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- 2021-05-13 发布
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第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用
考点一
平面向量数量积的概念及运算
[例1] (1)(2013·湖北高考)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量在方向上的投影为( )
A.B. C.-D.-
(2)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.
[自主解答] (1)∵A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),
∴=(2,1),=(5,5),
因此cos〈,〉==,
∴向量在方向上的投影为||·cos〈,〉=×=.
(2)以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x,y轴建立直角坐标系,则B(,0),E(,1),D(0,2),C(,2).设F(x,2)(0≤x≤),由·=⇒x=⇒x=1,所以F(1,2),·=(,1)·(1-,2)=.
[答案] (1)A (2)
【互动探究】
在本例(2)中,若四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是AB上的动点,求·的值及·的最大值.
解:
以A点为原点,AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,则正方形各顶点坐标分别为A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1),设E(a,0),0≤a≤1.
·=(a,-1)·(0,-1)=a×0+(-1)×(-1)=1.
·=(a,-1)·(1,0)=a+(-1)×0=a≤1,故·的最大值为1.
【方法规律】
平面向量数量积的类型及求法
(1)平面向量数量积有两种计算公式:一是夹角公式a·b=|a||b|cos
θ;二是坐标公式a·b=x1x2+y1y2.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时,可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
1.若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),满足条件(8a-b)·c=30,则x=________.
解析:∵a=(1,1),b=(2,5),
∴8a-b=(8,8)-(2,5)=(6,3).
又c=(3,x),
∴(8a-b)·c=18+3x=30,
∴x=4.
答案:4
2.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若a·b=0,则实数k的值为________.
解析:∵e1,e2的模为1,且其夹角θ=.
∴a·b=(e1-2e2)·(ke1+e2)
=ke+e1·e2-2ke1·e2-2e
=k+(1-2k)cos-2
=2k-.
又∵a·b=0,∴2k-=0,即k=.
答案:
高频考点
考点二平面向量的夹角与模的问题
1.平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,难度适中,属中档题.
2.高考对平面向量的夹角与模的考查常有以下几个命题角度:
(1)求两向量的夹角;
(2)两向量垂直的应用;
(3)已知数量积求模;
(4)知模求模.
[例2] (1)(2013·湖南高考)已知a,b是单位向量,a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( )
A.-1 B. C.+1 D.+2
(2)(2013·安徽高考)若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b夹角的余弦值为________.
(3)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy中,已知=(-1,t),=(2,2).若∠ABO=90°,则实数t的值为________.
(4)(2013·天津高考)在平行四边形ABCD中, AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1, 则AB的长为________.
[自主解答] (1)建立如图所示的直角坐标系,由题意知a⊥b,且a与b是单位向量,
∴可设=a=(1,0),=b=(0,1),=c=(x,y).
∴c-a-b=(x-1,y-1),
∵|c-a-b|=1,
∴(x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆.
而|c|=,∴|c|的最大值为|OM|+1,即|c|max=+1.
(2)由|a|=|a+2b|,两边平方,得|a|2=|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b,所以a·b=-|b|2.
又|a|=3|b|,所以cos〈a,b〉==-=-.
(3)=+=(1,-t)+(2,2)=(3,2-t).
∵∠ABO=90°,∴·=0,即2×3+2·(2-t)=0,
∴t=5.
(4)法一:由题意可知,=+,=-+.因为·=1,所以(+)·=1,
即2+·-2=1.
因为||=1,∠BAD=60°,
所以||=,即AB的长为.
法二:以A为原点,AB为x轴建立如图所示的直角坐标系,过D作DM⊥AB于点M.由AD=1,∠BAD=60°,可知AM=,DM=.
设|AB|=m(m>0),则B(m,0),C,D.
因为E是CD的中点,所以E.
所以=,=.
由·=1,可得+=1,
即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或.
故AB的长为.
[答案] (1)C (2)- (3)5 (4)
平面向量的夹角与模问题的常见类型及解题策略
(1)求两向量的夹角.cos θ=,要注意θ∈[0,π].
(2)两向量垂直的应用.两非零向量垂直的充要条件是:a⊥b⇔a·b=0⇔|a-b|=|a+b|.
(3)求向量的模.利用数量积求解长度问题的处理方法有:
①a2=a·a=|a|2或|a|=.
②|a±b|==.
③若a=(x,y),则|a|=.
1.若a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于( )
A.-B. C. D.
解析:选C 2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),
a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)·(a-b)=9,
|2a+b|=3,|a-b|=3.
设所求两向量夹角为α,
则cos α==,又α∈[0,π],故α=.
2.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与向量ka-b垂直,则k=________.
解析:∵a与b是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1.
又ka-b与a+b垂直,∴(a+b)·(ka-b)=0,
即ka2+ka·b-a·b-b2=0.
∴k-1+ka·b-a·b=0,
即k-1+kcos θ-cos θ=0(θ为a与b的夹角).
∴(k-1)(1+cos θ)=0,
又a与b不共线,
∴cos θ≠-1,∴k=1.
答案:1
3.已知平面向量α,β,|α|=1,β=(2,0),α⊥(α-2β),则|2α+β|的值为________.
解析:∵β=(2,0),∴|β|=2,
又α⊥(α-2β),
∴α·(α-2β)=α2-2α·β=1-2α·β=0.
∴α·β=.
∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4+4+2=10.
∴|2α+β|=.
答案:
考点三
平面向量数量积的应用
[例3] (2013·江苏高考)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π.
(1)若|a-b|=,求证:a⊥b;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.
[自主解答] (1)证明:由题意得|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2.
又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,所以2-2a·b=2,即a·b=0,故a⊥b.
(2)因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以
由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=,而α>β,所以α=,β=.
【方法规律】
平面向量与三角函数的综合问题的命题形式与解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.
设向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β).
(1)若a与b-2c垂直,求tan(α+β)的值;
(2)求|b+c|的最大值;
(3)若tan αtan β=16,求证:a∥b.
解:(1)由a与b-2c垂直,
得a·(b-2c)=a·b-2a·c=0,
即4sin(α+β)-8cos(α+β)=0,tan(α+β)=2.
(2)b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β),
|b+c|2=sin2β+2sin βcos β+cos2β+16cos2β-32cos βsin β+16sin2β=17-30sin βcos β=17-15sin 2β,故最大值为32,所以|b+c|的最大值为4.
(3)证明:由tan αtan β=16,得sin αsin β=16cos αcos β,即
4cos α·4cos β-sin αsin β=0,所以a∥b.
——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————
1个条件——两个非零向量垂直的充要条件
两个非零向量垂直的充要条件为:a⊥b⇔a·b=0.
2个结论——与向量夹角有关的两个结论
(1)若a·b>0,则a与b的夹角为锐角或0°;
(2)若a·b<0,则a与b的夹角为钝角或180°.
4个注意点——向量运算中应注意的四个问题
(1)在求△ABC的三边所对应向量的夹角时,要注意是三角形的内角还是外角.如在等边△ABC中,与的夹角应为120°而不是60°.
(2)在平面向量数量积的运算中,不能从a·b=0推出a=0
或b=0成立.实际上由a·b=0可推出以下四种结论:①a=0,b=0;②a=0,b≠0;③a≠0,b=0;④a≠0,b≠0,但a⊥b.
(3)实数运算满足消去律:若bc=ca,c≠0,则有b=a.在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),则不一定得到b=c.
(4)实数运算满足乘法结合律,但平面向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),这是由于(a·b)·c表示一个与c共线的向量,而a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.