高考试题——文数 10页

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  • 2021-05-13 发布

高考试题——文数

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2009 年普通高等学校招生全国统一考试试卷题 文科数学 第Ⅰ卷(选择题) 本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 参考公式: 如果事件 互斥,那么 球的表面积公式 如果事件 相互独立,那么 其中 表示球的半径 球的体积公式 如果事件 在一次试验中发生的概率是 ,那么 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径 一.选择题 (1)已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7,8},M ={1,3,5,7},N ={5,6,7},则 Cu( M N)= (A) {5,7} (B) {2,4} (C){2.4.8} (D){1,3,5,6,7} (2)函数 y= (x 0)的反函数是 (A) (x 0) (B) (x 0) (B) (x 0) (D) (x 0) (3) 函数 y= 的图像 (A) 关于原点对称 (B)关于主线 对称 (C) 关于 轴对称 (D)关于直线 对称 (4)已知△ABC 中, ,则 (A) (B) (C) (D) (5) 已知正四棱柱 中, = , 为 重点,则异面直线 与 所形成角的余弦值为 A B, ( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24πS R= A B, R ( ) ( ) ( )P A B P A P B=  A P 34 π3V R= n k R ( ) (1 ) ( 01,2 )k k n k n nP k C P P k n−= − = , , ,  x− ≤ 2y x= ≥ 2y x= − ≥ 2y x= ≤ 2y x= − ≤ 2 2log 2 xy x −= + y x= − y y x= 12cot 5A = − cos A = 12 13 5 13 5 13 − 12 13 − 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA 2AB E 1AA BE 1CD (A) (B) (C) (D) (6) 已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= ,则︱b ︱= (A) (B) (C)5 (D)25 (7)设 则 (A) (B) (C) (D) (8)双曲线 的渐近线与圆 相切,则 r= (A) (B)2 (C)3 (D)6 ( 9 ) 若 将 函 数 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 长 度 后 , 与 函 数 的图像重合,则 的最小值为 (A) (B) (C) (D) (10)甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的选法有 (A)6 种 (B)12 种 (C)24 种 (D)30 种 (11)已知直线 与抛物线 C: 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦点。 若 ,则 k= (A) (B) (C) (D) (12)纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现在沿该正 方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位是 (A)南 (B)北 (C)西 (D)下 第Ⅱ卷(非选择题) 10 10 1 5 3 10 10 3 5 5 2 5 10 2lg , (lg ) , lg ,a e b e c e= = = a b c> > a c b> > c a b> > c b a> > 136 22 =− yx )0()3( 222 >=+− rryx 3 )0)(4tan( >+= ωπωxy 6 π )6tan( πω += xy ω 6 1 4 1 3 1 2 1 )0)(2( >+= kxky xy 82 = FBFA 2= 3 1 3 2 3 2 3 22 本卷共 10 小题,共 90 分。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡上相应位置的横 线上. (13)设等比数列{ }的前 n 项和为 。若 ,则 = × (14) 的展开式中 的系数为 × (15)已知圆 O: 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成 的三角形的面积等于 × (16)设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点,过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球 O 的表面 得到圆 C。若圆 C 的面积等于 ,则球 O 的表面积等于 × 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤。