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- 2021-05-13 发布
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2009 年普通高等学校招生全国统一考试试卷题
文科数学
第Ⅰ卷(选择题)
本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
参考公式:
如果事件 互斥,那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立,那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ,那么
次独立重复试验中事件 A 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一.选择题
(1)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M ={1,3,5,7},N ={5,6,7},则 Cu( M N)=
(A) {5,7} (B) {2,4} (C){2.4.8} (D){1,3,5,6,7}
(2)函数 y= (x 0)的反函数是
(A) (x 0) (B) (x 0)
(B) (x 0) (D) (x 0)
(3) 函数 y= 的图像
(A) 关于原点对称 (B)关于主线 对称
(C) 关于 轴对称 (D)关于直线 对称
(4)已知△ABC 中, ,则
(A) (B) (C) (D)
(5) 已知正四棱柱 中, = , 为 重点,则异面直线
与 所形成角的余弦值为
A B,
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24πS R=
A B, R
( ) ( ) ( )P A B P A P B=
A P 34 π3V R=
n k R
( ) (1 ) ( 01,2 )k k n k
n nP k C P P k n−= − = , , ,
x− ≤
2y x= ≥ 2y x= − ≥
2y x= ≤ 2y x= − ≤
2
2log 2
xy x
−= +
y x= −
y y x=
12cot 5A = − cos A =
12
13
5
13
5
13
− 12
13
−
1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA 2AB E 1AA BE
1CD
(A) (B) (C) (D)
(6) 已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= ,则︱b ︱=
(A) (B) (C)5 (D)25
(7)设 则
(A) (B) (C) (D)
(8)双曲线 的渐近线与圆 相切,则 r=
(A) (B)2 (C)3 (D)6
( 9 ) 若 将 函 数 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 , 与 函 数
的图像重合,则 的最小值为
(A) (B) (C) (D)
(10)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有
(A)6 种 (B)12 种 (C)24 种 (D)30 种
(11)已知直线 与抛物线 C: 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。
若 ,则 k=
(A) (B) (C) (D)
(12)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正
方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位是
(A)南 (B)北 (C)西 (D)下
第Ⅱ卷(非选择题)
10
10
1
5
3 10
10
3
5
5 2
5 10
2lg , (lg ) , lg ,a e b e c e= = =
a b c> > a c b> > c a b> > c b a> >
136
22
=− yx )0()3( 222 >=+− rryx
3
)0)(4tan( >+= ωπωxy 6
π
)6tan(
πω += xy ω
6
1
4
1
3
1
2
1
)0)(2( >+= kxky xy 82 =
FBFA 2=
3
1
3
2
3
2
3
22
本卷共 10 小题,共 90 分。
二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡上相应位置的横
线上.
(13)设等比数列{ }的前 n 项和为 。若 ,则 = ×
(14) 的展开式中 的系数为 ×
(15)已知圆 O: 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成
的三角形的面积等于 ×
(16)设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面
得到圆 C。若圆 C 的面积等于 ,则球 O 的表面积等于 ×
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。解
答过程写在答题卡的相应位置。
(17)(本小题满分 10 分)
已知等差数列{ }中, 求{ }前 n 项和 .
(18)(本小题满分 12 分)
设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, , ,求
B.
(19)(本小题满分 12 分)
如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面
BCC1
(Ⅰ)证明:AB=AC
(Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小
na ns 361 4,1 ssa == 4a
4)( xyyx − 33 yx
522 =+ yx
4
7π
na ,0,16 6473 =+−= aaaa na ns
2
3cos)cos( =+− BCA acb =2
(20)(本小题满分 12 分)
某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中有 6 名女工人。
现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行
技术考核。
(Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数;
(Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率;
(Ⅲ)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。
(21)(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。
(22)(本小题满分 12 分)
(Ⅰ)求 a,b 的值;
(Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 成立?
若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。
aaxxaxxf 244)1(3
1)( 23 +++−=
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
3
3
2
2
→→→
+= OBOAOP
设函数 ,其中常数 a>1
已知椭圆 C: 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B
2
2两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
2009 年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参考答案和评分参考
一.选择题
(1)C (2)B (3)A (4)D (5)C (6)C
(7)B (8)A (9)D (10)C (11)D (12)B
二.填空题
(13)3 (14)6 (15) (16)8π
三.解答题
17. 解:
设 的公差为 ,则
即
解得
因此
(18)解:
由 cos(A C)+cosB= 及 B=π (A+C)得
cos(A C) cos(A+C)= ,
cosAcosC+sinAsinC (cosAcosC sinAsinC)= ,
sinAsinC= .
又由 =ac 及正弦定理得
25
4
{ }na d
( )( )1 1
1 1
2 6 16
3 5 0
a d a d
a d a d
+ + = − + + + =
2 2
1 1
1
8 12 16
4
a da d
a d
+ + = −
= −
1 18, 8
2, 2
a a
d d
= − =
= = −
或
( ) ( ) ( ) ( )8 1 9 8 1 9n nS n n n n n S n n n n n= − + − = − = − − = − −,或
− 3
2
−
− − 3
2
− − 3
2
3
4
2b
2sin sin sin ,B A C=
故 ,
或 (舍去),
于是 B= 或 B= .
