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- 2021-05-13 发布
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高考数学必做 36 道压轴题答案（解析几何部分）
1-1 解：（Ⅰ）设双曲线的方程是 （ ， ），
则由于离心率 ，所以 ， ．
从而双曲线的方程为 ，且其右焦点为 （ ，0）．
把直线 的方程 代入双曲线的方程，消去 并整理，得
．
设 ， ，则 ， ．
由弦长公式，得 =6．
所以 ， ．
从而双曲线的方程是 ．
（Ⅱ）由 和 ，消去 ，得 ．
根据条件，得 且 ．
所以 ．
设 ， ，则 ， ．
由于以线段 为直径的圆过原点，所以 ．
即 ．
从而有 ，即 ．
所以 点 到直线 ： 的距离为
．
2 2( , )x y
12
2
2
2
=−
b
y
a
x 0>a 0>b
2==
a
ce ac 2= 22 3ab =
13 2
2
2
2
=−
a
y
a
x F a2
MN axy 2−= y
0742 22 =−+ aaxx
M 1 1( , )x y N axx 221 −=+ 2
21 2
7 axx −=
21
2
21 4)(2|| xxxxMN −+⋅= )2
7(4)2(2 22 aa −−−⋅=
1=a 33 22 == ab
13
2
2 =− yx
mkxy += 13
2
2 =− yx y 032)3( 222 =−−−− mkmxxk
0)3)(3(44 2222 >−−−−=∆ mkmk 03 2 ≠− k
33 22 ≠>+ km
A ),( 33 yx B ),( 44 yx 243 3
2
k
kmxx −=+
3
3
2
2
43 −
+=
k
mxx
AB 04343 =+ yyxx
0)()1( 2
4343
2 =++++ mxxkmxxk
03
2
3
3)1( 2
22
2
2 =+−⋅+−
+⋅+ mk
kmkmk
mk 22
3
21 mk =+
Q l mkxy +=
|11|2
6
3
2
|1|
1
|1|
2
2 mm
m
k
md +=+=
+
+=
由 ≥ ，解得 且 ．
由 ，解得 ．
所以当 时， 取最大值 ，此时 ．
因此 的最大值为 ，此时直线 的方程是 ．
1-2 解：（Ⅰ）设焦距为 ，由已知可得 到直线 的距离 ，即
所以椭圆 的焦距为 4．
（Ⅱ）设 ，由题意知 ， ，且直线 的方程为
联立 得 ，
解得 .
因为 ，所以 ，
即 ,
得 ．而 ，所以 ．
故椭圆 的方程为
2-1 解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 , ，即 ， ．
（Ⅱ）解法 1：
由（1）知 两点分别为 ， ，由题意可设 ．
那么线段 中点为 ，设 ．
13
2 22 −= mk 0 3
61
3
6 ≤≤−
m 01 ≠
m
13
2 22 −= mk 3≠ ≠
m
1
6
6±
2
6=m d 2
26)3
61(2
6 +=+ 0=k
d 2
26 +
l 2
6=y
2c 1F l 3 2 3c = 2c =
C
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 0y < 2 0y > l 3( 2).y x= −
2 2
2 2
3( 2),
1
y x
x y
a b
= − + =
2 2 2 2 4(3 ) 4 3 3 0a b y b y b+ − − =
2 2
1 22 2 2 2
3 (2 2 ) 3 (2 2 ),3 3
b a b ay ya b a b
− + − −= =+ +
2 22AF F B=
1 22y y− =
2 2
2 2 2 2
3 (2 2 ) 3 (2 2 )23 3
b a b a
a b a b
+ − −= ⋅+ +
3a = 2 2 4a b− = 5b =
C
2 2
1.9 5
x y+ =
3
3
ce a
= =
2 2 2
2
2 2
1
3
c a be a a
−= = =
2
2
2
3
b
a
= 2 2
1 1
b = =
+
2 2b = 2 3a = 3a = 2b =
1 2,F F ( 1,0)− (1,0) (1, )P t
1PF (0, )2
tN ( , )M x y
由于 ， ，
则
消去参数 ，得 ,其轨迹为抛物线．
解法 2：如图，因为 是线段 垂直平分线 上 的
点，
所以 ，即动点 到定点 的距 离 与
的定直线 的距离相等，
由抛物线的定义知，动点 的轨迹是以定点 ，
以 定 直 线 为 准 线 的 抛 物 线 ， 易 得 其 方 程 是
．
2-2 解：（Ⅰ）设动点 的坐标为 ，依题意可知 ，
整理得 ．
所以动点 的轨迹 的方程为 ．
（II）当直线 的斜率不存在时，满足条件的点 的纵坐标为 ．
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
将 代入 并整理得，
． ．
设 ， ，则 ， ．
设 的中点为 ，则 ， ，
所以 ．
( , )2
tMN x y= − −
1( 2, )PF t− −
1
,
2 ( ),2
y t
tMN PF x t y
= ⋅ = + −
t 2 4y x= −
M 1PF
1| | | |MP MF= M 1F
1l
M 1F
1l
2 4y x= −
E ( , )x y 1
22 2
y y
x x
⋅ = −
+ −
2
2 1( 2)2
x y x+ = ≠ ±
E C
2
2 1( 2)2
x y x+ = ≠ ±
l P 0
l l ( 1)y k x= −
( 1)y k x= −
2
2 12
x y+ =
2 2 2 2(2 1) 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 28 8 0k∆ = + >
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
2
1 2 2
4
2 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
2 2
2 1
kx x k
−= +
MN Q
2
2
2
2 1Q
kx k
= + 2( 1) 2 1Q Q
ky k x k
= − = − +
2
2 2
2( , )2 1 2 1
k kQ k k
−+ +
M
N
F2F1 O
P
由题意可知 ，
又直线 的垂直平分线的方程为 ．
令 解得 ．
当 时，因为 ，所以 ；
当 时，因为 ，所以 ．
综上所述，点 纵坐标的取值范围是 ．
3-1 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知，动点 P 的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 的椭圆．
所以 ， ， ． 所以 W 的方程是 ．
（Ⅱ）设 C，D 两点坐标分别为 、 ，C，D 中点为 ．
当 时，显然 ；
当 时，
由 得 ．
所以 ， 所以 ，
从而 ．
所以 斜率 ．
又因为 ， 所以 ，
所以 ，
0k ≠
MN
2
2 2
1 2( )2 1 2 1
k ky xk k k
+ = − −+ +
0x =
2
1
12 1 2
P
ky k k k
= =+ +
0k > 12 2 2k k
+ ≥ 1 20 42 2Py< ≤ =
0k < 12 2 2k k
+ ≤ − 1 20 42 2Py> ≥ − = −
P 2 2[ , ]4 4
−
2 3
1c = 3a = 2 2b =
2 2
13 2
x y+ =
1 1( , )C x y 2 2( , )D x y 0 0( , )N x y
0k = 0m =
0k ≠
2 2
1,
13 2
y kx
x y
= + + =
2 2(3 2) 6 3 0k x kx+ + − =
1 2 2
6
3 2
kx x k
+ = − +
1 2
0 2
3
2 3 2
x x kx k
+= = − +
0 0 2
21 3 2y kx k
= + = +
MN
20
0
2
2
3 2
3
3 2
MN
y kk kx m mk
+= =− − −+
CM DM= CD MN⊥
2
2
2
13 2
3
3 2
k
k kmk
+ = −
− −+
即 ．
故所求 的取范围是 ．
3-2 解：（Ⅰ）依题意， ， ，
所以 ．
故椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）①当直线 的斜率不存在时，由 解得 ．
不妨设 ， ，
因为 ，又 ，所以 ，
所以 的关系式为 ，即 ．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ．
将 代入 整理化简得， ．
设 ， ，则 , ．
又 ， ．
所以
2
1
23 2 3
km k k k
= − = −+ +
6 6[ ,0) (0, ]12 12
∈ −
m 6 6[ , ]12 12
−
2c = 1b =
2 2 3a b c= + =
C
2
2 13
x y+ =
l 2
2
1,
13
x
x y
= + =
61, 3x y= = ±
6(1, )3A 6(1, )3B −
1 3
6 62 23 3 22 2k k
− +
+ = + = 1 3 22k k k+ = 2 1k =
,m n 2 13
n
m
− =− 1 0m n− − =
l l ( 1)y k x= −
( 1)y k x= −
2
2 13
x y+ = 2 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x k x k+ − + − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2
1 2 2
6
3 1
kx x k
+ = +
2
1 2 2
3 3
3 1
kx x k
−= +
1 1( 1)y k x= − 2 2( 1)y k x= −
1 2 1 2 2 1
1 3
1 2 1 2
2 2 (2 )(3 ) (2 )(3 )
3 3 (3 )(3 )
y y y x y xk k x x x x
− − − − + − −+ = + =− − − −
1 2 2 1
1 2 1 2
[2 ( 1)](3 ) [2 ( 1)](3 )
3( ) 9
k x x k x x
x x x x
− − − + − − −= − + +
1 2 1 2
1 2 1 2
2 (4 2)( ) 6 12
3( ) 9
kx x k x x k
x x x x
− + + + += − + +
所以 ，所以 ，所以 的关系式为 ．
综上所述， 的关系式为 ．
4-1 解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为 a，c，
由已知得， 解得 a=4，c=3．
所以椭圆 C 的方程为
（Ⅱ）设 M（x，y），P(x， )，其中
由已知得
因为 ，
所以
由点 P 在椭圆 C 上得， ，
化简得 ．
所以点 M 的轨迹方程为 ，
轨迹是两条平行于 x 轴的线段．
4-2（Ⅰ）解：因为 A, B 两点关于 x 轴对称，
所以 AB 边所在直线与 y 轴平行．
设 M(x, y)，由题意，得 ，
2 2
2 2
2 2
2 2
3 3 62 (4 2) 6 123 1 3 1
3 3 63 93 1 3 1
k kk k kk k
k k
k k
−× − + × + ++ += − − × ++ +
2
2
2(12 6) 2.12 6
k
k
+= =+
22 2k = 2
2 13
nk m
−= =− ,m n 1 0m n− − =
,m n 1 0m n− − =
1,
7.
a c
a c
− =
+ =
2 2
1.16 7
x y+ =
1y [ ]4,4 .x∈ −
2 2
21
2 2 .x y ex y
+ =+
3
4e =
2 2 2 2
116( ) 9( ).x y x y+ = +
2
2
1
112 7
16
xy
−=
29 112y =
4 7 ( 4 4)3y x= ± − ≤ ≤
( , 3 ), ( , 3 )A x x B x x-
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以点 M 的轨迹 W 的方程为 ．
（Ⅱ）证明：设 ，
因为曲线 关于 x 轴对称，
所以只要证明“点 M 在 x 轴上方及 x 轴上时， ”成立即可．
以下给出“当 时， ” 的证明过程．
因为点 M 在 上，所以 ．
当 x0=2 时，由点 M 在 W 上，得点 ，
此时 ，
所以 ，则 ；
当 时，直线 PM、QM 的斜率分别为 ，
因为 ，所以 ，且 ，
又 ，所以 ，且 ，
所以 ，
因为点 M 在 W 上，所以 ，即 ，
所以 ，
| | 3 , | | 3AM x y MB y x= − = +
| | | | 3AM MB× =
( 3 ) ( 3 ) 3x y y x− × + = 2
2 13
yx − =
2
2 1( 0)3
yx x− = >
0 0 0( , ) ( 0)M x y x >
2
2 1( 0)3
yx x− = >
2MQP MPQ∠ = ∠
0 0y ≥ 2MQP MPQ∠ = ∠
2
2 1( 0)3
yx x− = > 0 1x ≥
(2,3)M
, | | 3, | | 3MQ PQ MQ PQ⊥ = =
,4 2MPQ MQP
π π∠ = ∠ = 2MQP MPQ∠ = ∠
0 2x ¹ 0 0
0 0
,1 2PM QM
y yk kx x
= =+ −
0 0 01, 2, 0x x y≥ ≠ ≥ 0
0
01PM
yk x
= ≥+
0
0
11PM
yk x
= ≠+
tan PMMPQ k∠ = (0, )2MPQ
π∠ ∈
4MPQ
π∠ ≠
2
2tantan 2 1 (tan )
MPQMPQ MPQ
∠∠ = − ∠
0
0 0 0
2 2
20 0 0
0
2 1 2 ( 1)
( 1)1 ( )1
y
x y x
y x y
x
× + += = + −− +
2
2 0
0 13
yx − = 2 2
0 03 3y x= −
tan 2 MPQ∠ 0 0 0
2 2
0 0 0
2 ( 1)
( 1) (3 3) 2
y x y
x x x
+= = −+ − − −
因为 ，
所以 ，
在 中，因为 ，且 ， ，
所以 ．
综上，得当 时， ．
所以对于轨迹 W 的任意一点 M， 成立．
5-1 解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点 到焦点 的距离与到准线距离相等，
即 到 的距离为 3；
所以 ，解得 ．
所以 抛物线 的方程为 ．
（ⅱ）抛物线焦点 ，抛物线准线与 y 轴交点为 ，
显然过点 的抛物线的切线斜率存在，设为 ，切线方程为 ．
由 ， 消 y 得 ，
，解得 ．
所以切线方程为 ．
（Ⅱ）直线 的斜率显然存在，设 ： ，
设 ， ，
由 消 y 得 ． 且 ．
所以 ， ；
因为 ， 所以 直线 ： ，
tan QMMQP k∠ = −
tan tan 2MQP MPQ∠ = ∠
MPQ∆ (0, )2MPQ
π∠ ∈
4MPQ
π∠ ≠ (0, )MQP π∠ ∈
2MQP MPQ∠ = ∠
0 0y ≥ 2MQP MPQ∠ = ∠
2MQP MPQ∠ = ∠
( ,2)M m F
( ,2)M m 2
py = −
2 32
p− + = 2p =
P 2 4x y=
(0,1)F (0, 1)E −
E k 1y kx= −
2 4
1
x y
y kx
=
= −
2 4 4 0x kx− + =
216 16 0k∆ = − = 1k = ±
1y x= ± −
l l 2
py kx= +
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y
2 2
2
x py
py kx
= = +
2 22 0x pkx p− − = 0∆ >
1 2 2x x pk+ = 2
1 2x x p⋅ = −
1 1( , )A x y OA 1
1
yy xx
=
与 联立可得 ， 同理得 ．
因为 焦点 ，
所以 ， ，
所以
所以 以 为直径的圆过焦点 ．
5-2 解 ： （ Ⅰ ） 如 图 ， 由 题 意 得 ，
．
所以 ， ．
所以所求的椭圆方程为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知， （ ，0）， （2， 0）．
由题意可设 ： ， （ ， ）．
， （2， ）．
由 整理
得: ．
因为 ， 所以 ．
所以 ， ．
所以 ．
即 为定值．
2
py = − 1
1
( , )2 2
px pC y
− − 2
2
( , )2 2
px pD y
− −
(0, )2
pF
1
1
( , )2
pxFC py
= − − 2
2
( , )2
pxFD py
= − −
1 2
1 2
( , ) ( , )2 2
px pxFC FD p py y
⋅ = − − ⋅ − − 2
2 21 2 1 2
1 2 1 22 2 4
px px p x xp py y y y
= + = +
2 4 4
2 2 21 2
2 2 2
1 2 1 2
0
4 2 2
p x x p pp p px x x x p
p p
= + = + = + =−
CD F
2 2 2 2b c= =
2b c= = 2a =
2 2
14 2
x y+ =
C 2− D
CM ( 2)y k x= + P 1x 1y
MD CD⊥ ∴ M 4k
2 2
14 2
( 2)
x y
y k x
+ =
= +
，
2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k+ + + − =
2
1 2
8 42 1 2
kx k
−− = +
2
1 2
2 4
1 2
kx k
−= +
1 1 2
4( 2) 1 2
ky k x k
= + = +
2
2 2
2 4 4( , )1 2 1 2
k kP k k
−
+ +
2 2
2 2 2
2 4 4 4(1 2 )2 4 41 2 1 2 1 2
k k kOM OP kk k k
− +⋅ = ⋅ + ⋅ = =+ + +
OM OP⋅
（Ⅲ）设 ，则 ．
若以 为直径的圆恒过 ， 的交点，则 ， 恒成立．
由（Ⅱ）可知 ， ．
所以 ．
即 恒成立．
所以 ．
所以存在 使得以 为直径的圆恒过直线 ， 的交点．
5-3 解：(I)直线 的方程为 ；
(II) 由 消去 ，得
． （ ）
由 ， 知 ．
设 ， ，则由（ ）式，有
由于 ， ，且 是 的中点，依题意，由 ， ，可知，
， ．
若原点在以线段 为直径的圆内，则 ，即 ．
而 ，
所以 ，即 ．
0( ,0)Q x 0 2x ≠ −
MP DP MQ MQ DP⊥ ∴ 0MQ DP⋅ =
0(2 ,4 )QM x k= − 2
2 2
8 4( , )1 2 1 2
k kDP k k
−= + +
2
0 2 2
8 4(2 ) 4 01 2 1 2
k kQM DP x kk k
−⋅ = − ⋅ + ⋅ =+ +
2
02
8 01 2
k xk
=+
0 0x =
(0,0)Q MP DP MQ
l 2 1 0x y− − =
2
2
2
2
,2
1
mx my
x ym
= +
+ =
x
2
22 1 04
my my+ + − = ∗
2
2 28( 1) 8 04
mm m∆ = − − = − + > 2 8m <
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y ∗
1 2
2
1 2
,2
1 .8 2
my y
my y
+ = −
= −
1( ,0)F c− 2 ( ,0)F c O 1 2F F 2AG GO= 2BH HO=
1 1( , )3 3
x yG 2 2( , )3 3
x yH
GH 0OG OH⋅ <
1 2 1 2 0x x y y+ <
2 2 2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
1( )( ) ( 1)( )2 2 8 2
m m mx x y y my my y y m+ = + + + = + −
2 1 08 2
m − < 2 4m <
H
G
B
F2F1
O A
又由已知 ，所以 ．
即，实数 的取值范围是 ．
5-4 解：（Ⅰ）设 P（x，y）是曲线 C 上任意一点，那么点 P（x，y）满足：
，
化简得 ．
(Ⅱ)设过点 M（m，0）（m>0）的直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B ．
设直线 l 的方程为 x=ty+m，
由 得 ，△=16（ +m）>0，
于是 ①
又 ．
= +1+ ②
又 ，于是不等式②等价于
③
由①式，不等式③等价于
④
对任意实数 t， 的最小值为 0，
所以不等式④对于一切 t 成立等价于 ，
即 ．
由此可知，存在正实数 m，对于过点 M（m，0）且与曲线 C 有两个交点 A，B 的任一直线，都有
，且 m 的取值范围 ．
1m > 1 2m< <
m (1,2)
2 2( 1) 1( 0)x y x x− + − = >
2 4 ( 0)y x x= >
1 2( , )x y 2 2( , )x y
2
,
4
x ty m
y x
= +
=
2 4 4 0y ty m− − = 2t
1 2
1 2
4 ,
4 .