解 答过程写在答题卡的相应位置。 (17)(本小题满分 10 分) 已知等差数列{ }中, 求{ }前 n 项和 . (18)(本小题满分 12 分) 设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c, , ,求 B. (19)(本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB⊥AC,D、E 分别为 AA1、B1C 的中点,DE⊥平面 BCC1 (Ⅰ)证明:AB=AC (Ⅱ)设二面角 A-BD-C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小 na ns 361 4,1 ssa == 4a 4)( xyyx − 33 yx 522 =+ yx 4 7π na ,0,16 6473 =+−= aaaa na ns 2 3cos)cos( =+− BCA acb =2 (20)(本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 10 名工人,其中有 6 名女工人。 现采用分层抽样(层内采用不放回简单随即抽样)从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行 技术考核。 (Ⅰ)求从甲、乙两组各抽取的人数; (Ⅱ)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (Ⅲ)求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率。 (21)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 (22)(本小题满分 12 分) (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 aaxxaxxf 244)1(3 1)( 23 +++−= )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x 3 3 2 2 →→→ += OBOAOP 设函数 ,其中常数 a>1 已知椭圆 C: 的离心率为 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 2 2两点,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案和评分参考 一.选择题 (1)C (2)B (3)A (4)D (5)C (6)C (7)B (8)A (9)D (10)C (11)D (12)B 二.填空题 (13)3 (14)6 (15) (16)8π 三.解答题 17. 解: 设 的公差为 ,则 即 解得 因此 (18)解: 由 cos(A C)+cosB= 及 B=π (A+C)得 cos(A C) cos(A+C)= , cosAcosC+sinAsinC (cosAcosC sinAsinC)= , sinAsinC= . 又由 =ac 及正弦定理得 25 4 { }na d ( )( )1 1 1 1 2 6 16 3 5 0 a d a d a d a d  + + = − + + + = 2 2 1 1 1 8 12 16 4 a da d a d  + + = −  = − 1 18, 8 2, 2 a a d d = − =   = = −  或 ( ) ( ) ( ) ( )8 1 9 8 1 9n nS n n n n n S n n n n n= − + − = − = − − = − −,或 − 3 2 − − − 3 2 − − 3 2 3 4 2b 2sin sin sin ,B A C= 故 , 或 (舍去), 于是 B= 或 B= . 又由 知 或 所 以 B = 。 (19)解法一:(Ⅰ)取 BC 中点 F,连接 EF,则 EF ,从而 EF DA。 连接 AF,则 ADEF 为平行四边形,从而 AF//DE。又 DE⊥平面 ,故 AF⊥平面 ,从 而 AF⊥BC,即 AF 为 BC 的垂直平分线,所以 AB=AC。 (Ⅱ)作 AG⊥BD,垂足为 G,连接 CG。由三垂线定理知 CG⊥BD,故∠AGC 为二面角 A-BD-C 的 平面角。由题设知,∠AGC=600.. 设 AC=2,则 AG= 。又 AB=2,BC= ,故 AF= 。 由 得 2AD= ,解得 AD= 。 故 AD=AF。又 AD⊥AF,所以四边形 ADEF 为正方形。 因为 BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故 BC⊥平面 DEF,因此平面 BCD⊥平面 DEF。 连接 AE、DF,设 AE∩DF=H,则 EH⊥DF,EH⊥平面 BCD。 连接 CH,则∠ECH 为 与平面 BCD 所成的角。 因 ADEF 为正方形,AD= ,故 EH=1,又 EC= =2, 所以∠ECH=300,即 与平面 BCD 所成的角为 300. 解法二: 2 3sin 4B = 3sin 2B = 3sin 2B = − 3 π 2 3 π 2b ac= ab ≤ cb ≤ 3 π 1 2 1B B 1BCC 1BCC 2 3 2 2 2 AB AD AG BD⋅ = ⋅ 2 22 . 