又由 知 或
所 以 B = 。
(19)解法一:(Ⅰ)取 BC 中点 F,连接 EF,则 EF ,从而 EF DA。
连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF//DE。又 DE⊥平面 ,故 AF⊥平面 ,从
而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC。
(Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G,连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面角 A-BD-C 的
平面角。由题设知,∠AGC=600..
设 AC=2,则 AG= 。又 AB=2,BC= ,故 AF= 。
由 得 2AD= ,解得 AD= 。
故 AD=AF。又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形。
因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF。
连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD。
连接 CH,则∠ECH 为 与平面 BCD 所成的角。
因 ADEF 为正方形,AD= ,故 EH=1,又 EC= =2,
所以∠ECH=300,即 与平面 BCD 所成的角为 300.
解法二:
2 3sin 4B =
3sin 2B = 3sin 2B = −
3
π 2
3
π
2b ac= ab ≤ cb ≤
3
π
1
2 1B B
1BCC 1BCC
2
3
2 2 2
AB AD AG BD⋅ = ⋅ 2 22 . 2
3
AD + 2
1B C
2 1
1
2 B C
1B C
(Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 A—xyz。
设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则 (1,0,2c),E( , ,c).
于是 =( , ,0), =(-1,b,0).由 DE⊥平面 知 DE⊥BC, =0,求
得 b=1,所以 AB=AC。
(Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 则 又 =(-1,1,
0), =(-1,0,c),故
令 x=1, 则 y=1, z= , =(1,1, ).
又平面 的法向量 =(0,1,0)
由二面角 为 60°知, =60°,
故 °,求得
于是 ,
,
°
所以 与平面 所成的角为 30°
(20)解:
(I)由于甲、乙两组各有 10 名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取 4
名工人进行技术考核,则从每组各抽取 2 名工人。
(II)记 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则
(III) 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人,
表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人,
表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。
1B 1
2 2
b
DE
→ 1
2 2
b BC
→
1BCC DE BC
→ →
⋅
( , , ),AN x y z
→
= 0, 0.AN BC AN BD
→ → → →
⋅ = ⋅ = BC
→
0=+− yx
BD
→
0=+− czx
1
c AN
→ 1
c
ABD AC
CBDA −− ACAN,
60cos⋅⋅=⋅ ACANACAN
2
1c =
),,( 211=AN ),, 211(1 −=CB
2
1cos
1
1
1 =
⋅
⋅=
CBAN
CBANCBAN,
601 =CBAN,
CB1 BCD
A
15
8)( 2
10
1
6
1
4 ==
C
CCAP
iA i 210 ,,=i
jB j 210j ,,=
B
与 独立, ,且
故
(21)解:
(I)
由 知,当 时, ,故 在区间 是增函数;
当 时, ,故 在区间 是减函数;
当 时, ,故 在区间 是增函数。
综上,当 时, 在区间 和 是增函数,在区间 是减函
数。
(II)由(I)知,当 时, 在 或 处取得最小值。
由假设知
即 解得 1a 2′ xf )(xf )2,(−∞
ax 22 << 0)( <′ xf )(xf )2,2( a
ax 2> 0)( >′ xf )(xf ),2( +∞a
1>a )(xf )2,(−∞ ),2( +∞a )2,2( a
0≥x )(xf ax 2= 0=x
aaaaaaaf 2424)2)(1()2(3
1)2( 23 +⋅++−=
aaa 2443
4 23 ++−=
af 24)0( =
>
>
>
,0)0(
,0)2(
1
f
af
a
>
>−+−
>
.024
,0)6)(3(3
4
,1
a
aaa
a
a
( ),0,cF l Ocyx ,0=−− l
故 ,
由
得 , =
(Ⅱ)C 上存在点 ,使得当 绕 转到某一位置时,有 成立。
由 (Ⅰ)知 C 的方程为 + =6. 设
(ⅰ)
C 成立的充要条件是 , 且
整理得
故 ①
将
于是 , = ,
代入①解得, ,此时
于是 = , 即
因此, 当 时, , ;
22
00 cc =−−
2
2
2
=c 1=c
3
3==
a
ce
3=a 22 cab −= 2
P l F OBOAOP +=
22x 23y ).,(),,( 2211 yxByxA
)1( −= xkylxl 的方程为轴时,设不垂直当
OBOAOPP +=使上的点 )点的坐标为( 2121 , yyxxP ++
6)(3)(2 2
21
2
21 =+++ yyxx
6643232 2121
2
2
2
2
2
1
2
1 =+++++ yyxxyxyx
632,632 2
2
2
2
2
1
2
1 =+=+ yxyxCBA 上,即在、又
0332 2121 =++ yyxx
并化简得代入 ,632)1( 22 =+−= yxxky
0636)32( 2222 =−+−+ kxkxk
2
2
21 32
6
k
kxx +=+ 21xx 2
2
32
63
k
k
+
−
2
2
21
2
21 32
4)2)(1( k
kxxkyy +
−=−−=
22 =k 2
3
21 =+ xx
)2( 2121 −+=+ xxkyy 2
k− )2,2
3( kP −
2−=k )2
2,2
3(P 022 =−+ yxl的方程为
当 时, , 。
(ⅱ)当 垂直于 轴时,由 知,C 上不存在点 P 使
成立。
综上,C 上存在点 使 成立,此时 的方程为
2=k )2
2,2
3( −P 022 =−− yxl的方程为
l x )0,2(=+ OBOA
OBOAOP +=
)2
2,2
3( ±P OBOAOP += l
022 =−± yx