y y t
y y m
+ =
= −
1 1 2 2( 1, ), ( 1, )FA x y FB x y= − = −
0FA FB⋅ <
1 2 1 2( 1)( 1)x x y y⇔ − − + 1 2 1 2( )x x x x− + 1 2 0y y <
2
4
yx =
2 2 2 2
1 2 1 2
1 2 ( ) 1 04 4 4 4
y y y yy y⋅ + − + + <
2
21 2
1 2 1 2 1 2
( ) 1 ( ) 2 1 016 4
y y y y y y y y ⇔ + − + − + <
2 26 1 4m m t− + <
24t
2 6 1 0m m− + <
3 2 2 3 2 2m− < < +
0FA FB⋅ < (3 2 2,3 2 2)− +
6-1 解：（Ⅰ）由题意，
解得 ．
即：椭圆方程为
（Ⅱ）当直线 与 轴垂直时， ，
此时 不符合题意故舍掉；
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ，
代入消去 得： ．
设 ，则
所以 ．
原点到直线的 距离 ，
所以三角形的面积 ．
由 ，
所以直线 或 ．
6-2 解：（I）椭圆 C 的方程为 ，由已知得
解得
所以所求椭圆的方程为 ．
.123
22
=+ yx
x
x )1( += xky
y
2 2 2
3 1,
2,
,
a c
b
a b c
− = −
=
= +
3, 1a c= =
AB 4
3
AB =
3AOBS∆ =
AB AB
2 2 2 2(2 3 ) 6 (3 6) 0k x k x k+ + + − =
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2
1 2 2
2
1 2 2
6 ,2 3
3 6 .2 3
kx x k
kx x k
−+ = + − = +
2
2
4 3( 1)
2 3
kAB k
+= +
AB 21
kd
k
=
+
2
22
1 1 4 3( 1)
2 2 2 31
k kS AB d kk
+= = ++
23 2 2 24S k k= ⇒ = ⇒ = ±
: 2 2 0ABl x y− + = : 2 2 0ABl x y+ + =
)0(12
2
2
2
>>=+ bab
y
a
x
2 2 2
2 ,2
2 2 2,
.
ce a
a
a b c
= =
=
= +
2, 1, 1a b c= = =
12
2
2
=+ yx
(II)由题意知 的斜率存在且不为零，
设 方程为 ①，将①代入 ，整理得
，由 得
设 ， ，则 ②
由已知， ， 则
由此可知， ，即 ，
代入②得， ，消去 得
解得， ，满足
即 ．
所以，所求直线 的方程为 ．
7-1 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为 ，由题意可得：
椭圆 C 两焦点坐标分别为 ， ．
所以 ．
所以 ，又 ，
故椭圆的方程为 ．
（Ⅱ）当直线 轴，计算得到： ，
，不符合题意．
l
l 2( 0)x my m= + ≠ 12
2
2
=+ yx
2 2( 2) 4 2 0m y my+ + + = 0>∆ 2 2.m >
),( 11 yxE ),( 22 yxF
1 2 2
1 2 2
4
2
2
2
my y m
y y m
− + = +
= +
1
2
OBE
OBF
S
S
∆
∆
= | | 1
| | 2
BE
BF
=
2BF BE=
2 12y y=
1 2
2
1 2
43 2
22 2
my m
y m
− = +
= +
1y
2
2 2 2
2 16 2
9 ( 2) 2
m
m m
⋅ =+ +
2 18
7m = 2 2.m >
3 14
7m = ±
l 7 3 14 14 0 7 3 14 14 0x y x y− − = + − =或
2 2
2 2 1,( 0)x y a ba b
+ = > >
1( 1,0)F − 2 (1,0)F
2 2 2 23 3 5 32 (1 1) ( ) (1 1) ( ) 42 2 2 2a = + + + − + = + =
2a = 1c = 2 4 1 3b = − =
2 2
14 3
x y+ =
l x⊥ 3 3( 1, ), ( 1, )2 2A B− − −
2 1 2
1 1| | | | 3 2 32 2AF BS AB F F∆ = ⋅ ⋅ = × × =
当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ，
由 ，消去 y 得 ，
显然 成立，设 ，
则
又
即 ，
又圆 的半径
所以
化简，得 ，
即 ，解得 ，
所以， ，
故圆 的方程为： ．
（Ⅱ）另解：设直线 的方程为 ，
由 ，消去 x 得 ， 恒成立，
设 ，则
所以
又圆 的半径为 ，
l x l ( 1)y k x= +
2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
= + + =
2 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x k x k+ + + − =
0∆ > 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12, ,3 4 3 4
k kx x x xk k
−+ = − ⋅ =+ +
4 2
2 2 2
1 2 1 2 2 2 2
64 4(4 12)| | 1 ( ) 4 1 (3 4 ) 3 4
k kAB k x x x x k k k
−= + ⋅ + − ⋅ = + ⋅ −+ +
2 2
2
2 2
12 1 12( 1)| | 1 3 4 3 4
k kAB k k k
+ += + ⋅ =+ +
2F 2 2
| 1 0 | 2 | | ,
1 1
k k kr
k k
× − += =
+ +
2
2 2
2 22
1 1 12( 1) 2 | | 12 | | 1 12 2| | ,2 2 3 4 3 4 71AF B
k k k kS AB r k kk
∆
+ += = × ⋅ = =+ ++
4 217 18 0k k+ − =
2 2( 1)(17 18) 0k k− + = 1k = ±
2
2 | | 2
1
kr
k
= =
+
2F 2 2( 1) 2x y− + =
l 1x ty= −
2 2
1
14 3
x ty
x y
= − + =
2 2(4 3 ) 6 9 0t y ty+ − − = 0∆ >
1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 2 1 22 2
6 9, ,4 3 4 3
ty y y yt t
+ = ⋅ = −+ +
2
2
1 2 1 2 1 2 2 2 2
36 36| | ( ) 4 (4 3 ) 4 3
ty y y y y y t t
− = + − ⋅ = ++ +
2
2
12 1 ;4 3
t
t
+= +
2F 2 2
|1 0 1| 2
1 1
tr
t t
− × += =
+ +
所以 ，解得 ，
所以 ，故圆 的方程为： ．
7-2 （Ⅰ）解 设直线 的方程为 ．
由 得， ，
依题意 ，得
．
设 ，则
， ①
． ②
由直线 的方程得 ， ．
于是 ． ③
因为 ，所以 ． ④
由①②③④得 ，从而 ．
所以直线 PQ 的方程为 或
（Ⅱ）证法 1 ．
由已知得方程组
2
2
1 2 1 2 1 2 2
1 12 1 12 2| | | | | |2 4 3 7AF B
tS F F y y y y t∆
+= ⋅ ⋅ − = − = =+
2 1t =
2
2 2
1
r
t
= =
+ 2F 2 2( 1) 2x y− + =
PQ )3( −= xky
−=
=+
)3(
,126
22
xky
yx
062718)13( 2222 =−+−+ kxkxk
0)32(12 2 >−=∆ k
3
6
3
6 <<− k
),(),,( 2211 yxQyxP
13
18
2
2
21 +=+
k
kxx
13
627
2
2
21 +
−=
k
kxx
PQ 1 1( 3)y k x= − 2 2( 3)y k x= −
]9)(3[)3)(3( 2121
2
21
2
21 ++−=−−= xxxxkxxkyy
0OP OQ⋅ = 02121 =+ yyxx
15 2 =k )3
6,3
6(5
5 −∈±=k
035 =−− yx 035 =−+ yx
),3(),,3( 2211 yxAQyxAP −=−=
=+
=+
=
−=−
.126
,126
,
),3(3
2
2
2
2
2
1
2
1
21
21
yx
yx
yy
xx
λ
λ
注意 ，解得 ．
因 ，
故
．
而 ，所以 ．
证 法 2 （ 坐 标 法 与 几 何 证 法 结 合 ） 为 使 结 论 更 具 一 般 性 ， 下 面 就 椭 圆 方 程 为
，点 的坐标为 进行证明（其中 ）．
如图，对三角形 应用梅涅劳斯定理，得
，又 ，
所以， ，
作 轴于 ，则， ，
（二维问题一维化）
设 ， ，
将上式用坐标表示，得
，
整理得， ．
（这个过程虽然复杂，但却表现出强烈的目标意识！下面的目标是非常明确的，即用解析几何的常
规方法，求出 与 ）
显然，直线 不垂直 轴，故可设直线 的方程为 ，
1>λ λ
λ
2
15
2
−=x
),(),0,2( 11 yxMF −
),1)3((),2( 1211 yxyxFM −+−=−−= λ
),2
1(),2
1( 21 yy λ
λλλ −−=−−=
2 2 2
1( 2, ) ( , )2FQ x y y
λ
λ
−= − = FM FQλ= −
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > A
2
( ,0)a
c
2 2c a b= +
PHA∆
1AQ PM HE
QP MH EA
⋅ ⋅ = 2PM
MH
=
1
2
AQ HE
QP EA
⋅ =
QD x⊥ D 1
2
AD HE
DH EA
⋅ =
),(),,( 2211 yxQyxP 0( ,0)E x
2
2
0 1
2
2 1
0
1
2
a x x xc
ax x xc
− −⋅ =− −
2 2
0 1 2 1 2 1 2
2[ ( )] ( ) 2a ax x x x x x xc c
− + = ⋅ + −
1 2x x+ 1 2x x
AP x AP
2
( )ay k x c
= −
DE
H
Q
M
O
A
P
由 消去 ，整理得， ，
所以，
所以， ．
这说明，直线 MQ 与 轴的交点是椭圆的右焦点 ．
所以，若 ，即， ，则 ，
即 ．
注： 可以是一切正实数，当 时， 重合．
8-1 解：（Ⅰ）由焦点 F ( 1, 0 ) 在 l 上, 得 k = – , 所以 l: y = – x + ．
设点 N( m, n ) , 则有:
解得 所以 N ( , – )，
因为 ≠ ( – )2 ，所以 N 点不在抛物线 C 上．
(2) 把直线方程 代入抛物线方程得: k2y2 + 4y + 4k+4 = 0 ，
因为相交，所以△ = 16 (–k2 – k + 1)≥ 0,
2
2 2
2 2
( ),
1
ay k x c
x y
a b
= −
+ =
y
2 4 2 6
2 2 2 2 2 2
2
2( ) 0k a k aa k b x x a bc c
+ − + − =
2 4
1 2 2 2 2
2 6 2
1 2 2 2 2 2
2 ,( )
( ) .( )
k ax x c a k b
k a abcx x c a k b
+ = + − = +
2 2 2 4 2 2
1 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2( ) ( ) ( )
a a k a a bx xc c c a k b c a k b
− + = − =+ +
2 2 2 4 2 6 2 2 2
1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2( ) 2( ) 2 ( ) ( )
a a k a k a abc a bx x x xc c c a k b c a k b a k b
−⋅ + − = ⋅ − =+ + +
2 2 2 2 2
0 2 2 2 2 2
2 ( )
2
a b c a k bx ca k b a b
+= ⋅ =+
x ( ,0)F c
AP AQλ= AP
AQ
λ= PH MH MF
QD QD FQ
λ = = =
FM FQλ= −
λ 1λ = ,P Q
2
1
2
1
2
1
1 1( )( ) 1,1 21 12 1.2 2
n
mm n
− − = − − + + + =
1 ,53.5
m
n
=
= −
5
1
5
3
5
4
5
3
11 −−=
kk
yx
解得 ≤ k ≤ 且 k ≠ 0 ．
由对称得 ,
解得 x0 = ( ≤ k ≤ ,且 k ≠ 0)．
当 P 与 M 重合时, a = 1,
所以 f ( k ) = x0 = = – 3 + ( ≤ k ≤ , 且 k ≠ 0),
因为函数 x0 = f ( k )(k∈R)是偶函数，且 k > 0 时单调递减．
所以当 k = 时， (x0)min = , ，
所以 x0 ∈[ ，1)．
8-2 解：（Ⅰ）由 ， ，得 ， ，
所以椭圆方程是： ．
（Ⅱ）设 EF： （ ）代入 ，得 ，
设 ， ，由 ，得 ．
由 ， ，
得 ， ， （舍去），
直线 的方程为： 即 ．
（Ⅲ）将 代入 ，得 （*）
记 ， ，PQ 为直径的圆过 ，则 ，
即 ，又 ， ，
2
51−−
2
51+−
+++=+
−=⋅−
−
122
1
11
00
0
0
kaxky
kax
y
1
2)1(
2
22
+
−−
k
kka
2
51
1
+−
2
51+−
1
31
2
2
+
−
k
k
1
4
2 +k 2
51
1
+−
2
51+−
2
51−−
5
525+− 1lim 00
=
→ x
k
5
525+−
3
3=
a
b 22
2
3
2
1
2
1 baba +⋅⋅=⋅ 3=a 1=b
13
2
2
=+ yx
1−= myx 0>m 13
2
2
=+ yx 022)3( 22 =−−+ myym
),( 11 yxE ),( 22 yxF DFED 2= 21 2yy −=
3
2
2221 +=−=+
m
myyy 3
22 2
2
221 +
−=−=
myyy
3
1)3
2( 2
2
2 +=+−
mm
m 1=∴m 1−=m
EF 1−= yx 01 =+− yx
2+= kxy 13
2
2
=+ yx 0912)13( 22 =+++ kxxk
),( 11 yxP ),( 22 yxQ )0,1(−D QDPD ⊥
0)1)(1(),1(),1( 21212211 =+++=+⋅+ yyxxyxyx 211 += kxy 222 += kxy
得 ．
解得 ，此时（*）方程 ，
所以存在 ，满足题设条件．
9-1 解：（Ⅰ）由题意知 ，
所以 ．
即 ．
又因为 ，
所以 ， ．
故椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）由题意知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ．
由 得 ． ①
设点 ， ，则 ．
直线 的方程为 ．
令 ，得 ．
将 ， 代入，
整理，得 ． ②
由①得 ， 代入②
整理，得 ．
013
14125))(12()1( 22121
2 =+
+−=+++++
k
kxxkxxk
6
7=k 0>∆
6
7=k
1
2
ce a
= =
2 2 2
2
2 2
1
4
c a be a a
−= = =
2 24
3a b=
6 3
1 1
b = =
+
2 4a = 2 3b =
C
2 2
14 3
x y+ =
PB PB ( 4)y k x= −
2 2
( 4),
1.4 3
y k x
x y
= − + =
2 2 2 2(4 3) 32 64 12 0k x k x k+ − + − =
1 1( , )B x y 2 2( , )E x y 1 1( , )A x y−
AE 2 1
2 2
2 1
( )y yy y x xx x
+− = −−
0y = 2 2 1
2
2 1
( )y x xx x y y
−= − +
1 1( 4)y k x= − 2 2( 4)y k x= −
1 2 1 2
1 2
2 4( )
8
x x x xx x x
− += + −
2
1 2 2
32
4 3
kx x k
+ = +
2
1 2 2
64 12
4 3
kx x k
−= +
1x =
所以直线 与 轴相交于定点 ．
（Ⅲ）当过点 直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，且
， 在椭圆 上．
由 得 ．
易知 ．
所以 ， ， ．
则 ．
因为 ，所以 ．
所以 ．
当过点 直线 的斜率不存在时，其方程为 ．
解得 ， ．
此时 ．
所以 的取值范围是 ．
9-2 （Ⅰ）解：由题意可设抛物线的方程为 ．
因为点 在抛物线上，所以 ．
又点 到抛物线准线的距离是 ，所以 ，可得 ．
所以抛物线的标准方程为 ．
（Ⅱ）解：点 为抛物线的焦点，则 ．
依题意可知直线 不与 轴垂直，所以设直线 的方程为 ．
AE x (1,0)Q
Q MN MN ( 1)y m x= −
( , )M MM x y ( , )N NN x y C
2 2
( 1),
1.4 3
y m x
x y
= − + =
2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0m x m x m+ − + − =
0∆ >
2
2
8
4 3M N
mx x m
+ = +
2
2
4 12
4 3M N
mx x m
−= +
2
2
9
4 3M N
my y m
= − +
M N M NOM ON x x y y⋅ = + 2
2 2
5 12 5 33
4 3 4 4(4 3)
m
m m
+= − = − −+ +
2 0m ≥ 2
11 33 04 4(4 3)m
− ≤ − <+
5[ 4, )4OM ON⋅ ∈ − −
Q MN 1x =
3(1, )2M − 3(1, )2N −
5
4OM ON⋅ = −
OM ON⋅ 5[ 4, ]4
− −
2 2x py= ( 0)p ≠
( ,4)A a 0p >
( ,4)A a 5 4 52
p + = 2p =
2 4x y=
F (0,1)F
MN x MN 1y kx= +
由 得 ．
因为 过焦点 ，所以判别式大于零．
设 ， ．
则 ， ．
．
由于 ，所以 ．
切线 的方程为 ， ①
切线 的方程为 ． ②
由①，②，得
则 ．
所以 ．
（Ⅲ）证明： ．
由抛物线的定义知 ， ．
则
．
所以 ．
即 是 和 的等比中项．
10-1 （Ⅰ）解：设椭圆 的标准方程为 ．
因为 ， ，
所以 ．
所以 ．
2
1,
4 .
