换 例8：的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 例9：已知函数．（1）若，求；（2）若，求的取值范围．‎ 例10：（ ） ‎ A． B． C． D．‎ 例12：已知,,, (Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 求的值.‎ 考点五 解三角形及实际应用 例13：在△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且 ‎（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.‎ 例14：某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。‎ (1) 该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；‎ (2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？‎ 例15：如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？‎ 突破训练 ‎1、如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎2、已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象 ‎ A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度 ‎ ‎。‎ ‎3、下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎4、已知函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最大值和最小值。‎ ‎5.已知函数（1）求的值；‎ ‎（2）设求的值.‎ ‎6、已知函数 ‎（Ⅰ）求的最小正周期和最小值；（Ⅱ）已知，，求证：.‎ ‎7、设满足，求函数 在上的最大值和最小值 ‎8、设函数 （1）求的最小正周期；（II）若函数的图象按平移后得到函数的图象，求在上的最大值。‎ ‎9、已知函数，，，.的部分图像，如图所示，‎ ‎、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为.[‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期及的值；（Ⅱ）若点的坐标为，，求的值.‎ ‎10、已知函数其中， （I）若求的值；（Ⅱ）在（I）的条件下，若函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数的解析式；并求最小正实数，使得函数的图像象左平移个单位所对应的函数是偶函数。‎ ‎11、已知函数．（1）当时，求在区间上的取值范围；（2）当时，，求的值．‎ ‎12、在ABC中，内角的对边分别为.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，,求的面积.‎ ‎13、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求∠DEF的余弦值。 ‎ ‎14、在中，角所对的边分别为且满足（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．‎ ‎15、在，已知，求角A，B，C的大小。‎