2 3 AD + 2 1B C 2 1 1 2 B C 1B C (Ⅰ)以 A 为坐标原点,射线 AB 为 x 轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系 A—xyz。 设 B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则 (1,0,2c),E( , ,c). 于是 =( , ,0), =(-1,b,0).由 DE⊥平面 知 DE⊥BC, =0,求 得 b=1,所以 AB=AC。 (Ⅱ)设平面 BCD 的法向量 则 又 =(-1,1, 0), =(-1,0,c),故 令 x=1, 则 y=1, z= , =(1,1, ). 又平面 的法向量 =(0,1,0) 由二面角 为 60°知, =60°, 故 °,求得 于是 , , ° 所以 与平面 所成的角为 30° (20)解: (I)由于甲、乙两组各有 10 名工人,根据分层抽样原理,要从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核,则从每组各抽取 2 名工人。 (II)记 表示事件:从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人,则 (III) 表示事件:从甲组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人, 表示事件:从乙组抽取的 2 名工人中恰有 名男工人, 表示事件:抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人。 1B 1 2 2 b DE → 1 2 2 b BC → 1BCC DE BC → → ⋅ ( , , ),AN x y z → = 0, 0.AN BC AN BD → → → → ⋅ = ⋅ = BC → 0=+− yx BD → 0=+− czx 1 c AN → 1 c ABD AC CBDA −− ACAN, 60cos⋅⋅=⋅ ACANACAN 2 1c = ),,( 211=AN ),, 211(1 −=CB 2 1cos 1 1 1 = ⋅ ⋅= CBAN CBANCBAN, 601 =CBAN, CB1 BCD A 15 8)( 2 10 1 6 1 4 == C CCAP iA i 210 ,,=i jB j 210j ,,= B 与 独立, ,且 故 (21)解: (I) 由 知,当 时, ,故 在区间 是增函数; 当 时, ,故 在区间 是减函数; 当 时, ,故 在区间 是增函数。 综上,当 时, 在区间 和 是增函数,在区间 是减函 数。 (II)由(I)知,当 时, 在 或 处取得最小值。 由假设知 即 解得 1a 2′ xf )(xf )2,(−∞ ax 22 << 0)( <′ xf )(xf )2,2( a ax 2> 0)( >′ xf )(xf ),2( +∞a 1>a )(xf )2,(−∞ ),2( +∞a )2,2( a 0≥x )(xf ax 2= 0=x aaaaaaaf 2424)2)(1()2(3 1)2( 23 +⋅++−= aaa 2443 4 23 ++−= af 24)0( =    > > > ,0)0( ,0)2( 1 f af a       > >−+− > .024 ,0)6)(3(3 4 ,1 a aaa a a ( ),0,cF l Ocyx ,0=−− l 故 , 由 得 , = (Ⅱ)C 上存在点 ,使得当 绕 转到某一位置时,有 成立。 由 (Ⅰ)知 C 的方程为 + =6. 设 (ⅰ)  C 成立的充要条件是 , 且 整理得 故 ① 将 于是 , = , 代入①解得, ,此时 于是 = , 即 因此, 当 时, , ; 22 00 cc =−− 2 2 2 =c 1=c 3 3== a ce 3=a 22 cab −= 2 P l F OBOAOP += 22x 23y ).,(),,( 2211 yxByxA )1( −= xkylxl 的方程为轴时,设不垂直当 OBOAOPP +=使上的点 )点的坐标为( 2121 , yyxxP ++ 6)(3)(2 2 21 2 21 =+++ yyxx 6643232 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 =+++++ yyxxyxyx 632,632 2 2 2 2 2 1 2 1 =+=+ yxyxCBA 上,即在、又 0332 2121 =++ yyxx 并化简得代入 ,632)1( 22 =+−= yxxky 0636)32( 2222 =−+−+ kxkxk 2 2 21 32 6 k kxx +=+ 21xx 2 2 32 63 k k + − 2 2 21 2 21 32 4)2)(1( k kxxkyy + −=−−= 22 =k 2 3 21 =+ xx )2( 2121 −+=+ xxkyy 2 k− )2,2 3( kP − 2−=k )2 2,2 3(P 022 =−+ yxl的方程为 当 时, , 。 (ⅱ)当 垂直于 轴时,由 知,C 上不存在点 P 使 成立。 综上,C 上存在点 使 成立,此时 的方程为 2=k )2 2,2 3( −P 022 =−− yxl的方程为 l x )0,2(=+ OBOA OBOAOP += )2 2,2 3( ±P OBOAOP += l 022 =−± yx