y kx
x y
= +
=
2 4 4 0x kx− − =
MN F
1 1( , )M x y 2 2( , )N x y
1 2 4x x k+ = 1 2 4x x = −
2 1 2 1( , )MN x x y y= − −
2 1 2 1( , ( ))x x k x x= − −
2 4x y= ' 1
2y x=
MT 1 1 1
1 ( )2y y x x x− = −
NT 2 2 2
1 ( )2y y x x x− = −
1 2 1 2( , )2 4
x x x xT
+
1 2 1 2( , 1) (2 , 2)2 4
x x x xFT k
+= − = −
2 1 2 12 ( ) 2 ( ) 0FT MN k x x k x x⋅ = − − − =
2 2 2 2(2 ) ( 2) 4 4FT k k= + − = +
1 1MF y= +
2 1NF y= +
1 2( 1)( 1)MF NF y y⋅ = + + 2
1 2 1 2 1 2( 2)( 2) 2 ( ) 4kx kx k x x k x x= + + = + + +
24 4k= +
2
FT MF NF= ⋅
FT MF NF
G
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
1 ( 1,0)F − 1 45PFO∠ = °
1b c= =
2 2 2 2a b c= + =
所以 椭圆 的标准方程为 ．
（Ⅱ）设 ， ， ， ．
（ⅰ）证明：由 消去 得： ．
则 ，
所以
．
同理 ．
因为 ,
所以 ．
因为 ，
所以 ．
（ⅱ）解：由题意得四边形 是平行四边形，设两平行线 间的距离为 ,则
．
因为 ，
所以 ．
G
2
2 12
x y+ =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 3 3( , )C x y 4 4( , )D x y
1
2
2
,
1.2
y kx m
x y
= + + =
y 2 2 2
1 1(1 2 ) 4 2 2 0k x km x m+ + + − =
2 2
18(2 1) 0k m∆ = − + >
1
1 2 2
2
1
1 2 2
4 ,1 2
2 2.1 2
kmx x k
mx x k
+ = − + − = +
2 2
1 2 1 2| | ( ) ( )AB x x y y= − + −
2 2
1 2 1 21 ( ) 4k x x x x= + + −
2
2 21 1
2 2
4 2 21 ( ) 41 2 1 2
km mk k k
−= + − − ⋅+ +
2 2
12
2
2 12 2 1 1 2
k mk k
− += + +
2 2
22
2
2 1| | 2 2 1 1 2
k mCD k k
− += + +
| | | |AB CD=
2 2 2 2
1 22 2
2 2
2 1 2 12 2 1 2 2 11 2 1 2
k m k mk kk k
− + − ++ = ++ +
1 2m m≠
1 2 0m m+ =
ABCD ,AB CD d
1 2
21
m md
k
-=
+
1 2 0m m+ =
1
2
2
1
md
k=
+
所以
．
（或 ）
所以 当 时， 四边形 的面积 取得最大值为 ．
10-2 （Ⅰ）解：依题意 ，设直线 方程为 ．
将直线 的方程与抛物线的方程联立，消去 得 ．
设 ， ，所以 ， ． ①
因为 ，
所以 ． ②
联立①和②，消去 ，得 ．
所以直线 的斜率是 ．
（Ⅱ）解：由点 与原点 关于点 对称，得 是线段 的中点，
从而点 与点 到直线 的距离相等，
所以四边形 的面积等于 ．
因为
，
所以 时，四边形 的面积最小，最小值是 ．
11-1 解：（Ⅰ）由已知可得 ，所以 ①
又点 在椭圆 上，所以 ②
由①②解之，得 ．
2 2
2 11
2 2
22 1| | 2 2 1 1 2 1
mk mS AB d k k k
− += ⋅ = + ⋅+ +
2 2 2
1 12 2 2
1 1
2 2
2 1
(2 1) 24 2 4 2 2 21 2 1 2
k m m
k m m
k k
− + +
− += ≤ =+ +
2 2 4 2
21 1 1
2 2 2
(2 1) 1 14 2 4 2 ( ) 2 2(1 2 ) 1 2 2 4
k m m mS k k
+ −= = − − + ≤+ +
2 2
12 1 2k m+ = ABCD S 2 2
(1,0)F AB 1x my= +
AB x 2 4 4 0y my− − =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y 1 2 4y y m+ = 1 2 4y y = −
2AF FB=
1 22y y= −
1 2,y y 2
4m = ±
AB 2 2±
C O M M OC
O C AB
OACB 2 AOBS∆
1 2
12 2 | | | |2AOBS OF y y∆ = × ⋅ ⋅ −
2 2
1 2 1 2( ) 4 4 1y y y y m= + − = +
0m = OACB 4
2 2
2
2
1
4
a be a
−= = 2 23 4a b=
3(1, )2M C 2 2
1 9 14a b
+ =
2 24, 3a b= =
A
B
C
O
M
x
y
F
故椭圆 的方程为 ．
(Ⅱ) 当 时， 在椭圆 上，解得 ，所以 ．
当 时，则由
消 化简整理得： ，
③
设 点的坐标分别为 ，则
．
由于点 在椭圆 上，所以 ．
从而 ，化简得 ，经检验满足③式．
又
因为 ，得 ，有 ，
故 ．
综上，所求 的取值范围是 ．
(Ⅱ)另解：设 点的坐标分别为 ，
由 在椭圆上，可得
C
2 2
14 3
x y+ =
0k = (0,2 )P m C 3
2m = ± | | 3OP =
0k ≠
2 2
,
1.4 3
y kx m
x y
= + + =
y 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x kmx m+ + + − =
2 2 2 2 2 264 4(3 4 )(4 12) 48(3 4 ) 0k m k m k m∆ = − + − = + − >
, ,A B P 1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、
0 1 2 0 1 2 1 22 2
8 6, ( ) 23 4 3 4
km mx x x y y y k x x mk k
= + = − = + = + + =+ +
P C
2 2
0 0 14 3
x y+ =
2 2 2
2 2 2 2
16 12 1(3 4 ) (3 4 )
k m m
k k
+ =+ +
2 24 3 4m k= +
2 2 2
2 2
0 0 2 2 2 2
64 36| | (3 4 ) (3 4 )
k m mOP x y k k
= + = ++ +
2 2 2
2 2 2
4 (16 9) 16 9
(3 4 ) 4 3
m k k
k k
+ += =+ +
2
34 .4 3k
= − +
10 2k< ≤ 23 4 3 4k< + ≤ 2
3 3 14 4 3k
≤ <+
133 2OP< ≤
OP 13[ 3, ]2
, ,A B P 1 1 2 2 0 0( , ) ( , ) ( , )x y x y x y、 、
,A B
2 2
1 1
2 2
2 2
3 4 12
3 4 12
x y
x y
+ =
+ =
①
②
①—②整理得
由已知可得 ，所以
由已知当 ,即 ⑥
把④⑤⑥代入③整理得
与 联立消 整理得 ．
由 得 ，
所以 ，
因为 ，得 ，有 ，
故 ．
所求 的取值范围是 ．
11-2 解：（Ⅰ）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ，
所以 ，
又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ，
所以 ， ．
所以 ，椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）方法一：不妨设 的方程 ，则 的方程为 ．
由 得 ，
设 ， ，
1 2 1 2 1 2 1 23( )( ) 4( )( ) 0x x x x y y y y− + + − + = ③
OP OA OB= + 1 2 0
1 2 0
x x x
y y y
+ =
+ =
④
⑤
1 2
1 2
y yk x x
−= − 1 2 1 2( )y y k x x− = −
0 03 4x ky= −
2 2
0 03 4 12x y+ = 0x 2
0 2
9
4 3y k
= +
2 2
0 03 4 12x y+ = 2 2
0 0
44 3x y= −
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 2
4 1 3| | 4 4 43 3 4 3OP x y y y y k
= + = − + = − = − +
1
2k ≤ 23 4 3 4k≤ + ≤ 2
3 3 14 4 3k
≤ ≤+
133 2OP≤ ≤
OP 13[ 3, ]2
M 246 +
24622 +=+ ca
2 2
3
2 2
3
c
a
= 2 2
3c a=
3a = 2 2c =
1b = M 19
2
2
=+ yx
BC ( 3),( 0)y n x n= − > AC )3(1 −−= xny
2
2
( 3),
19
y n x
x y
= − + =
0196)9
1( 2222 =−+−+ nxnxn
),( 11 yxA ),( 22 yxB
因为 ，所以 ，
同理可得 ，
所以 ， ，
，
设 ，
则 ，
当且仅当 时取等号，
所以 面积的最大值为 ．
方法二：不妨设直线 的方程 ．
由 消去 得 ，
设 ， ，
则有 ， ． ①
因为以 为直径的圆过点 ，所以 ．
由 ，
得 ．
将 代入上式，
得 ．
2
2 2
81 93 9 1
nx n
−= + 19
327
2
2
2 +
−=
n
nx
2
2
1 9
327
n
nx +
−=
19
61|| 2
2
++=
nnBC 2
22
9
61|| n
n
n
nAC +
+=
9
64)1(
)1(2
||||2
1
2 ++
+
==∆
nn
nn
ACBCS ABC
21 ≥+=
nnt
2
2 2 3
64 64 8
9 9
tS
t t t
= = ≤
+ +
3
8=t
ABC∆
8
3
AB x ky m= +
2
2
,
1,9
x ky m
x y
= + + =
x 2 2 2( 9) 2 9 0k y kmy m+ + + − =
),( 11 yxA ),( 22 yxB
1 2 2
2
9
kmy y k
+ = − +
2
1 2 2
9
9
my y k
−= +
AB C 0CA CB⋅ =
1 1 2 2( 3, ), ( 3, )CA x y CB x y= − = −
1 2 1 2( 3)( 3) 0x x y y− − + =
1 1 2 2,x ky m x ky m= + = +
2 2
1 2 1 2( 1) ( 3)( ) ( 3) 0k y y k m y y m+ + − + + − =
将 ① 代入上式，解得 或 （舍）．
所以 （此时直线 经过定点 ，与椭圆有两个交点），
所以
．
设 ，
则 ．
所以当 时， 取得最大值 ．
12-1 解：（Ⅰ）因为四边形 是平行四边形,周长为 8，
所以两点 到 的距离之和均为 4，可知所求曲线为椭圆．
由椭圆定义可知， ， ，
所求曲线方程为 ．
（Ⅱ）由已知可知直线 的斜率存在，又直线 过点 ，
设直线 的方程为： ，
代入曲线方程 ，并整理得 ，
点 在曲线上,所以 ( , )，
, , ，
因为 // ,
所以设 的方程为 ．
代入曲线方程，并整理得 ，
12
5m = 3m =
12
5m = AB 12( ,0)5D
1 2
1 | || |2ABCS DC y y∆ = −
2
2
1 2 1 2 2 2
1 3 9 25( 9) 144( ) 42 5 5 25( 9)
ky y y y k
+ −= × + − = +
2
1 1,09 9t tk
= < ≤+
29 144
5 25ABCS t t∆ = − ⋅ +
25 1(0, ]288 9t = ∈ ABCS∆ 8
3
AMBN
,A B ,M N
2, 3a c= = 1b =
14
2
2
=+ yx
l l ( 2,0)C −
l ( 2)y k x= +
2
2 1( 0)4
x y y+ = ≠ 2 2 2 2(1 4 ) 16 16 4 0k x k x k+ + + − =
( 2,0)C − D
2
2
8 2
1 4
k
k
− +
+ 2
4
1 4
k
k+
(0,2 )E k CD =
2 2
4 4( , )1 4 1 4
k
k k+ + (2,2 )CE k=
OA l
OA y kx=
2 2(1 4 ) 4k x+ =
所以 ．
，所以 为定值．
12-2 解：（Ⅰ）由题意得 ①
因为椭圆经过点 ，所以 ②
又 ③
由①②③ 解得 ， ．
所以椭圆方程为 ．
（Ⅱ）以 OM 为直径的圆的圆心为 ,半径 ，
方程为 ，
因为以 OM 为直径的圆被直线 截得的弦长为 2，
所以圆心到直线 的距离 ．
所以 ，解得 ．
所求圆的方程为 ．
（Ⅲ）方法一：过点 F 作 OM 的垂线，垂足设为 K，由平几知： ．
则直线 OM： ，直线 FN： ，
2 2
2 2( , )
1 4 1 4
kA
k k
± ±
+ +
2
2 2
2 2
2 2
8 8
1 4 1 4 24 4
1 4 1 4
k
CD CE k k
kOA
k k
+⋅ + += =
++ +
2
CD CE
OA
⋅
2
2
c
a
=
)2
1,2
6(P
2 2
2 2
6 1( ) ( )2 2 1a b
+ =
2 2 2a b c= +
22 =a 122 == cb
2
2 12
x y+ =
(1, )2
t 2
14
tr = +
2
2 2( 1) ( ) 12 4
t tx y− + − = +
3 4 5 0x y− − =
3 4 5 0x y− − = 2 1d r= −
2
t=
3 2 5
5 2
t t− − = 4t =
2 2( 1) ( 2) 5x y− + − =
2ON OK OM=
2
ty x= 2 ( 1)y xt
= − −
由 得 ．
所以 ．
所以线段 ON 的长为定值 ．
方法二：设 ，则 ， ，
， ．
因为 ，所以 ．所以 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ．
所以 为定值．
12-3 解：（Ⅰ）（ⅰ）因为 圆 过椭圆的焦点，圆 ： ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
（ⅱ）由 及圆的性质，可得 ，
所以
所以
所以 ， ．
（Ⅱ）设 ，则
整理得
因为
,2
2 ( 1),
ty x
y xt
=
= − −
2
4
4Kx t
= +
2 2
2 (1 ) (1 )4 4K M
t tON x x= + ⋅ + 224
4
4
4
2
2
=⋅+⋅+=
t
t
2
0 0( , )N x y ),1( 00 yxFN −= ),2( tOM =
),2( 00 tyxMN −−= ),( 00 yxON =
OMFN ⊥ 0)1(2 00 =+− tyx 22 00 =+ tyx
ONMN ⊥ 0)()2( 0000 =−+− tyyxx
22 00
2
0
2
0 =+=+ tyxyx
22
0
2
0 =+= yxON
O O 2 2 2x y b+ =
b c=
2 2 2 2b a c c= − =
2 22a c=
2
2e =
90APB∠ = 2OP b=
2 2 22 ,OP b a= ≤
2 22a c≤
2 1
2e ≥ 2 12 e≤ <
( ) ( ) ( )0 0 1 1 2 2, , , , ,P x y A x y B x y
0 1 1
0 1 1
y y x
x x y
− = −−
2 2
0 0 1 1x x y y x y+ = +
2 2 2
1 1x y b+ =
所以 方程为： ，
方程为： ．
所以 ，
所以 ,
直线 方程为 ，即 ．
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 ，
所以 为定值，定值是 ．
13-1 解：（Ⅰ）由题意可知：
解得 ．
所以椭圆的方程为： ．
（II）证明：由方程组
，
整理得 ，
设
则 ．
由已知， 且椭圆的右顶点为 ，
所以 ，
，
PA 2
1 1x x y y b+ =
PB 2
2 2x x y y b+ =
1 1x x y y+ = 2 2x x y y+
02 1
2 1 0
xy y
x x y
− = −−
AB ( )0
1 1
