高考数学总复习系列——高中数学必修四 16页

‎2011高考数学复习必修4‎ 第一章 基本初等函数II 一、基础知识（理解去记）‎ 定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。‎ 定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=,其中r是圆的半径。‎ 定义3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函数sinα=,余弦函数cosα=,正切函数tanα=，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数cscα=‎ 定理1 同角三角函数的基本关系式：‎ 倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；‎ 商数关系：tanα=；‎ 乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；‎ 平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.‎ 定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin=cosα, cos=sinα, tan=cotα（记法：奇变偶不变，符号看象限）。‎ 定理3（根据图像去记） 正弦函数的性质：根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区间上为增函数，在区间上为减函数，最小正周期为2. 奇偶数. 有界性：当且仅当x=2kx+时，y取最大值1，当且仅当x=3k-时, y取最小值-1。对称性：直线x=k+均为其对称轴，点（k, 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里k∈Z.‎ 定理4 （根据图像去记） 余弦函数的性质：根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点均为其对称中心。有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ-π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。这里k∈Z.‎ 定理5 （根据图像去记） 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(xkπ+)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+，0）均为其对称中心。‎ 定理6 两角和与差的基本关系式：cos(αβ)=cosαcosβsinαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ; tan(αβ)=‎ 定理7 和差化积与积化和差公式:‎ sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2sincos,‎ cosα+cosβ=2coscos, cosα-cosβ=-2sinsin,‎ sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],‎ cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].‎ 口诀记忆：‎ 积化和差：前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后为和，正后为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦 定理8 倍角公式（常考）:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, ‎ tan2α=‎ 定理9 半角公式:sin=,cos=,‎ tan==‎ 定理10 万能公式: , ,‎ 定理11 ****【必考】辅助角公式：如果a, b是实数且a2+b20，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β，则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.‎ asinα+bcosα=sin(α+β).‎ 定理12 正弦定理：在任意△ABC中有，其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。‎ 定理13 余弦定理：在任意△ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分别是角A，B，C的对边。‎ 定理14 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+)的图象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=sin()的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(>0)的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(x+)(, >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移个单位得到y=Asinx的图象。‎ 定义4 函数y=sinx的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数y=tanx的反函数叫反正切函数。记作y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).‎ 定理15 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa, k∈Z}. 如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.‎ 定理16 若，则sinx-1，所以cos，‎ 所以sin(cosx) ≤0,又00，‎ 所以cos(sinx)>sin(cosx).‎ 若，则因为sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)≤<，‎ 所以0cos(-cosx)=sin(cosx).‎ 综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)0，求证：‎ ‎【证明】 若α+β>，则x>0，由α>-β>0得cosαsin(-β)=cosβ, 所以0<<1，‎ 所以 ‎ 若α+β<，则x<0，由0<α<-β<得cosα>cos(-β)=sinβ>0,‎ 所以>1。又01，‎ 所以，得证。‎ 注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。‎ ‎3．最小正周期的确定。‎ 例4 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。