0
xy y x xy
− = − − 2
0 0x x y y b+ =
0x =
2
0
bON y y
= = 0y =
2
0
bOM x x
= =
2 2 2 22 2 2 2 2
0 0
2 2 4 4 2
a y b xa b a b a
b b bON OM
++ = = =
2 2
2 2
a b
ON OM
+
2
2
a
b
2 2 2
3,
3 ,2
,
c
ce a
a b c
=
= =
= +
1,2 == ba
14
2
2
=+ yx
+=
=+
mkxy
yx 14
2
2
0448)k41 222 =−+++ mkmxx得（
0)44)(41(4)8( 222 >−+−=∆ mkkm
014 22 >+− mk
),(),,( 2221 yxNxxM
2
2
21221 41
44,41
8
k
mxxk
kmxx +
−=+−=+
ANAM ⊥ )0,2(A
1 2 1 2( 2)( 2) 0x x y y− − + =
2
2121
2
2121 )())(( mxxkmxxkmkxmkxyy +++=++=
即 ，
也即 ，
整理得： ，
解得 均满足 ．
当 时，直线的 方程为 ，过定点（2，0）与题意矛盾舍去；
当 时，直线的 方程为 ,过定点 ．
故直线 过定点，且定点的坐标为 ．
13-2 解：（I）由题意可得 ，
所以 ，即 ，
即 ，即动点 的轨迹 的方程为 ．
（II）设直线 的方程为 , ，则 ．
由 消 整理得 ，
则 ，即 ．
．
直线 ，
所以 ，
，
，
，
04))(2()1( 2
2121
2 =+++−++ mxxkmxxk
0441
8)2(41
44))1( 2
22
2
2 =+++
−•−++
−•+ mk
kmkmk
mk
012165 22 =++ kmkm
5
62 kmkm −=−= 或 014 22 >+− mk
km 2−= l kkxy 2−=
5
6km −= l )5
6( −= xky )0,5
6(
l )0,5
6(
OP OM⊥
0OP OM⋅ = ( , )( , 4) 0x y x − =
2 4 0x y− = P W 2 4x y=
l 4y kx= − 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1 1'( , )A x y−
2
4
4
y kx
x y
= −
= y 2 4 16 0x kx− + =
216 64 0k∆ = − > | | 2k >
1 2 1 24 , 16x x k x x+ = =
2 1
2 2
2 1
' : ( )y yA B y y x xx x
−− = −+
2 1
2 2
2 1
( )y yy x x yx x
−= − ++
2 2
22 1
2 2
1 2
1( )4( ) 4
x xy x x xx x
−= − ++
2
22 1 2 1 2
2
1
4 4 4
x x x x xy x x
− −= − +
2 1 1 2y 4 4
x x x xx
−= +
即 ．
所以，直线 恒过定点 ．
13-3 解：（Ⅰ）设动点 的坐标为 ，
由题意得， ，
化简得 ，
所以点 的轨迹 的方程为 ．
（Ⅱ）设 两点坐标分别为 ， ，
则点 的坐标为 ．
由题意可设直线 的方程为 ，
由 得 ．
．
因为直线 与曲线 于 两点，
所以 ， ．
所以点 的坐标为 ．
由题知，直线 的斜率为 ，同理可得点 的坐标为 ．
当 时，有 ，此时直线 的斜率 ．
所以，直线 的方程为 ，
整理得 ．
于是，直线 恒过定点 ；
M ( , )x y
2 2( 1) | 1|x y x− + = +
2 4y x=
M C 2 4y x=
,A B 1 1( , )x y 2 2( , )x y
P 1 2 1 2( , )2 2
x x y y+ +
1l ( 1)y k x= − ( 0)k ≠
2 4 ,
( 1),
y x
y k x
=
= −
2 2 2 2(2 4) 0k x k x k− + + =
1l C ,A B
1 2 2
42x x k
+ = + 1 2 1 2
4( 2)y y k x x k
+ = + − =
P 2
2 2(1 , )k k
+
2l 1
k
− Q 2(1 2 , 2 )k k+ −
PQ 2
2
2
2 2
2 11 1 2
PQ
k kkk kkk
+
= = −+ − −
PQ 2
22 ( 1 2 )1
ky k x kk
+ = − −−
2 ( 3) 0yk x k y+ − − =
PQ (3, 0)E
2 1 44
x xy x
−= +
'A B (0,4)
2 2 4 2(2 4) 4 16 16 0k k kD = + - = + >
1k ≠ ± 2
2
21 1 2kk
+ ≠ +
当 时，直线 的方程为 ，也过点 ．
综上所述，直线 恒过定点 ．
（Ⅲ）可求的 ，
所以 面积 ．
当且仅当 时，“ ”成立，所以 面积的最小值为 ．
14-1 解：（Ⅰ）由题意知： ．
根据椭圆的定义得： ，即 ．
所以 ．
所以 椭圆 的标准方程为 ．
（Ⅱ）假设在 轴上存在点 ，使得 恒成立．
当直线 的斜率为 0 时， ．
则 ．
解得 ．
当直线 的斜率不存在时， ．
由于 ，所以 ．
下面证明 时， 恒成立．
显然 直线 的斜率为 0 时， ．
当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为： ， ．
PQ (3, 0)E
PQ (3, 0)E
FPQ∆ 1 2 1| | ( 2 | |) 2( | |) 42 | | | |S FE k kk k
= + = + ≥
1k = ± = FPQ∆ 4
1k = ± 3x =
| | 2EF =
1c =
2 22 22 ( 1 1) ( )2 2a = - - + + 2a =
2 2 1 1b = - =
C
2
2 12
x y+ =
x ( ,0)Q m 7
16QA QB⋅ = −
l ( 2,0), ( 2,0)A B −
7( 2 ,0) ( 2 ,0) 16m m- × - - =-
5
4m = ±
l 2 2(1, ), (1, )2 2A B −
5 2 5 2 7(1 , ) (1 , )4 2 4 2 16+ × + - ¹-
5
4m ¹-
5
4m =
7
16QA QB⋅ = −
l 7
16QA QB⋅ = −
l l 1x ty= + ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y
由 可得： ．
显然 ．
因为 ， ，
所以
．
综上所述：在 轴上存在点 ，使得 恒成立．
14-2 解：(Ⅰ)由题意可知 ，得 ．
因为 在椭圆上 解得： ．
故椭圆 M 的方程为： ．
（Ⅱ）由于 的平分线垂直于 即垂直于 轴，故直线 的斜率存在设为 ，则 斜率
为 ，因此 ， 的直线方程分别为 ， ．
由 得 ①
由 ，得 ．
2
2 1,2
1
x y
x ty
ìïï + =ïíïï = +ïî
2 2( 2) 2 1 0t y ty+ + - =
0∆ >
1 2 2
1 2 2
2 ,2
1 .2
ty y t
y y t
ìïï + =-ïï +ïíïï =-ïï +ïî
1 1 1x ty= + 2 2 1x ty= +
1 1 2 2 1 2 1 2
5 5 1 1( , ) ( , ) ( )( )4 4 4 4x y x y ty ty y y- × - = - - +
2
1 2 1 2
1 1( 1) ( )4 16t y y t y y= + - + +
2
2 2
1 1 2 1( 1) 2 4 2 16
tt tt t=- + + ++ +
2 2
2
2 2 1 7
2( 2) 16 16
t t
t
- - += + =-+
x 5( ,0)4Q 7
16QA QB⋅ = −
2)(13
6
a
be −== 22 3ba =
1,1B( ) 111
22
=+
ba 3
44 22 == b,a
14
3
4
22
=+ yx
PBQ∠ OA x PB k QB
k− PB QB ( 1) 1y k x= − + ( 1) 1y k x= − − +
=+
+−=
14
3
4
1)1(
22 yx
xky
01631631 222 =−−+−−+ kkx)k(kx)k(
0>∆
3
1−≠k
因为点 B 在椭圆上，x =1 是方程①的一个根，设
所以 ，即 ，同理 ．
所以 ．
因为 ，所以 ， 即 ．
所以向量 ，则总存在实数 使 成立．
15-1 解：（Ⅰ）因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
（Ⅱ）设直线 BD 的方程为
所以
所以
----① -----②
因为 ，
设 为点 到直线 BD： 的距离，
所以 ，当且仅当 时取等号．
因为 ，所以当 时， 的面积最大，最大值为 ．
（Ⅲ）设 ， ，直线 、 的斜率分别为： 、 ，则
),(),,( QQpp yxQyxP
2
2
3 6 11 3 1P
k kx k
− −⋅ = +
2
2
3 6 1
3 1P
k kx k
− −= + 13
163
2
2
+
−+=
k
kkxQ
=PQk 3
1
13
12
213
)13(2
2)(
2
2
2
=
+−
−+
−⋅
=−
−+=−
−
k
k
kk
kk
xx
kxxk
xx
yy
QP
QP
QP
QP
(2,0), ( 1, 1)A C − − 1
3ACk = ACPQ kk =
AC//PQ λ ACPQ λ=
a
ce ==
2
2 121
22
=+
ab
222 cba +=
2=a 2=b 2=c
142
22
=+ yx
bxy += 2
=+
+=
42
2
22 yx
bxy 04224 22 =−++⇒ bbxx
0648 2 >+−=∆ b 2222 <<−⇒ b
,2
2
21 bxx −=+
4
42
21
−= bxx
2
2 2
1 2
64 8 61 ( 2) 3 3 84 4 2
bBD x x b
∆ −= + − = = = −
d A bxy += 2 ∴
3
bd =
2)8(4
2
2
1 22 ≤−==∆ bbdBDS ABD 2±=b
2± )22,22(−∈ 2±=b ABD∆ 2
),( 11 yxD ),( 22 yxB AB AD ABk ADk
=+ ABAD kk 1
22
1
22
1
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
−
−++−
−+=−
−+−
−
x
bx
x
bx
x
y
x
y
= ------*
将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得
=0，
即 0．
15-2 解：（Ⅰ）设 ，直线 的方程为 ．
由 得 ，
，
， ，
由已知 ，
又 ，所以
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，符合题意，
所以，所求直线 的方程为 或 ．
（Ⅱ） ， ， ，
所以 ，
平方得 ，
又 ，所以 ，同理 ，代入上式，
计算得 ，即 ．
]1)(
2[22
2121
21
++−
−++
xxxx
xxb
]1)(
2[22
2121
21
++−
−++
xxxx
xxb
=+ ABAD kk
1 1 2 2( , ), ( , )C x y D x y l 1( 0)y kx k= + ≠
2 24 4,
1
x y
y kx
+ =
= +
2 2(4 ) 2 3 0k x kx+ + − =
2 2 24 12(4 ) 16 48 0k k k∆ = + + = + >
1 2 2
2
4
kx x k
−+ = + 1 2 2
3
4x x k
−= +
1( ,0), (0,1)E Fk
−
CE FD=
1 1 2 2
1( , ) ( , 1)x y x yk
− − − = −
1 2
1 x xk
− − = 2 1
1x x k
+ = −
2
2 1
4
k
k k
− = −+ 2k = ±
l 2 1 0x y− + = 2 1 0x y+ − =
2
1
2 1
yk x
= +
1
2
1 1
yk x
= − 1 2: 2:1k k =
2 1
1 2
( 1) 2
( 1) 1
y x
y x
− =+
2 2
2 1
2 2
1 2
( 1) 4( 1)
y x
y x
− =+
2
2 1
1 14
yx + = 2 2
1 14(1 )y x= − 2 2
2 24(1 )y x= −
2 1
1 2
(1 )(1 ) 4(1 )(1 )
x x
x x
− − =+ + 1 2 1 23 5( ) 3 0x x x x+ + + =
假设满足条件的实数 存在，则由（Ⅰ）得 ， ．
所以 ，解得 或 ，
因为 ， ，所以 异号，故舍去 ，
所以存在实数 ，使得 ，且 ．
16- 1 解：（Ⅰ）设椭圆 的方程为 ，由题意得
解得 ， ，故椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）因为过点 的直线 与椭圆在第一象限相切，所以 的斜率存在，故可设直线 的方程为
．
由 得 ． ①
因为直线 与椭圆相切，所以 ．
整理，得 ．
解得 ．
所以直线 方程为 ．
将 代入①式，可以解得 点横坐标为 1，故切点 坐标为 ．
（ Ⅲ ） 若 存 在 直 线 满 足 条 件 ， 设 直 线 的 方 程 为 ， 代 入 椭 圆 的 方 程 得
．
因为直线 与椭圆 相交于不同的两点 ，设 两点的坐标分别为 ，
所以 ．
k 1 2 2
2
4
kx x k
−+ = + 1 2 2
3
4x x k
−= +
23 10 3 0k k− + = 3k = 1
3k =
2 1
1 2
( 1) 2
( 1) 1
y x
y x
− =+ 1 2, ( 1,1)x x ∈ − 1 2,y y 1
3k =
k 1 2: 2:1k k = 3k =
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > >
2 2
2 2 2
1 9 1,4
1 ,2
.
a b
c
a
a b c
+ =
=
= +
2 4a = 2 3b = C
2 2
14 3
x y+ =
(2, 1)P l l l
( 2) 1y k x= − +
2 2
1,4 3
( 2) 1,
x y
y k x
+ =
= − +
2 2 2(3 4 ) 8 (2 1) 16 16 8 0k x k k x k k+ − − + − − =
l 2 2 2[ 8 (2 1)] 4(3 4 )(16 16 8) 0k k k k k∆ = − − − + − − =
32(6 3) 0k + =
1
2k = −
l 1 1( 2) 1 22 2y x x= − − + = − +
1
2k = − M M 3(1, )2
1l 1l 1( 2) 1y k x= − + C
2 2 2
1 1 1 1 1(3 4 ) 8 (2 1) 16 16 8 0k x k k x k k+ − − + − − =
1l C ,A B ,A B 1 1 2 2( , ),( , )x y x y
2 2 2
1 1 1 1 1 1[ 8 (2 1)] 4(3 4 )(16 16 8) 32(6 3) 0k k k k k k∆ = − − − + − − = + >
所以 ．
又 ， ，
因为 ，即 ，
所以 ．
即 ，
所以 ，解得 ．
因为 为不同的两点，所以 ．
于是存在直线 满足条件，其方程为 ．
16-2 解：（Ⅰ）由题意可设椭圆 的方程为 ， ．
由题意知 解得 ， ．
故椭圆 的方程为 ，离心率为 ．……6 分
（Ⅱ）以 为直径的圆与直线 相切．
证明如下：由题意可设直线 的方程为 ．
则点 坐标为 ， 中点 的坐标为 ．
由 得 ．
设点 的坐标为 ，则 ．
1
1
2k > −
1 1
1 2 2
1
8 (2 1)
3 4
k kx x k
−+ = +
2
1 1
1 2 2
1
16 16 8
3 4
k kx x k
− −= +
2
PA PB PM⋅ =
1 2 1 2
5( 2)( 2) ( 1)( 1) 4x x y y− − + − − =
2 2
1 2 1
5( 2)( 2)(1 ) | | 4x x k PM− − + = =
2
1 2 1 2 1
5[ 2( ) 4](1 ) 4x x x x k− + + + =
2 2
21 1 1 1 1
12 2 2
1 1 1
16 16 8 8 (2 1) 4 4 5[ 2 4](1 )3 4 3 4 3 4 4
k k k k kkk k k
− − − +− + + = =+ + + 1
1
2k = ±
,A B 1
1
2k =
1l 1
2y x=
C
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > ( ,0)F c
2 2 2
1 2 2 3,2
2,
.