‎ ‎【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，当且仅当x=kπ+时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,‎ 所以若最小正周期为T0，则T0=mπ, m∈N+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cosπ)，所以T0=2π。‎ ‎4．三角最值问题。‎ 例5 已知函数y=sinx+，求函数的最大值与最小值。‎ ‎【解法一】 令sinx=,‎ 则有y=‎ 因为，所以，‎ 所以≤1，‎ 所以当，即x=2kπ-(k∈Z)时，ymin=0，‎ 当，即x=2kπ+(k∈Z)时，ymax=2.‎ 例6 设0<<π，求sin的最大值。‎ ‎【解】因为0<<π，所以，所以sin>0, cos>0.‎ 所以sin（1+cos）=2sin·cos2= ≤=‎ 当且仅当2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan时，sin(1+cos)取得最大值。‎ 例7 若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。‎ ‎【解】 因为sinA+sinB=2sincos, ①‎ sinC+sin, ②‎ 又因为，③‎ 由①，②，③得sinA+sinB+sinC+sin≤4sin,‎ 所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,‎ 当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）max=.‎ 注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。‎ ‎5．换元法的使用。‎ 例8 求的值域。‎ ‎【解】 设t=sinx+cosx=‎ 因为 所以 又因为t2=1+2sinxcosx,‎ 所以sinxcosx=，所以，‎ 所以 因为t-1，所以，所以y-1.‎ 所以函数值域为 例9 已知a0=1, an=(n∈N+)，求证：an>.‎ ‎【证明】 由题设an>0，令an=tanan, an∈，则 an=‎ 因为，an∈，所以an=，所以an=‎ 又因为a0=tana1=1，所以a0=，所以·。‎ 又因为当0x，所以 注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。‎ 另外当x∈时，有tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。‎ ‎6．图象变换【常考】：y=sinx(x∈R)与y=Asin(x+)(A, , >0).‎ 由y=sinx的图象向左平移个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，然后再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到y=Asin(x+)的图象；也可以由y=sinx的图象先保持横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的，最后向左平移个单位，得到y=Asin(x+)的图象。‎ 例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(>0, 0≤≤π)是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值。‎ ‎【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，对任意x∈R成立。‎ 又0≤≤π，解得=，‎ 因为f(x)图象关于对称，所以=0。‎ 取x=0，得=0，所以sin 所以(k∈Z)，即=(2k+1) (k∈Z).‎ 又>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；‎ 取k=1时，=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；‎ 取k=2时，≥，此时f(x)=sin(x+)在[0，]上不是单调函数，‎ 综上，=或2。‎ ‎7．三角公式的应用。‎ 例11 已知sin(α-β)=，sin(α+β)=- ，且α-β∈，α+β∈，求sin2α,cos2β的值。‎ ‎【解】 因为α-β∈，所以cos(α-β)=-‎ 又因为α+β∈，所以cos(α+β)=‎ 所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,‎ cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.‎ 例12 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且，试求的值。‎ ‎【解】 因为A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，‎ 又由于 ‎=，‎ 所以=0。‎ 解得或。‎ 又>0，所以。‎ 例13 求证：tan20+4cos70.‎ ‎【解】 tan20+4cos70=+4sin20‎ 三、趋近高考（必懂）‎ ‎1.（四川省成都市2010届高三第三次诊断理科）计算cot15°－tan15°的结果是( ) (A) (B) (C)3 (D)2 　【答案】D ‎2.（成都2010届高三第三次诊断文科）计算cos45°cos15°－sin45°cos75°的结果是( ) (A) (B) (C) (D)1 【答案】C ‎【解析】cos45°cos15°－sin45°cos75° ＝cos45°cos15°－sin45°sin15° ＝cos(45°＋15°) ＝cos60° ＝ 3. （成都2010届高三第三次诊断文科）先把函数f(x)＝sinx－cosx的图象按向量a＝(，0)平移得到曲线y＝g(x)，再把曲线y＝g(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保持不变，得到曲线y＝h(x)，则曲线y＝h(x)的函数表达式为( ) ‎ ‎ (A)h(x)＝sin(x－) (B)h(x)＝sinx (C)h(x)＝4sin (x－) (D)h (x)＝4sinx 【答案】A ‎【解析】f(x)＝2sin(x－)， 按向量a＝(，0)平移后，得到曲线y＝g(x) ＝2sin(x－) 再把纵坐标缩短到原来的倍，横坐标保持不变，得到曲线y＝h(x)＝sin(x－) 4. （成都2010届高三第三次诊断理科）已知sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝，则cos2β的值为________________. 【答案】‎ ‎【解析】因为sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ‎ ＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ＝ 于是cos2β＝1－2sin22β＝1－‎ ‎6.