a b
a
a b c
⋅ ⋅ =
=
= +
3b = 1c =
C
2 2
14 3
x y+ = 1
2
BD PF
AP ( 2)y k x= + ( 0)k ≠
D (2, 4 )k BD E (2, 2 )k
2 2
( 2),
14 3
y k x
x y
= + + =
2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k+ + + − =
P 0 0( , )x y
2
0 2
16 122 3 4
kx k
−− = +
O F
E
P
D
BA
y
x
所以 ， ．
因为点 坐标为 ，
当 时，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
直线 轴，此时以 为直径的圆 与直线 相切．
当 时，则直线 的斜率 ．
所以直线 的方程为 ．
点 到直线 的距离 ．
又因为 ，所以 ．
故以 为直径的圆与直线 相切．
综上得，当直线 绕点 转动时，以 为直径的圆与直线 相切．
17-1 （Ⅰ）解：由 ， 得 ．
依 题 意 △ 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 从 而 ， 故 ． 所 以 椭 圆 的 方 程 是
．
（Ⅱ）解：设 ， ，直线 的方程为 ．
将直线 的方程与椭圆 的方程联立，
消去 得 ．
所以 ， ．
若 平分 ，则直线 ， 的倾斜角互补，
所以 ．
1 | |2d BD=
AP A
2 2 2
2
2 2
5 19
a b be a a
−= = = − 2
3
b
a
=
1 2MB B 2b = 3a = C
2 2
19 4
x y+ =
1 1( , )A x y 2 2( , )B x y AB 2x my= +
AB C
x 2 2(4 9) 16 20 0m y my+ + − =
1 2 2
16
4 9
my y m
−+ = + 1 2 2
20
4 9y y m
−= +
PF APB∠ PA PB
0=+ PBPA kk
2
0 2
6 8
3 4
kx k
−= + 0 0 2
12( 2) 3 4
ky k x k
= + = +
F (1, 0)
1
2k = ± P 3(1, )2
± D (2, 2)±
PF x⊥ BD 2 2( 2) ( 1) 1x y− + = PF
1
2k ≠ ± PF 0
2
0
4
1 1 4PF
y kk x k
= =− −
PF 2
4 ( 1)1 4
ky xk
= −−
E PF
2 2
2
2 2
8 421 4 1 4
16 1(1 4 )
k kkk kd
k
k
− −− −=
+−
3
2
2
2
2 8
1 4 2 | |1 4
|1 4 |
k k
k kk
k
+
−= =+
−
| | 4 | |BD k=
BD PF
BD PF
设 ，则有 ．
将 ， 代入上式，
整理得 ，
所以 ．
将 ， 代入上式，
整理得 ．
由于上式对任意实数 都成立，所以 ．
综上，存在定点 ，使 平分 ．
17-2 解：（I）方法 1
依题意，可设椭圆 C 的方程为 ，易知左焦点为
从而有 ， ，即 ，所以 ，
故椭圆 C 的方程为 ．
方法 2 依题意，可设椭圆 C 的方程为 （a>b>0），
则 解得 或 （舍去）．从而 ．
故椭圆 C 的方程为 ．
（II）假设存在符合题意的直线 ，其方程为
由 得，
( ,0)P a 1 2
1 2
0y y
x a x a
+ =− −
1 1 2x my= + 2 2 2x my= +
1 2 1 2
1 2
2 (2 )( ) 0( 2 )( 2 )
my y a y y
my a my a
+ − + =+ − + −
1 2 1 22 (2 )( ) 0my y a y y+ − + =
1 2 2
16
4 9
my y m
−+ = + 1 2 2
20
4 9y y m
−= +
( 2 9) 0a m− + ⋅ =
m 9
2a =
9( ,0)2P PM APB∠
12
2
2
2
=+
b
y
a
x ( 0)a b> > )0,2(−′F
2c = 2 | | | | 3 5 8a AF AF′= + = + = 4=a 122 =b
11216
22
=+ yx
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
2 2
2 2
4,
4 9 1.
a b
a b
− = + =
122 =b 32 −=b 162 =a
11216
22
=+ yx
l txy +=
2
3
2 2
3 ,2
116 12
y x t
x y
= +
+ =
01233 22 =−++ ttxx
因为直线 与椭圆 C 有公共点，
所以 ，
解得 ．
另一方面，由直线 OA 与 的距离 可得 ，从而 ．
由于 ，所以符合题意的直线 不存在．
17-4．（2010 年高考福建卷文科第 19 题）
已知抛物线 C： 过点 ．
（I）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于 OA（O 为坐标原点）的直线 L，使得直线 L 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA
与 L 的距离等于 ？若存在，求直线 L 的方程；若不存在，说明理由．
17-4 解：（Ⅰ）将 代入 ，所以 ．
故所求的抛物线 C 的方程为 ，其准线方程为 ．
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线 l ，其方程为 ，
由 得 ．
因为直线 l 与抛物线 C 有公共点，所以得 Δ=4+8 t，解得 ．
另一方面，由直线 OA 与 l 的距离 ，可得 ，解得 t=±1．
因为－1∉[- ,＋∞），1∈[－ ，＋∞），所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x+y-1 =0．
18-1 解：（1）设 由 ，所以 ．
设 是椭圆 上任意一点，则 ，
l
( ) ( ) 012343 22 ≥−×−=∆ tt
3434 ≤≤− t
l 4=d 4
14
9
|| =
+
t 132±=t
2 13 [ 4 3,4 3]± ∉ − l
2 2 ( 0)y px p= > (1, 2)A −
5
5
(1, 2)A − 2 2y px= 2p =
2 4y x= 1x = −
2y x t= − +
2 4 ,
2
y x
y x t
=
= − +
2 2 2 0y y t+ − =
1
2t ≥ −
5
5d = 1
5 5
t =
1
2
1
2
2 2c a b= − 2 22 2
3 3
ce c aa
= = ⇒ = 2 2 2 21
3b a c a= − =
( , )P x y C
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
所以 ，
．
当 时，当 时， 有最大值 ，可得 ，
所以 ．
当 时， 不合题意．
故椭圆 的方程为： ．
（2） 中， ， ．
当且仅当 时， 有最大值 ，
时，点 到直线 的距离为 ．
．
又 ，此时点 ．
18-2 解：（Ⅰ）设
则
的周长为：
椭圆 的方程为 ．
（Ⅱ）由对称性可知设 与 ，
．
2
2 2 2 2
2(1 ) 3yx a a yb
= − = −
2 2 2 2 2 2 2| | ( 2) 3 ( 2) 2( 1) 6PQ x y a y y y a= + − = − + − = − + + +
1b ≥ 1y = − | |PQ 2 6 3a + = 3a =
1, 2b c= =
1b < 2 26 3 6 3PQ a b< + = + <
C
2
2 13
x y+ =
AOB∆ 1OA OB= = 1 1sin2 2AOBS OA OB AOB∆ = × × × ∠ ≤
90AOB °∠ = AOBS∆
1
2
90AOB °∠ = O AB 2
2d =
2 2
2 2
2 1 2 22 2d m n
m n
= ⇔ = ⇔ + =
+
2 2 2 23 13 3 ,2 2m n m n+ = ⇒ = = 6 2( , )2 2M ± ±
2 2c a b= −
2 21 2 3 42
ce a c a ba
= = ⇔ = ⇔ =
2ABF∆
2 2 1 2 1 28 8
4 8 2, 3, 1
AB AF BF AF AF BF BF
a a b c
+ + = ⇔ + + + =
⇔ = ⇔ = = =2 2 1 2 1 28 8
4 8 2, 3, 1
AB AF BF AF AF BF BF
a a b c
+ + = ⇔ + + + =
⇔ = ⇔ = = =
E
2 2
14 3
x y+ =
0 0 0( , )( 0)P x y y > ( ,0)M x
2 2
2 0
2 0
33 31 34 3 4 434 3 4
xx y xy x y k yx
′+ = ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = −
−
直线 ．
（*）
（*）对 恒成立 ， 得 ．
0 0
0 0
0 0
3 3(1 ): ( ) (4, )4
x xl y y x x Qy y
−− = − − ⇒
0
0 0 0
0
3(1 )0 ( )( 4) 0 ( 1) ( 1)( 3)xMP MQ x x x y x x x xy
−= ⇔ − − + × = ⇔ − = − −
0 ( 2,2)x ∈ − 1x⇔ = (1,0)M
19-1（Ⅰ）解：当 时， ， ．
由于 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程是 ．
（Ⅱ）解： ， ．
① 当 时，令 ，解得 ．
的 单 调 递 减 区 间 为 ； 单 调 递 增 区 间 为 ， ． 当 时 ， 令
，解得 ，或 ．
② 当 时， 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ，
．
③ 当 时， 为常值函数，不存在单调区间．
④ 当 时， 的单调递减区间为 ， ；单调递增区间为 ，
．
19-2 解：因为 所以 ．
（Ⅰ）当 时, , ,
所以 ．
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅱ）因为 ，
（1）当 时,由 得 ；由 得 ．
所以函数 在区间 单调递增, 在区间 单调递减．
1a = 1( ) e ( 2)xf x x
= ⋅ + 2
1 1( ) e ( 2 )xf x x x
′ = ⋅ + −
(1) 3ef = (1) 2ef ′ =
( )y f x= (1, (1))f 2e e 0x y− + =
2
( 1)[( 1) 1]( ) eax x a xf x a x
+ + −′ = 0x ≠
1−=a ( ) 0f x′ = 1x = −
)(xf ( , 1)−∞ − ( 1,0)− (0, )+∞ 1a ≠ −
( ) 0f x′ = 1x = − 1
1x a
= +
01 <<− a )(xf ( , 1)−∞ − 1( , )1a
+∞+ ( 1,0)−
1(0, )1a +
0=a ( )f x
0a > )(xf ( 1,0)− 1(0, )1a + ( , 1)−∞ −
1( , )1a
+∞+
2
e( ) ,1
ax
f x x
= +
2
2 2
e ( 2 )( ) ( 1)
ax ax x af x x
− +′ = +
1a =
2
e( ) 1
x
f x x
= +
2
2 2
e ( 2 1)( ) ( 1)
x x xf x x
− +′ = +
(0) 1,f = (0) 1f ′ =
( )y f x= (0, (0))f 1 0x y− + =
2
2
2 2 2 2
e ( 2 ) e( ) ( 2 )( 1) ( 1)
ax axax x af x ax x ax x
− +′ = = − ++ +
0a = ( ) 0f x′ > 0x < ( ) 0f x′ < 0x >
( )f x ( ,0)−∞ (0, )+∞
（2）当 时, 设 ，方程 的判别式
①当 时，此时 ．
由 得 ,或 ；
由 得 ．
所以函数 单调递增区间是 和 ,
单调递减区间 ．
②当 时，此时 ．所以 ，
所以函数 单调递增区间是 ．
③当 时，此时 ．
由 得 ；
由 得 ,或 ．
所以当 时,函数 单调递减区间是 和 ,
单调递增区间 ．
④当 时, 此时 ， ，所以函数 单调递减区间是 ．
20-1 解: (1)由已知得 ，令 ，得 ，
要取得极值，方程 必须有解，
所以△ ，即 ， 此时方程 的根为
， ，
0a ≠ 2( ) 2g x ax x a= − + 2( ) 2 0g x ax x a= − + =
24 4 4(1 )(1 ),a a a∆ = − = − +
0 1a< < 0∆ >
( ) 0f x′ >
21 1 ax a
− −<
21 1 ax a
+ −>
( ) 0f x′ <
2 21 1 1 1a axa a
− − + −< <
( )f x
21 1( , )a
a
− −−∞
21 1( , )a
a
+ − +∞
2 21 1 1 1( , )a a
a a
− − + −
1a ≥ 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≥
( )f x ( , )−∞ +∞
1 0a− < < 0∆ >
( ) 0f x′ >
2 21 1 1 1a axa a
+ − − −< <
( ) 0f x′ <
21 1 ax a
+ −<
21 1 ax a
− −>
1 0a− < < ( )f x
21 1( , )a
a
+ −−∞
21 1( , )a
a
− − +∞
2 21 1 1 1( , )a a
a a
+ − − −
1a ≤ − 0∆ ≤ ( ) 0f x′ ≤ ( )f x ( , )−∞ +∞
2'( ) 2 1f x ax bx= + + 0)(' =xf 2 2 1 0ax bx+ + =
)(xf 2 2 1 0ax bx+ + =
24 4 0b a= − > 2b a> 2 2 1 0ax bx+ + =
2 2
1
2 4 4
2
b b a b b ax a a
− − − − − −= =
2 2
2
2 4 4
2
b b a b b ax a a
− + − − + −= =
所以 ．
当 时，
x (-∞，x1) x 1 (x1，x2) x2 (x2，+∞)
f’
(x)
＋ 0 － 0 ＋
f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数
所以 在 x 1， x2 处分别取得极大值和极小值．
当 时，
所 以 在 x 1， x2 处分别取得极大
值和极小值．
综上，当 满足 时， 取得极值．
(2)要使 在区间 上单调递增，需使 在 上恒成立．
即 恒成立， 所以
设 ， ，
令 得 或 (舍去)，
当 时， ，当 时 ， 单调增函数;
当 时 ， 单调减函数，
所以当 时， 取得最大，最大值为 ．所以
1 2'( ) ( )( )f x a x x x x= − −
0>a
)(xf
0 )(xf
)(xf (0,1] 2'( ) 2 1 0f x ax bx= + + ≥ (0,1]
1 , (0,1]2 2
axb xx
≥ − − ∈ max
1( )2 2
axb x
≥ − −
1( ) 2 2
axg x x
= − −
2
2 2
1( )1'( ) 2 2 2
a xa ag x x x
−
= − + =
'( ) 0g x = 1x
a
= 1x
a
= −
1>a 10 1a
< < 1(0, )x
a
∈ '( ) 0g x > 1( ) 2 2
axg x x
= − −
1( ,1]x
a
∈ '( ) 0g x < 1( ) 2 2
axg x x
= − −
1x
a
= ( )g x 1( )g a
a
= − b a≥ −
x (-∞，x2) x 2 (x2，x1) x1 (x1，+∞)
f’
(x)
－ 0 ＋ 0 －
f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数
当 时， ，此时 在区间 恒成立，所以 在区间 上单
调递增，当 时 最大，最大值为 ，所以
综上，当 时， ; 当 时， ．
20-2 解（1）
由题意得 ，即 ，所以
（2）
当 ，函数 在区间 内不可能单调递增
当 时，
则当 时， ，函数 单调递增，故当且仅当 时，
函数 在区间 内单调递增，即 时，函数 在 内单调递增．
故所求 的取值范围是
（3）直线 在点 P 处的切线斜率
令 则
所以
故当 时， ； 时，
所以直线 的斜率的取值范围是
0 1a< ≤ 1 1
a
≥ '( ) 0g x ≥ (0,1] 1( ) 2 2
axg x x
= − − (0,1]
1x = ( )g x 1(1) 2
ag
+= − 1
2
ab
+≥ −
1>a b a≥ − 0 1a< ≤ 1
2
ab
+≥ −
22
2
'
)(
)()( bx
xbaxf +
−=
−=−
=−
2)1(
0)1('
f
f
−=+
−
=+
−
21
0)1(
)1(
2
b
a
b
ba
=
=
1
4
b
a
)0()(
)()( 22
2
' >+
−−= abx
bxaxf
0)(0 ' ≤≤ xfb 时， )(xf ( )1,1−
0>b 22
'
)(
))(()( bx
bxbxaxf +
−+−=
),( bbx −∈ 0)(' >xf )(xf
≥
≤−
1
1
b
b
)(xf ( )1,1− 1≥b )(xf ( )1,1−
b [ )+∞,1
l
22
0
2
0
22
0
2
0
0 )1(
8
1
4
)1(
44)(' +
+
+
−=
+
−==
xxx
xxfk
,
1
1
2
0 +
=
x
t 10 ≤< t
2
1)4
1(848 22 −−=−= tttk
4
1=t 2
1
min −=k 1=t 4max =k
l
− 4,2
1
20-3 解法一：（Ⅰ）依题意得 ，所以 ，
令 ，得 ，
， 随 x 的变化情况入下表：
x
－ 0 + 0 －
极小值 极大值
由上表可知， 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点．
（Ⅱ） ,
由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立，
当 时， ，显然 对任意 恒成立；
当 时， 等价于 ，
因为 ，不等式 等价于 ,
令 ，
则 ，在 上显然有 恒成立，所以函数 在 单调递增，
所以 在 上的最小值为 ，
由于 对任意 恒成立等价于 对任意 恒成立，
需且只需 ，即 ，
解得 ，因为 ，所以 ．
综合上述，若函数 在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围为 ．
（Ⅱ） ,
由函数 在区间 上单调递减可知： 对任意 恒成立，
即 对任意 恒成立，
当 时， ，显然 对任意 恒成立；
2( ) (2 )exf x x x= − 2( ) (2 )exf x x′ = −
( ) 0f x′ = 2x = ±
( )f x′ ( )f x
( , 2)−∞ − 2− ( 2, 2)− 2 ( 2, )+∞
( )f x′
( )f x
2x = − ( )f x 2x = ( )f x
2 2( ) [ (2 2) 2 ]eaxf x ax a x a′ = − + − +
( )f x ( 2,2) ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈
0a = ( ) 2f x x′ = − ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈
0a > ( ) 0f x′ ≤ 2 2(2 2) 2 0ax a x a− − − ≥
( 2,2)x∈ 2 2(2 2) 2 0ax a x a− − − ≥
22 2 2ax x a
−− ≥
2( ) , [ 2,2]g x x xx
= − ∈
2
2( ) 1g x x
′ = + [ 2,2] ( ) 0g x′ > ( )g x [ 2,2]
( )g x [ 2,2] ( 2) 0g =
( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈
22 2 2ax x a
−− ≥ ( 2,2)x∈
2
min
2 2( ) ag x a
−≥
22 20 a
a
−≥
1 1a− ≤ ≤ 0a > 0 1a< ≤
( )f x ( 2,2) 0 1a≤ ≤
2 2( ) [ (2 2) 2 ]eaxf x ax a x a′ = − + − +
( )f x ( 2,2) ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈
2 2(2 2) 2 0ax a x a− − − ≥ ( 2,2)x∈
0a = ( ) 2f x x′ = − ( ) 0f x′ ≤ ( 2,2)x∈
当 时，令 ，则函数 图象的对称轴为 ，
若 ，即 时，函数 在 单调递增，
要使 对 恒成立，需且只需 ，解得 ，所以 ;
若 ，即 时，由于函数 的图象是连续不间断的，
假如 对任意 恒成立，则有 ，解得 ，与 矛盾，所以
不能对任意 恒成立．
综合上述，若函数 在区间 上单调递减，则实数 a 的取值范围为 ．
21-1 解：（I）
当 时，由 ，解得 ；由 ，解得 ．
所以 的单调递增区间为（0， ）,单调递减区间为（ , ．
当 由 ，解得 ；由 ，解得 ．
所以 的单调递增区间为（ , ,单调递减区间为（0， ）．
（II）由 ，得 ，
+3 ，
所以 ，
因为 在区间 上不是单调函数，且 ，
所以 即 ，解得 ．
0a > 2 2( ) (2 2) 2h x ax a x a= − − − ( )h x
2 1ax a
−=
2 1 0a
a
− ≤ 0 1a< ≤ ( )h x (0, )+∞
( ) 0h x ≥ ( 2,2)x∈ ( 2) 0h ≥ 1 1a− ≤ ≤ 0 1a< ≤
2 1 0a
a
− > 1a > ( )h x
( ) 0h x ≥ ( 2,2)x∈ ( 2) 0h ≥ 1 1a− ≤ ≤ 1a > ( ) 0h x ≥
( 2,2)x∈
( )f x ( 2,2) 0 1a≤ ≤
)0()21()(' >−= xx
xaxf
0a > 0)(' >xf 2
10 << x ( ) 0f x <‘ 1
2x >
)(xf 2
1
2
1 )∞+
时，0xf 1
2x > ( ) 0f x <‘
2
10 << x
)(xf 2
1 )∞+
2
1
2
3
2
3)2(' =−= af 1−=a
xxxf 2ln)( +−= 23 )21(3
1)( xmxxxg ++−+=
' 2( ) (4 2 ) 1g x x m x= + + −
( )g x (1,3) ' (0) 1g = −
'
'
(1) 0,
(3) 0,
g
g
< >
4 2 0,
20 6 0,
m
m
+ <
+ > 23
10 −<<− m
21-2 解:
（Ⅰ）当 时， ,
, ,
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（Ⅱ） ,
考虑到 恒成立且 系数为正，
所以 在 上单调等价于 恒成立．
所以 ,解得 的取值范围是[-2，2]．
（Ⅲ）当 时, ,
令 ，得 ，或 x=1，
令 ，得 ，或 x>1，
令 ，得 .
, , 的变化情况如下表
X 1 )
+ 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
所以，函数 的极小值为 ．
22-1 解：（Ⅰ）可得 ．
2( ) [ ( 2) 2]xf x e x a x a′ = + + + +
0a = 2( ) ( 2) ,xf x x e= + 2( ) ( 2 2)xf x e x x′ = + +
(1) 3f e= (1) 5f e′ =
( )f x (1, (1))A f 3 5 ( 1)y e e x− = −
5 2 0ex y e− − =
2( ) [ ( 2) 2]xf x e x a x a′ = + + + +
0xe > 2x
( )f x R 2 ( 2) 2 0x a x a+ + + + ≥
2( 2) 4( 2) 0a a+ − + ≤ a
5
2a = − 2 5( ) ( 2) ,2
xf x x x e= − + 2 1 1( ) ( )2 2
xf x e x x′ = − −
( ) 0f x′ = 1
2x = −
( ) 0f x′ > 1
2x < −
( ) 0f x′ < 1 12 x− < <
x ( )f x′ ( )f x
1( , )2
−∞ − 1
2
− 1( ,1)2
− (1,+∞
( )f x′
( )f x 1(1) 2f e=
'
2
1 ln( ) xf x x
−=
当 时, , 为增函数;当 时, , 为减函数．
（Ⅱ）依题意， 转化为不等式 对于 恒成立，
令 ，则 ，
当 时，因为 ， 是 上的增函数，
当 时， ， 是 上的减函数，
所以 的最小值是 ，
从而 的取值范围是 ．
（Ⅲ）转化为 ， 与 在公共点 处的切线相
同．
由题意知
解得： ，或 （舍去），代人第一式，即有 ．
22-2 解：（Ⅰ） 的定义域为 ．
因为 ，所以 在 上是增函数，
当 时， 取得最小值 ．
所以 在 上的最小值为 1．
（Ⅱ）解法一：
设 ，
依题意，在区间 上存在子区间使得不等式 成立．
因为抛物线 开口向上，
0 x e< < ' ( ) 0f x > ( )f x e x< ' ( ) 0f x < ( )f x
xxa 1ln +< 0>x
1( ) lng x x x
= + 2
1 1 1 1( ) 1g x x x x x
′ = − = −
1x > 1 1( ) 1 0g x x x
′ = − > ( )g x (1 )+ ∞，
( )1,0∈x ( ) 0<′ xg ( )g x ( )1,0
( )g x (1) 1g =
a ( )1,∞−
mxxx −+=
3
2
6
1ln 2 xy ln= mxxy −+=
3
2
6
1 2
0 0( , )x y
+=
−+=
3
2
3
11
3
2
6
1ln
0
0
0
2
00
xx
mxxx
0 1x = 0 3x = −
6
5=m
)(xf (0, )+ ∞
1( ) 2 0f x xx
′ = + > ( )f x [1, ]e
1x = ( )f x (1) 1f =
( )f x [1, ]e
21 2 2 1( ) 2( ) x axf x x ax x
− +′ = + − =
2( ) 2 2 1g x x ax= − +
1[ , 2]2
( ) 0g x >
2( ) 2 2 1g x x ax= − +
所以只要 ，或 即可．
由 ，即 ，得 ，
由 ，即 ，得 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 ．
解法二： ，
依题意得，在区间 上存在子区间使不等式 成立．
又因为 ，所以 ．
设 ，所以 小于函数 在区间 的最大值．
又因为 ，
由 解得 ；
由 解得 ．
所以函数 在区间 上递增，在区间 上递减．
所以函数 在 ，或 处取得最大值．
又 ， ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 ．
(2) 0g > 1( ) 02g >
(2) 0g > 8 4 1 0a− + > 9
4a <
1( ) 02g > 1 1 02 a− + > 3
2a <
9
4a <
a 9( , )4
−∞
21 2 2 1( ) 2( ) x axf x x ax x
− +′ = + − =
1[ , 2]2
22 2 1 0x ax− + >
0x > 12 (2 )a x x
< +
1( ) 2g x x x
= + 2a ( )g x 1[ , 2]2
2
1( ) 2g x x
′ = −
2
1( ) 2 0g x x
′ = − > 2
2x >
2
1( ) 2 0g x x
′ = − < 20 2x< <
( )g x 2( , 2)2
1 2( , )2 2
( )g x 1
2x = 2x =
9(2) 2g = 1( ) 32g = 92 2a < 9
4a <
a 9( , )4
−∞
22-3 解：（Ⅰ） ．
（Ⅱ）①当 时， 是开口向上的抛物线，
显然在 上存在子区间使得 ，所以 的取值范围是 ．
②当 时，显然成立．
③当 时， 是开口向下的抛物线，要使 在 上存在子区间
使 ，应满足 或
解得 ，或 ，所以 的取值范围是 ．
则 的取值范围是 ．
23-1 解：（Ⅰ） 的定义域为 ，
当 时， ， ，
所以 在 处取得极小值 1．
（Ⅱ） ，
，
2 2( ) 2 (1 )f x mx ax b′ = + + −
0m > 2( ) 2 1f x mx x′ = + −
(2, )+ ∞ ( ) 0f x′ > m (0, )+ ∞
0m =
0m < 2( ) 2 1f x mx x′ = + − ( )f x′ (2, )+ ∞
( ) 0f x′ >
0,
1 2,
1( ) 0,
m
m
f m
<
− ≥
′ − >
0,
1 2,
(2) 0.
m
m
f
<
− <
′ >
1 02 m− <≤ 3 1
4 2m− < < − m 3( , 0)4
−
m 3( , )4
− +∞
( )f x (0, )+∞
1a = ( ) lnf x x x= − 1 1( ) 1 xf x x x
−′ = − =
( )f x 1x =
1( ) lnah x x a xx
+= + −
2
2 2 2
1 (1 ) ( 1)[ (1 )]( ) 1 a a x ax a x x ah x x x x x
+ − − + + − +′ = − − = =
1
— 0 +
极小
x (0,1) (1, )+∞
( )f x′
( )f x
①当 时，即 时，在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 ，即 时，在 上 ，
所以，函数 在 上单调递增．
（III）在 上存在一点 ，使得 成立，即
在 上存在一点 ，使得 ，即
函数 在 上的最小值小于零．
由（Ⅱ）可知
①即 ，即 时， 在 上单调递减，
所以 的最小值为 ，由 可得 ，
因为 ，所以 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递增，
所以 最小值为 ，由 可得 ；
③当 ，即 时， 可得 最小值为 ，
因为 ，所以，
故
此时， 不成立．
综上讨论可得所求 的范围是： 或 ．
23-2 解:（I）因为函数 有三个极值点,
所以 有三个互异的实根．
设 则
当 时， 在 上为增函数；
1 0a + > 1a > − (0,1 )a+ ( ) 0h x′ < (1 , )a+ +∞ ( ) 0h x′ >
( )h x (0,1 )a+ (1 , )a+ +∞
1 0a+ ≤ 1a ≤ − (0, )+∞ ( ) 0h x′ >
( )h x (0, )+∞
[ ]1,e 0x 0( )f x < 0( )g x
[ ]1,e 0x 0( ) 0h x <
1( ) lnah x x a xx
+= + − [ ]1,e
1 ea+ ≥ e 1a ≥ − ( )h x [ ]1,e
( )h x (e)h 1(e) e 0e
ah a
+= + − <
2e 1
e 1a
+> −
2e 1 e 1e 1
+ > −−
2e 1
e 1a
+> −
1 1a+ ≤ 0a ≤ ( )h x [ ]1,e
( )h x (1)h (1) 1 1 0h a= + + < 2a < −
1 1 ea< + < 0 e 1a< < − ( )h x (1 )h a+
0 ln(1 ) 1a< + < 0 ln(1 )a a a< + <
(1 ) 2 ln(1 ) 2h a a a a+ = + − + >
(1 ) 0h a+ <
a
2e 1
e 1a
+> − 2a < −
4 3 21 9( ) 4 2f x x x x cx= + − +
3 2( ) 3 9 0f x x x x c′ = + − + =
3 2( ) 3 9 ,g x x x x c= + − + 2( ) 3 6 9 3( 3)( 1),g x x x x x′ = + − = + −
3x < − ( ) 0,g x′ > ( )g x ( , 3)−∞ −
当 时， 在 上为减函数；
当 时， 在 上为增函数；
所以函数 在 时取极大值,在 时取极小值．
当 或 时, 最多只有两个不同实根．
因为 有三个不同实根, 所以 且 ．
即 ,且 ，
解得 且 故 ．
（II）由（I）的证明可知，当 时, 有三个极值点，不妨设为
（ ），则
所以 的单调递减区间是 , ．
若 在区间 上单调递减，
则 , 或 ,
若 ,则 ．由（I）知， ,于是 ．
若 ,则 且 ．由（I）知， ．
又 ，当 时， ；
当 时， ．
因此, 当 时， 所以 且 ．
即 ，故 或 ．
反之, 当 或 时，总可找到 ，使函数 在区间 上单调递
减．
综上所述, 的取值范围是 ．
24-1 解：（Ⅰ）因为
3 1x− < < ( ) 0,g x′ < ( )g x ( 3,1)−
1x > ( ) 0,g x′ > ( )g x (1, )+∞
( )g x 3x = − 1x =
( 3) 0g − ≤ (1) 0g ≥ ( ) 0g x =
( ) 0g x = ( 3) 0g − > (1) 0g <
27 27 27 0c− + + + > 1 3 9 0c+ − + <
27,c > − 5,c < 27 5c− < <
27 5c− < < ( )f x 1 2 3x x x， ，
1 2 3x x x< < 1 2 3( ) ( )( )( ).f x x x x x x x′ = − − −
( )f x 1( ]x−∞， 2 3[ , ]x x
)(xf [ ], 2a a +
[ ], 2a a + ⊆ 1( ]x−∞， [ ], 2a a + ⊆ 2 3[ , ]x x
[ ], 2a a + ⊂ 1( ]x−∞， 12a x+ ≤ 1 3x < − 5a < −
[ ], 2a a + ⊂ 2 3[ , ]x x 2a x≥ 32a x+ ≤ 23 1x− < <
3 2( ) 3 9f x x x x c′ = + − + 27c = − 2( ) ( 3)( 3)f x x x′ = − +
5c = 2( ) ( 5)( 1)f x x x′ = + −
27 5c− < < 31 3.x< < 3,a > − 2 3a + ≤
3 1a− < < 5,a < − 3 1a− < <
5,a < − 3 1a− < < ( 27,5)c∈ − )(xf [ ], 2a a +
a ( 5) ( 3,1)−∞ − −，
( )' 2 101
af x xx
= + −+
所以
因此
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
当 时，
当 时，
所以 的单调增区间是
的单调减区间是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，且当
或 时， ，
所以 的极大值为 ，极小值为 ．
因此 ，
，
所以在 的三个单调区间 内，
直线 有 的图象各有一个交点，当且仅当
因此， 的取值范围为 ．
24-2 解: (I) 直线 的斜率为 1．
函数 的定义域为 ，
因为 ，所以 ，所以 ．
所以 ． ．
由 解得 ；由 解得 ．
( )' 3 6 10 04
af = + − =
16a =
( ) ( ) ( )216ln 1 10 , 1,f x x x x x= + + − ∈ − +∞
( ) ( )2
' 2 4 3
1
x x
f x x
− +
= +
( ) ( )1,1 3,x∈ − +∞ ( )' 0f x >
( )1,3x∈ ( )' 0f x <
( )f x ( ) ( )1,1 , 3,− +∞
( )f x ( )1,3
( )f x ( )1,1− ( )1,3 ( )3,+∞ 1x =
3x = ( )' 0f x =
( )f x ( )1 16ln 2 9f = − ( )3 32ln 2 21f = −
( ) ( )216 16 10 16 16ln 2 9 1f f= − × > − =
( ) ( )2 1 32 11 21 3f e f− − < − + = − <
( )f x ( ) ( ) ( )1,1 , 1,3 , 3,− +∞
y b= ( )y f x= ( ) ( )3 1f b f< <
b ( )32ln 2 21,16ln 2 9− −
2y x= +
( )f x (0, )+∞
2
2( ) af x x x
′ = − + 2
2(1) 11 1
af ′ = − + = − 1a =
2( ) ln 2f x xx
= + − 2
2( ) xf x x
−′ =
( ) 0f x′ > 2x > ( ) 0f x′ < 0 2x< <
所以 的单调增区间是 ,单调减区间是 ．
(II) ，
由 解得 ；由 解得 ．
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减．
所以当 时，函数 取得最小值， ．
因为对于 都有 成立，
所以 即可．
则 ． 由 解得 ．
所以 的取值范围是 ．
(III)依题得 ，则 ．
由 解得 ；由 解得 ．
所以函数 在区间 为减函数，在区间 为增函数．
又因为函数 在区间 上有两个零点，所以
解得 ．
所以 的取值范围是 ．
24-3 解： ，令 ，得 或 ．
因为在 和 内 ，所以 在 和 内是增函数，
( )f x (2, )+∞ (0,2)
2 2
2 2( ) a axf x x x x
−′ = − + =
( ) 0f x′ > 2x a
> ( ) 0f x′ < 20 x a
< <
( )f x 2( , )a
+ ∞ 2(0, )a
2x a
= ( )f x min
2( )y f a
=
(0, )x∀ ∈ +∞ ( ) 2( 1)f x a> −
2( ) 2( 1)f aa
> −
2 2ln 2 2( 1)2 a aa
a
+ − > − 2lna aa
> 20 a e
< <
a 2(0, )e
2( ) ln 2g x x x bx
= + + − −
2
2
2( ) x xg x x
+ −′ =
( ) 0g x′ > 1x > ( ) 0g x′ < 0 1x< <
( )g x (0, 1) (1, )+ ∞
( )g x 1[ , ]e e−
1( ) 0,
( ) 0,
(1) 0.