(绵阳2010年4月高三三诊理科试题) （本小题满分12分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若A、B、C成等差数列，b=1，记角A=x，a+c=f (x)．‎ ‎（Ⅰ）当x∈[，]时，求f (x)的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，求sin2x的值．‎ 解：（I）由已知 A、B、C成等差数列，得2B=A+C，‎ ‎∵ 在△ABC中， A+B+C=π，于是解得，．‎ ‎∵ 在△ABC中，，b=1，‎ ‎∴ ‎ ‎，‎ 即 ． …………………………………………………………6分 由≤x≤得≤x+≤，于是≤≤2，‎ 即f (x)的取值范围为[，2] ． ………………………………………………8分 ‎（Ⅱ）∵，即．‎ ‎∴ ． ……………………………………………………9分 若，此时由知x>，这与矛盾．‎ ‎∴ x为锐角，故． ……………………………………………………11分 ‎∴ ．……………………………………………………12分 ‎7．（雅安2010届高三第三次诊断性考试理科）‎ ‎（本题满分12分）‎ ‎ 三角形的三内角所对边的长分别为，设向量，‎ ‎，若。‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)求的取值范围。‎ ‎8．（自贡2010届高三三诊理科试题）（本小题满分12分）‎ ‎ 如图4，已知△ABC中，，∠ABC=120°，∠BAC=，记。‎ ‎ （I）求关于的表达式；‎ ‎ （II）求的值域。‎ 解：（Ⅰ），由正弦定理有： ＝ …………(2分)‎ ‎ ∴ , …………(4分)‎ ‎∴ 　　‎ ‎　 ‎ ‎＝＝ 　‎ ‎＝　　　　　　…………(8分)‎ ‎　　 　(Ⅱ)　 => ,‎ ‎∴ ∴　　 ………（12分）‎ ‎9.（南充2010届高三4月月考理科试题）（本小题满分12分） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，．‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ 解：（1）由 ‎ ∴ 4cos‎2C－4cosC＋１＝０‎ 解得　 ∴ C＝60°‎ ‎（2）由余弦定理得C2＝a2＋b2－2ab cos C 即 7＝a2＋b2－ab ①‎ 又a＋b＝5 ∴a2＋b2＋2ab＝25 ②‎ 由①②得ab＝6‎ ‎∴ S△ABC＝‎ ‎10．（资阳2009—2010学年度高三第三次高考模拟理）（本小题满分12分）‎ 在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ 解：（Ⅰ）在终边l上取一点，则， 2分 ‎∴ ． 4分 ‎（Ⅱ） 8分 ‎． 12分 ‎11.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次统考文科试题）（12分）在中，‎ 角所对的边分别是，.‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求面积的最大值.‎ 解：（Ⅰ）由余弦定理：‎ ‎（Ⅱ）由 ∵， ‎ ‎∴，从而 故（当且仅当时取等号）‎ ‎12．(成都石室中学2010届高三三诊模拟理科)‎ ‎（12分）‎ 已知中，‎ ‎ （I）求角A的大小；‎ ‎ （II）若BC=3，求周长的取值范围。‎ 解：（I）‎ 得代入已知条件得 ‎，由此得 …………6分 ‎ （II）由上可知：‎ 由正弦定理得：‎ 即得：‎ ‎，‎ 周长的取值范围为 ‎ …………12分5_u.c o*m 平面向量全章复习 ‎【教学目标】‎ 复习平面向量的概念，向量的加法、减法、数乘、向量共线定理、平面向量基本定理，平面向量坐标表示．向量的数量积、数量积的坐标表示，向量的应用。‎ 本章知识框架 向量的定义 向量的表示 向量间的关系 向量 相等向量 相反向量 共线向量 符号表示 几何表示 基底表示 坐标表示 向量的运算 加法 减法 数乘 向量的应用 数量积 平行与共线 长度 夹角 垂直 一．基本知识点回顾 ‎1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．‎ ‎2．向量的表示：①用有向线段表示；用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．②用字母a、b（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：；‎ ‎3．向量的长度：向量的大小称为向量的长度（或称为模），记作．‎ 说明：(1)不能说向量就是有向线段；向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段．‎ ‎(2)向量不同于数量．数量之间可以比较大小，向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此“大于”、“小于”对向量来说是没有意义的．‎ ‎(3)向量的模（是正数或零）可以比较大小．‎ ‎4．几组特殊的向量：①零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0或．‎ 说明：零向量的方向不确定，是任意的，有无穷多个．规定所有的零向量都相等．‎ ‎②单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．‎ ‎③平行向量（即共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．记作．‎ 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系．（3）规定：零向量与任意向量平行．‎ ‎④相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若与相等，记作．‎ ‎⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量叫做相反向量．向量的相反向量记为．‎ ‎5．向量加法的概念：已知向量和，在平面内任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即．求两个向量和的运算叫做向量的加法．‎ ‎①规定：，，即；②向量加法的三角形法则：在使用三角形法则求和时，必须要求向量首位相连，和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段所表示的向量；③向量加法的平行四边形法则：‎ 说明：(1)求和向量必须共起点．(2)向量加法的平行四边形法则，只适合于对两个不共线向量相加，两个共线向量相加，仍用三角形法则．‎ ‎6．向量加法的运算律：交换律：；结合律：．‎ ‎7．向量减法的有关概念:若，则向量叫做与的差，记作，求两个向量差的运算，叫做向量的减法．‎ ‎8．向量减法的作图方法:在平面内任取一点，作，，则，即表示从向量的终点指向被减向量的终点的向量．‎ ‎9．向量的数乘的定义：一般的，实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）；(2 ) 当>0时，与方向相同，当<0时，与，方向相反，当＝0时，＝．实数与向量相乘，叫做向量的数乘．‎ ‎10．