g e
g e
g
−
<
≥
≥
21 1b ee
< + −≤
b 2(1, 1]ee
+ −
2'( ) 2f x x x= − − '( ) 0f x = 1 2x = 2 1x = −
( , 1)−∞ − (2, )+∞ '( ) 0f x > ( )f x ( , 1)−∞ − (2, )+∞
又在 内 ，所以 在 内是减函数．
所以 是 的极大值点， 是 的极小值点．
令 ,
当 时，
， ，
所以方程 有不同的三个根．
24-4 解：（Ⅰ）因为
所以
因此 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
．
当 时， ;
当 时， ．
所以 的单调增区间是 ;
的单调减区间是
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 在 内单调增加，在 内单调减少，在 上单调增加，且当
或 时， ．
所以 的极大值为 ，极小值为 ．
所以在 的三个单调区间 直线 有 的图象各有一个交点，当且
仅当 ．
( 1,2)− '( ) 0f x < ( )f x ( 1,2)−
2 1x = − ( )f x 1 2x = ( )f x
7( 1) 0 7 106
10 6 3(2) 03
f a
a
f a
− = + > ⇔ − < <
= − + <
7 10
6 3a− < <
( 6) 72 18 12 78 0f a a− = − − + + = − < (6) 72 18 12 42 0f a a= − − + = + >
( ) 0f x =
( )' 2 101
af x xx
= + −+
( )' 3 6 10 04
af = + − =
16a =
( ) ( ) ( )216ln 1 10 , 1,f x x x x x= + + − ∈ − +∞
( ) ( )2
' 2 4 3
1
x x
f x x
− +
= +
( ) ( )1,1 3,x∈ − +∞ ( )' 0f x >
( )1,3x∈ ( )' 0f x <
( )f x ( ) ( )1,1 , 3,− +∞
( )f x ( )1,3
( )f x ( )1,1− ( )1,3 ( )3,+∞ 1x =
3x = ( )' 0f x =
( )f x ( )1 16ln 2 9f = − ( )3 32ln 2 21f = −
( )f x ( ) ( ) ( )1,1 , 1,3 , 3,− +∞ y b= ( )y f x=
( ) ( )3 1f b f< <
因此， 的取值范围为 ．
25-1 解：（Ⅰ）当 时，
得
令 ，即 ，解得 ，所以函数 在 上为增函数，
据此，函数 在 上为增函数，
而 ， ，所以函数 在 上的值域为
（Ⅱ）由 令 ，得 即
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增；
若 ，即 ，易得函数 在 上为增函数，
此时， ，要使 对 恒成立，只需 即可，
所以有 ，即
而 ，即 ，所以此时无解．
若 ，即 ，易知函数 在 上为减函数，在 上为增函数，
要使 对 恒成立，只需 ，即 ，
由 和
得 ．
若 ，即 ，易得函数 在 上为减函数，
此时， ，要使 对 恒成立，只需 即可，
所以有 ，即 ，又因为 ，所以 ．
b ( )32ln 2 21,16ln 2 9− −
1a = − ( ) ln ,f x x x= −
1( ) 1 ,f x x
′ = −
( ) 0f x′ > 11 0x
− > 1x > ( )f x (1, )+∞
( )f x 2[e,e ]
(e) e 1f = − 2 2(e ) e 2f = − ( )f x 2[e,e ] 2[e 1,e 2]− −
( ) 1 ,af x x
′ = + ( ) 0f x′ = 1 0,a
x
+ = ,x a= −
(0, )x a∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )a−
( , )x a∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )a− +∞
1 ea≤ − ≤ e 1a− ≤ ≤ − ( )f x 2[e,e ]
2
max( ) (e )f x f= ( ) e 1f x ≤ − 2[e,e ]x∈ 2(e ) e 1f ≤ −
2e 2 e 1a+ ≤ −
2e e 1
2a
− + −≤
2 2e e 1 (e 3e 1)( e) 02 2
− + − − − +− − = <
2e e 1 e2
− + − < −
2e ea< − < 2e ea− > > − ( )f x [e, ]a− 2[ ,e ]a−
( ) e 1f x ≤ − 2[e,e ]x∈ 2
(e) e 1
(e ) e 1
f
f
≤ −
≤ −
2
1
e e 1
2
a
a
≤ − − + −≤
2 2e e 1 e e 1( 1) 02 2
− + − − + +− − = <
2 2
2e e 1 e e 1( e ) 02 2
− + − + −− − = >
2
2 e e 1e 2a
− + −− < ≤
2ea− ≥ 2ea ≤ − ( )f x 2[e,e ]
max( ) (e)f x f= ( ) e 1f x ≤ − 2[e,e ]x∈ (e) e 1f ≤ −
e e 1a+ ≤ − 1a ≤ − 2ea ≤ − 2ea ≤ −
综合上述，实数 a 的取值范围是 ．
25-2 解：（Ⅰ）
（1）当 ，即 时， ，不成立．
（2）当 ，即 时，单调减区间为 ．
（3）当 ，即 时，单调减区间为 ．
（Ⅱ） ，
在 上递增，在 上递减，在 上递增．
（1）当 时，函数 在 上递增，
所以函数 在 上的最大值是 ，
若对 有 恒成立，需要有 解得 ．
（2）当 时，有 ，此时函数 在 上递增，在 上递减，所以函
数 在 上的最大值是 ，
若对 有 恒成立，需要有 解得 ．
（3）当 时，有 ，此时函数 在 上递减，在 上递增，
所以函数 在 上的最大值是 或者是 ．
由 ，
① 时， ，
若对 有 恒成立，需要有
解得 ．
② 时， ，
若对 有 恒成立，需要有 解得 ．
2e e 1( , ]2
− + −−∞
2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 ) 0f x x ax a x a x a= − + = − − <
3a a= 0a = 2'( ) 3 0f x x= >
3a a> 0a < (3 , )a a
3a a< 0a > ( ,3 )a a
2 2'( ) 3 12 9 3( )( 3 )f x x ax a x a x a= − + = − −
( )f x (0, )a ( ,3 )a a (3 , )a +∞
3a ≥ ( )f x [0,3]
( )f x [0,3] (3)f
[ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ (3) 4,
3,
f
a
≤
≥ a ∈∅
1 3a≤ < 3 3a a< ≤ ( )f x [0, ]a [ ,3]a
( )f x [0,3] ( )f a
[ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤ ( ) 4,
1 3,
f a
a
≤
≤ < 1a =
1a < 3 3a> ( )f x [ ,3 ]a a [3 ,3]a
( )f x [0,3] ( )f a (3)f
2( ) (3) ( 3) (4 3)f a f a a− = − −
30 4a< ≤ ( ) (3)f a f≤
[ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤
(3) 4,
30 ,4
f
a
≤ < ≤
2 3 3[1 , ]9 4a∈ −
3 14 a< < ( ) (3)f a f>
[ ]0,3x∀ ∈ ( ) 4f x ≤
( ) 4,
3 1,4
f a
a
≤ < <
3( ,1)4a∈
综上所述， ．
26-1 解：（I） 的定义域为 ．
．
根据题意，有 ，所以 ，
解得 或 ．
（II） ．
（1）当 时，因为 ，
由 得 ，解得 ；
由 得 ，解得 ．
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）当 时，因为 ，
由 得 ，解得 ；
由 得 ，解得 ．
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
（III）由（Ⅱ）知，当 时，函数 的最小值为 ，
且 ．
，
令 ，得 ．
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
2 3[1 ,1]9a∈ −
( )f x { | 0}x x >
( ) ( )2
2
2 1 0a af x xx x
′ = − + >
( )1 2f ′ = − 22 3 0a a− − =
1a = − 3
2a =
( ) ( )2 2 2
2 2 2
2 2 ( )( 2 )1 0a a x ax a x a x af x xx x x x
+ − − +′ = − + = = >
0a > 0x >
( ) 0f x′ > ( )( 2 ) 0x a x a− + > x a>
( ) 0f x′ < ( )( 2 ) 0x a x a− + < 0 x a< <
( )f x ( ),a +∞ ( )0,a
0a < 0x >
( ) 0f x′ > ( )( 2 ) 0x a x a− + > 2x a> −
( ) 0f x′ < ( )( 2 ) 0x a x a− + < 0 2x a< < −
( )f x ( )0, 2a− ( )2 ,a− +∞
( ,0)a∈ −∞ ( )f x ( )g a
22( ) ( 2 ) ln( 2 ) 2 ln( 2 ) 32
ag a f a a a a a a aa
= − = − + − = − −−
2( ) ln( 2 ) 3 ln( 2 ) 22g a a a aa
−′ = − + − = − −−
( ) 0g a′ = 21 e2a = −
a ( )g a′ ( )g a
a 21( , e )2
−∞ − 21 e2
− 21( e ,0)2
−
＋ 0 －
极大值
是 在 上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是 的最大值点．
所以
．
所以，当 时， 成立．
26-2（Ⅰ）解： ．
由 题 意 有 即 ， 解 得 或 （ 舍 去 ）．得 即
，解得 ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 ，
．
在区间 上，有 ；在区间 上，有 ．
故 在 单调递减，在 单调递增，
于是函数 在 上的最小值是 ．
故当 时，有 恒成立．
(Ⅲ)解： ．
当 时，则 ，当且仅当 时等号成
立，故 的最小值 ，符合题意；
当 时，函数 在区间 上是增函数，不存在最小值，不合题意；
( )g a′
( )g a
21 e2
− ( )g a ( ,0)−∞ ( )g a
( ) 2 2 2 21 1 1 1( e ) e ln[ 2 ( e )] 3( e )2 2 2 2最大值g a g= − = − − × − − −
2 2 2 21 3 1e ln e e e2 2 2
= − + =
( ,0)a∈ −∞ 21( ) e2g a ≤
23e( ) 2ef x x x
′ = + −
0( ) 0f x′ =
2
0
0
3e2e 0x x
+ − = 0 ex = 0 3ex = − (e) 0f =
2 2 21 e 2e 3e ln e 02 b+ − − = 21 e2b = −
2
2 21 e( ) 2e 3e ln ( 0)2 2f x x x x x= + − + >
( )f x′ 23e ( e)( 3e)2e ( 0)x xx xx x
− += + − = >
(0,e) ( ) 0f x′ < (e, )+∞ ( ) 0f x′ >
( )f x (0,e) (e, )+∞
( )f x (0, )+∞ (e) 0f =
0x > ( ) 0f x ≥
23e( ) ( ) 2ea aF x f x xx x
−′= + = + + ( 0)x >
23ea >
2
23e( ) 2e 2 3e 2eaF x x ax
−= + + ≥ − + 23ex a= −
( )F x 22 3e 2em a= − + 2e>
23ea = ( ) 2eF x x= + (0, )+∞
当 时，函数 在区间 上是增函数，不存在最小值，不合
题意．
综上，实数 的取值范围是 ．
27-1（Ⅰ）解： 的定义域为 ．
．
令 ， 或 ．
当 时， ，函数 与 随 的变化情况如下表：
0 0
极小值
极大
值
所以，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ．
当 时， ． 所以，函数 的单调递减区间是 ．
当 时， ，函数 与 随 的变化情况如下表：
0
0 0
极小值
极大
值
所以，函数 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 和 ．
（ Ⅱ ） 证 明 ： 当 时 ， 由 （ Ⅰ ） 知 ， 的 极 小 值 为 ， 极 大 值 为
．
因 为 ， ， 且 在
23ea <
23e( ) 2eaF x x x
−= + + (0, )+∞
a 2(3e , )+∞
( )f x ( , )a +∞
2 ( 1)'( ) 1a x a xf x xx a x a
− + += − + =− −
'( ) 0f x = 0x = +1x a=
1 0a− < < +1 0a > ( )f x '( )f x x
x ( ,0)a 0 (0, 1)a + 1a + ( 1, )a + +∞
( )f x − + −
'( )f x
( )f x (0, 1)a + ( ,0)a ( 1, )a + +¥
1a =-
2
'( ) 01
xf x x
−= ≤+ ( )f x ( 1, )- +¥
1a < − +1 0a < ( )f x '( )f x x
x ( , 1)a a + 1a + ( 1,0)a + (0, )+∞
( )f x − + −
'( )f x
( )f x ( 1,0)a + ( , 1)a a + (0, )+¥
1 2(ln2 1) 0a− < < − < ( )f x (0)f
( 1)f a +
(0) ln( ) 0f a a= − > 2 21 1( 1) ( 1) ( 1) (1 ) 02 2f a a a a+ = − + + + = − > ( )f x
上是减函数，
所以 至多有一个零点．
又因为 ，
所以 函数 只有一个零点 ，且 ．
（Ⅲ）解：因为 ，
所以 对任意 且 由(Ⅱ)可知： ， ，且 ．
因为 函数 在 上是增函数，在 上是减函数，
所以 ， ．
所以 ．
当 时， = >0．
所以 ．
所以 的最小值为 ．
所以 使得 恒成立的 的最大值为 ．
27-2（Ⅰ）解：由 ，可得 ．
当 单调递减，
当 单调递增．
所以函数 在区间 上单调递增，
又 ，
所以函数 在区间 上的最小值为 ．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知 在 时取得最小值，
( 1, )a + +¥
( )f x
21 1( 2) ln 2 [ 2(ln 2 1)] 02 2f a a a a a a+ = − − = − − − <
( )f x 0x 01 2a x a+ < < +
41 2(ln 2 1)5
− < − < −
1 2 0, [0, ]x x x∈ 2 1 1,x x− = 1 [0, 1)x a∈ + 2 0( 1, ]x a x∈ + 2 1x ≥
( )f x [0, 1)a + ( 1, )a + +¥
1( )f x (0)f≥ 2( )f x (1)f≤
1 2( ) ( ) (0) (1)f x f x f f- ³ -
4
5a = − 1(0) (1) ln( )1 2
af f a a
− = −−
4 9 1ln5 4 2
−
1 2( ) ( ) (0) (1) 0f x f x f f- ³ - >
2 1( ) ( )f x f x− 4 9 1(0) (1) ln5 4 2f f− = −
2 1( ) ( )f x f x m− ≥ m 4 9 1ln5 4 2
−
( ) lnf x x x= ( ) ln 1f x x′ = +
1(0, ), ( ) 0, ( )x f x f xe
′∈ <
1( , ), ( ) 0, ( )x f x f xe
′∈ +∞ >
( )f x [1,3]
(1) 0f =
( )f x [1,3] 0
( ) ln ( (0, ))f x x x x= ∈ +∞ 1x e
=
又 ，
可知 ．
由 ，可得 ．
所以当 单调递增，
当 单调递减．
所以函数 在 时取得最大值，
又 ，
可知 ，
所以对任意 ，都有 成立．
28-1（Ⅰ）解：当 时， ， ．
由 ， 得曲线 在原点处的切线方程是 ．
（Ⅱ）解： ．
① 当 时， ．
所以 在 单调递增，在 单调递减．
当 ， ．
② 当 时，令 ，得 ， ， 与 的情况如下：
1 1( )f e e
= −
1( )f m e
≥ −
2( ) x
xg x e e
= − 1'( ) x
xg x e
−=
(0,1), '( ) 0, ( )x g x g x∈ >
(1, ), '( ) 0, ( )x g x g x∈ +∞ <
( )( 0)g x x > 1x =
1(1)g e
= −
1( )g n e
≤ −
, (0, )m n∈ +∞ ( ) ( )f m g n≥
1a =
2
2( ) 1
xf x x
= + 2 2
( 1)( 1)( ) 2 ( 1)
x xf x x
+ −′ = − +
(0) 2f ′ = ( )y f x= 2 0x y− =
2
( )( 1)( ) 2 1
x a axf x x
+ −′ = − +
0a =
2
2( ) 1
xf x x
′ = +
( )f x (0, )+∞ ( ,0)−∞
0a ≠ 2
1( )( )
( ) 2 1
x a x af x a x
+ −
′ = − +
0a > ( ) 0f x′ = 1x a= − 2
1x a
= ( )f x ( )f x′
故 的 单 调