向量数乘的运算律：（1） (结合律)；‎ ‎（2） (分配律)；（3） (分配律)．‎ ‎11．向量共线定理：一般地，对于两个向量（），，如果有一个实数，使得，那么与是共线向量，反之，如果与（）是共线向量，那么有且只有一个实数，使得．‎ ‎12．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使=+．我们把不共线的向量，叫做表示这个平面内所有向量的一组基底．‎ ‎13．向量的坐标表示：在直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任取一个向量a，有且只有一对实数x、y，使得a=xi+yj ①，则把（x，y）叫做向量的直角坐标，记作：a=(x，y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，②式为向量的坐标表示．‎ ‎14．向量坐标运算：已知，，，，．两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差），实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．‎ ‎15．共线向量坐标表示的一般性结论：设a，b（a≠０），如果a∥b，那么 ‎；反过来，如果，那么a∥b．‎ 结论（简单表示）：向量与共线．‎ ‎16.向量的夹角：对于两个非零向量和，作=，=，则（0°≤θ≤180°）叫做向量和的夹角．特别地，当θ=0°时，a与b同向；当θ=180°时，a与b反向；当θ=90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b．‎ ‎17. 平面向量数量积：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积（或内积）（scalar product of vectors），记作a·b，即：a·b=|a||b|cosθ．‎ 我们规定：零向量与任一向量的数量积为0．‎ 向量数量积模的性质：当a与b 同向时，a·b=|a||b|；当a与b 反向时，a·b=－|a||b|．‎ 特别地，a·a=|a|2或|a|= ．‎ 向量数量积的运算律：设向量a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：‎ ‎（1）a·b=b·a；（交换律）； （2）（λa）·b=a·（λb）=λ（a·b）=λa·b；（结合律）；‎ ‎（3）（a+b）·c=a·c+b·c．（分配律）。‎ ‎18.平面向量数量积的坐标表示：若两个向量为a= (x1,y1)，b= (x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2．‎ 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．‎ 推论及公式：‎ l 设a=（x，y），则a2=x2+y2，即|a|=．‎ l 两点A（x1，y1），B（x2，y2）间的距离公式为AB = ．‎ l a=(x1,y1)，b= (x2,y2)，它们的夹角为θ，则有 l ‎=0．‎ ‎19.请写出向量有关运算（加、减、数乘、数量积等）的几何意义与物理学原型：‎ 向量运算/定理/定义 几何意义 物理学原型 相反向量：-a 作用力与反作用力 加法：a + b 三角形法则（平行四边形法则）‎ 位移的合成、力的合成 减法：a - b 三角形法则（减法是加法的逆运算）‎ 数乘：λa 共线向量（b = λa (a¹0)Û b//a）‎ 位移=速度×时间 平面向量基本定理 力的分解 数量积： a·b = |a| |b| cosθ 功 二．典型例题分析 例1. 在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?‎ 例1. ‎ 化简：‎ ‎（1）______；（2）_____；（3）_____．‎ 例2. 若=3e1,=－5e1,且||=||，判断四边形ABCD的形状．‎ 例3. 若，则__________．‎ 例4. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10－y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____________,y=_____________．‎ 例5. 向量，且与的方向相同，则的取值范围是 ．‎ 例6. 已知=(-1，2)，=(3，m)，若⊥，则m的值为__________．‎ 例7. 已知点在内，且，设，其中，则等于__________.‎ 例8. 已知向量则的坐标是_____．‎ 例9. 已知平面内三点，则x的值为_______．‎ 例10. 设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标．‎ 例11. 已知垂直，求实数k的值．‎ 例12. 已知|p|=，|q|=3，p、q的夹角为45°，求以a=5p+2q，b=p－3q为邻边的平行四边形过a、b起点的对角线长．‎ 例13. 设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知（试判断△ABC的形状．‎ 例14. 已知||=3 ，||=4， (且与不共线)， 当且仅当k为何值时， 向量+k与－k互相垂直?‎ 例15. 已知向量a、b满足．‎ 例16. 若向量，满足且与的夹角为，则________．‎ 例17. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，－1），且·=2，则·等于________．‎ 例18. ‎△ABC中，，，，则______（答：－9）‎ 例19. 已知点，，若，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上（答：）；‎ 例20. 已知，，，且，则x＝______（答：4）；‎ 例21. 已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量AD的坐标．‎ 例1. 已知a、b都是非零向量，且a＋3b与‎7a－5b垂直，a－4b与‎7a－2b垂直，求a与b的夹角．‎ 例2. 把一个函数图像按向量平移后，得到的图象的表达式为，则原函数的解析式为 ．（ ）‎ 例3. 设向量与的夹角为，，，则_______．()‎ 例4. 设向量，向量垂直于向量，向量平行于，试求的坐标．‎ 例5. 已知若存在不为零的实数和角，使得，且，试求实数的取值范围．‎ 例6. 已知M＝(1+cos2x，1)，N＝(1，sin2x+a)(x，a∈R，a是常数)，且y=· (O是坐标原点)⑴求y关于x的函数关系式y=f(x)；⑵若x∈[0，]，f(x)的最大值为4，求a的值，并说明此时f(x)的图象可由y=2sin(x+)的图象经过怎样的变换而得到．‎ 例7. 已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中 ＝（1，2）。‎ ‎⑴若||，且，求的坐标；‎ ‎⑵若||=且与垂直，求与的夹角θ.‎ 例8. 平面内向量，，)，点X为直线OP上动点.‎ ‎①当取最小值时，求的向量坐标.‎ ‎②当点X满足①中条件和结论时，求cos∠AXB的值