减区间是 ， ；单调增区间是 ．
③ 当 时， 与 的情况如下：
所 以 的 单 调
增 区 间 是
； 单
调减区间是 ， ．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得， 时不合题意．
当 时，由（Ⅱ）得， 在 单调递增，在 单调递减，所以 在 上存
在最大值 ．
设 为 的零点，易知 ，且 ．从而 时， ； 时，
．
若 在 上存在最小值，必有 ，解得 ．
所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 ．
当 时，由（Ⅱ）得， 在 单调递减，在 单调递增，所以 在
上存在最小值 ．
若 在 上存在最大值，必有 ，解得 ，或 ．
所以 时，若 在 上存在最大值和最小值， 的取值范围是 ．
)(xf
( , )a−∞ − 1( , )a
+∞ 1( , )a a
−
0a < ( )f x ( )f x′
( )f x
1( , )a
−∞
1( , )aa
− − ( , )a− +∞
0a =
0a > )(xf 1(0, )a
1( , )a
+∞ )(xf (0, )+∞
21( ) 0f aa
= >
0x )(xf
2
0
1
2
ax a
−= 0
1x a
< 0x x> ( ) 0f x > 0x x<
( ) 0f x <
)(xf [0, )+∞ (0) 0f ≤ 1 1a− ≤ ≤
0a > )(xf [0, )+∞ a (0,1]
0a < )(xf (0, )a− ( , )a− +∞ )(xf (0, )+∞
( ) 1f a− = −
)(xf [0, )+∞ (0) 0f ≥ 1a ≥ 1a ≤ −
0a < )(xf [0, )+∞ a ( , 1]−∞ −
↘ ↗ ↘
↗ ↘ ↗
x 1( , )x−∞ 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x + ∞
( )f x′ − 0 + 0 −
( )f x 1( )f x 2( )f x
x 2( , )x−∞ 2x 2 1( , )x x 1x 1( , )x + ∞
( )f x′ + 0 − 0 +
( )f x 2( )f x 1( )f x
综上， 的取值范围是 ．
28-2 解：（Ⅰ） ，
当 时， 取最小值 ，
即 ．
（Ⅱ）令 ，
由 得 ， （不合题意，舍去）．
当 变化时 ， 的变化情况如下表：
递增
极大值
递减
在 内有最大值 ．
在 内恒成立等价于 在 内恒成立，
即等价于 ，
所以 的取值范围为 ．
28-3 解:（Ⅰ）对 求导得 ,
由题意 是方程 的两根．
由 ,且 得 即
,由(1)(2)所表示的平面区域可求得
,故 ．
所以 的取值范围是 ．
(Ⅱ)方程 的两根为 ,
由根与系数的关系得
a ( , 1] (0,1]−∞ −
2 3( ) ( ) 1( 0)f x t x t t t x t= + − + − ∈ >R ，
∴ x t= − ( )f x 3( ) 1f t t t− = − + −
3( ) 1h t t t= − + − ( )0t >
3( ) ( ) ( 2 ) 3 1g t h t t m t t m= − − + = − + − −
2( ) 3 3 0g t t′ = − + = 1t = 1t = −
t ( )g t′ ( )g t
t (01)， 1 (1 2)，
( )g t′ + 0 −
( )g t
1 m−
( )g t∴ (0 2)， (1) 1g m= −
( ) 2h t t m< − + (0 2)， ( ) 0g t < (0 2)，
1 0m− <
m 1m >
)(xf 1)1()( 2 +−+=′ xbaxxf
21, xx 0)( =′ xf
42 21 <<< xx 0>a
>′
<′
,0)4(
,0)2(
f
f
>−+
<−+
)2(,03416
)1(,0124
ba
ba
3241)1(24)2( +−=+−−=−′ babaf
024 >− ba 3324)2( >+−=−′ baf
)2(−′f ( )+∞,3
01)1(2 =+−+ xbax 21, xx
=
−−=+
,1
,1
21
21
axx
a
bxx
由于 ,两式相除得 ,即 ．
由条件 可得 ,易知当 时, 是增函数,当
时, ,
故 的取值范围是 ． 得证．
(Ⅲ)因为 的两根是 ,故可设 ,所以
．
由于 ,因此 又 ,可知 ,
故 ,
当且仅当 即 时取等号．
所以 , ,当 时, , 在 内是增
函数,又 在 上连续,故 在 上是增函数．
所以 ．
29-1解：（Ⅰ） ，
易知，当 ，即 时， ， 在区间 上是增函数．
当 时， ， 在区间 上是减函数．
021 ≠xx
2121
21 11)1( xxxx
xxb +=+=−− 111
21
+−−=
xxb
212 += xx 12
11)(
11
1 ++−−==
xxxb ϕ )2,0(1 ∈x )(xϕ
)2,0(1 ∈x 4
1)2()( 1 =< ϕϕ x
b
∞−
4
1,
0)( =′ xf 21, xx ))(()( 21 xxxxaxf −−=′
)2)(()(2))(()(2)()( 122212 axxxxaxxxxxxaxxxfxg +−−=−+−−−=−+′−=
( )21, xxx ∈ ,0,0 12 >−>− xxxx 2≥a 02
1 >+−
axx
21)11(2
)2()(
)2)(()( 2
2
12
12 ++=+=
+−+−
≤+−−=
aaaaaxxxx
aaxxxxaxg
axxxx 2
12 +−=−
axx 111 −+=
21)( ++=
aaah [ )+∞∈ ,2a ( )+∞∈ ,2a 011)( 2
>−=′
aah )(ah ( )+∞,2
)(ah [ )+∞,2 )(ah [ )+∞,2
2
9)2()( min == hah
2 2
2
(2 1)'( ) ( 1)( 1)
a x a xf x x ax
+ −= + +
2 1 0a − ≥ 1
2a ≥ '( ) 0f x ≥ ( )f x [0, )+∞
0a = 2'( ) 0( 1)( 1)
xf x x ax
−= ≤+ + ( )f x [0, )+∞
当 且 时， ，在区间 上 ， 在区间 上不
是增函数．
所以， 的取值范围为 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， 在区间 上是减函数，所以，当
时， ，即 ．
分别令 ，再把这 个不等式左、右相加，即得：
．
由（Ⅰ）知，当 时， 在区间 上是增函数．
所以 ，即 ，
分别令 ，再把这 个不等式左、右相加，整理得：
．
综上， ( )．
29-2 解：（1）函数的定义域为 ．
因为 ，
所以函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，
所以函数 的最小值为 ．
（2）问题等价于，当 时， 恒成立．
当 时，显然 恒成立；
当 时， ．（下面求该函数的最小值）
1
2a < 0a ≠ 2
2 1 0a
a
−− > 2
2 1[0, ]a
a
−− '( ) 0f x ≤ ( )f x [0, )+∞
a 1[ , )2
+∞
0a = ( ) ln(1 )f x x x= + − [0, )+∞ 0x >
( ) (0) 0f x f< = ln(1 )x x+ <
1 1 11, , , ,2 3x n
= ⋅⋅⋅ n
1 1 1ln( 1) 1 2 3n n
+ < + + +⋅⋅⋅+
1a = ( ) ln(1 ) 1
xf x x x
= + − + [0, )+∞
( ) (0) 0f x f> = ln(1 ) 1
xx x
+ > +
1 1 11, , , ,2 3x n
= ⋅⋅⋅ n
1 1 1 1ln( 1) 2 3 4 1n n
+ > + + +⋅⋅⋅+ +
1 1 1 1 1 1 1ln( 1) 12 3 4 1 2 3nn n
+ + +⋅⋅⋅+ < + < + + +⋅⋅⋅++ 1n ≥
R
' ( ) 1xf x e= −
( )f x ( ,0]−∞ [0, )+∞
( )f x (0) 1f =
[0,2]x∈ ( )f x ax>
0x = ( )f x ax>
(0,2]x∈ ( )( ) f xf x ax a x
> ⇔ <
令 ，
则， ，
所以， 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，
所以， ，
所以 ．
即实数 的取值范围为 ．
（3）由（1）知， ，
即， ，
令 ，则有 ，
所以 ，
即 ，
所以，
．
29-3 解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ，
．
又曲线 在点 处的切线与直线 垂直，
所以 ，
即 ．
（Ⅱ）由于 ．
( )( ) (0 2)f xg x xx
= < ≤
' 1( ) xxg x ex
−=
( )g x (0,1] [1,2]
min
(2)( ) (1) 12
fg x g e= = = −
1a e< −
a ( , 1)e−∞ −
1xe x− ≥
1xe x≥ +
( 0,1,2,3, , 1)kx k nn
= − = ⋅⋅⋅ − 1 0
k
n ke n
− ≥ − >
(1 )k nke n
− > −
( )n kn k en
−− ≤
1 2
1 2 3 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 1n n n n
n n
n
n n n n e e e− −+ + +⋅⋅⋅+ < + +⋅⋅⋅+ +
11 1
1 1 11 1
n ee
e
e e
−
= < = −− −
( )f x { }| 0x x >
2
1( ) af x x x
′ = +
( )y f x= (1, (1))f 2 0x y+ =
(1) 1 2f a′ = + =
1a =
2
1( ) axf x x
+′ =
当 时，对于 ，有 在定义域上恒成立，
即 在 上是增函数．
当 时，由 ，得 ．
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减．
（Ⅲ）当 时， ．
令 ．
．
当 时， ， 在 单调递减．
又 ，所以 在 恒为负．
所以当 时， ．
即 ．
故当 ，且 时， 成立．
30-1 解：（Ⅰ）当 时， ，
∴ ．
对于 ，有 ，∴ 在区间 上为增函数．
∴ ， ．
（Ⅱ）令 ，定义域为 ．
0a ≥ (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x (0, )+∞
0a < ( ) 0f x′ = 1 (0, )x a
= − ∈ +∞
1(0, )x a
∈ − ( ) 0f x′ > ( )f x
1( , )x a
∈ − +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x
1a = 1( 1) ln( 1) 1f x x x
− = − − − [ )2x∈ + ∞，
1( ) ln( 1) 2 51g x x xx
= − − − +−
'
2 2
1 1 (2 1)( 2)( ) 21 ( 1) ( 1)
x xg x x x x
− −= + − = −− − −
2x > ' ( ) 0g x < ( )g x (2, )+∞
(2) 0g = ( )g x (2, )+∞
[2, )x∈ +∞ ( ) 0g x ≤
1ln( 1) 2 5 01x xx
− − − + ≤−
1a = 2x ≥ ( 1) 2 5f x x− ≤ −
1=a xxxf ln2
1)( 2 +=
x
x
xxxf 11)(
2 +=+=′
∈x [ ]e,1 0)( >′ xf )(xf [ ]e,1
21)()(
2
max
eefxf +==
2
1)1()(min == fxf
xaxxaaxxfxg ln2)2
1(2)()( 2 +−−=−= ( )+∞,0
在区间 上，函数 的图象恒在直线 下方等价于 在区间 上恒成
立．
∵
，
① 若 ，令 ，解得： ， ．
当 ，即 时，在 上有 ，
此时 在区间 上是增函数，并且在该区间上有 ，不合题意；
当 ，即 ，同理可知， 在区间 上，有 ，也不合题意；
② 若 时，则有 ，此时在区间 上恒有 ，
从而 在区间 上是减函数；
要使 在此区间上恒成立，只须满足 ，
由此求得 的范围是 ．
综合①②可知，当 ∈ 时，函数 的图象恒在直线 下方．
30-2 解：（Ⅰ）当 时，函数 ， ．
，
曲线 在点 处的切线的斜率为 ．
从而曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ．
（Ⅱ） ．
令 ，要使 在定义域 内是增函数，只需 在 内恒成
立．
( )+∞,1 )(xf axy 2= 0)( a 0)( =′ xg 11 =x 12
1
2 −=
ax
112 => xx 1 12 a< < ( )+∞,2x 0)( >′ xg
)(xg ( )+∞,2x ( )+∞∈ ),()( 2xgxg
112 =< xx 1≥a )(xg ( )+∞,1 ( )+∞∈ ),1()( gxg
2
1≤a 2 1 0a − ≤ ( )+∞,1 0)( <′ xg
)(xg ( )+∞,1
0)(
p 2
4
1
e
e −
p 2
4( )1
e
e
+ ∞− ，
'
2
1 ( 1) ( 1)( ) ( 1)
a x a xf x x x
+ − −= − +
2
2
( 1) 2
( 1)
x ax
x x
+ −= +
2
2
(2 2 ) 1
( 1)
x a x
x x
+ − += +
( )f x (0, )+∞
' ( ) 0f x ≥ (0, )+∞
2 (2 2 ) 1 0x a x+ − + ≥ (0, )+∞
(0, )x∈ +∞ 2 (2 2 ) 1 0x a x+ − + ≥
12 2a x x
− ≤ +
1( )g x x x
= + (0, )x∈ +∞
1 1( ) 2 2g x x xx x
= + ≥ ⋅ =
1x x
= 1x = ( )g x 2
2 2 2a − ≤
2a ≤
a ( ,2]−∞
0m n> > 1m
n
>
ln ln 2
m n m n
m n
− +<−
只需证 ，
即证 ．
只需证 ．
设 ．
由(Ⅰ)知 在 上是单调增函数，又 ，
所以 ．
即 成立．
所以 ．
31-2 解：(1) 的定义域为 ．
2 分
（i）若 即 ,则
故 在 单调增加．
(ii)若 ,而 ,故 ,则当 时， ;
当 及 时，
故 在 单调减少，在 单调增加．
1 1
2ln
m m
n n
m
n
− +
<
2( 1)
ln
1
m
m n
mn
n
−
>
+
2( 1)
ln 0
1
m
m n
mn
n
−
− >
+
2( 1)( ) ln 1
xh x x x
−= − +
( )h x (1, )+∞ 1m
n
>
( ) (1) 0mh hn
> =
2( 1)
ln 0
1
m
m n
mn
n
−
− >
+
ln ln 2
m n m n
m n
− +<−
( )f x (0, )+∞
2
' 1 1 ( 1)( 1 )( ) a x ax a x x af x x a x x x
− − + − − + −= − + = =
1 1a − = 2a =
2
' ( 1)( ) xf x x
−=
( )f x (0, )+∞
1 1a − < 1a > 1 2a< < ( 1,1)x a∈ − ' ( ) 0f x <
(0, 1)x a∈ − (1, )x∈ +∞ ' ( ) 0f x >
( )f x ( 1,1)a − (0, 1),(1, )a − +∞
(iii)若 ,即 ,同理可得 在 单调减少，在 单调增加．
(II)考虑函数
则
由于 ，故 ，即 g(x)在(4, +∞)单调增加，
从而当 时有 ，
即 ，
故 ，
当 时，有 ．
32-1 解：（Ⅰ）对 求导，得 。
令 ，解得 ， （舍去）。
列表：
0 1
- 0 +
↘ ↗
可知 的单调减区间是 ，增区间是 ；
因为 ，
所以当 时， 的值域为 。
1 1a − > 2a > ( )f x (1, 1)a − (0,1),( 1, )a − +∞
( ) ( )g x f x x= + 21 ( 1)ln2 x ax a x x= − + − +
21 1( ) ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1 1)a ag x x a x a ax x
− −′ = − − + ≥ − − = − − −
1 5a< < ( ) 0g x′ >
1 2 0x x> > 1 2( ) ( ) 0g x g x− >
1 2 1 2( ) ( ) 0f x f x x x− + − >
1 2
1 2
( ) ( ) 1f x f x
x x
− > −−
1 20 x x< < 1 2 2 1
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) 1f x f x f x f x
x x x x
− −= > −− −
( )f x 1'( ) 2 1
2
f x x
x
= −
+
( ) 0f x′ = 1
2x = 1x = −
x
2
1,0
2
1
1,2
1
)(/ xf
)(xf 2ln 4
1
2
3ln1−
)(xf )2
1,0( )1,2
1(
1 31 ln ln 2 (ln3 1) ln 24 2
< − = − − <
]1,0[∈x )(xf 1[ ,ln 2]4
（Ⅱ）求导得 ，因为 ，
所以 ， 为[0，1]上的减函数， ，
所以 。
由题意知 ，
所以 又因为 ，解得 。
32-2 解：（Ⅰ）函数的定义域为（-1, +∞）．
∵ ,
由 ，得 x>0；由 ，得 ．
∴ f (x)的递增区间是 ，递减区间是（-1, 0）．
（Ⅱ）∵ 由 ，得 x=0,x=-2（舍去）
由（Ⅰ）知 f (x)在 上递减，在 上递增．
又 ， , 且 ．
∴ 当 时，f (x)的最大值为 ．
故当 时，不等式 f (x)1 或 x<-1（舍去）． 由 , 得 ．
∴ g(x)在[0,1]上递减, 在[1,2]上递增．
为使方程 在区间[0, 2]上恰好有两个相异的实根，
只须 g(x)=0 在[0,1]和 上各有一个实数根,于是有
∵ ,
∴ 实数 a 的取值范围是 ．
2 2'( ) 3( )g x x a= − 1−≤a )1,0(∈x
'( ) 0g x < )(xg )0()()1( gxgg ≤≤
]4,341[)( 2 aaaxg −−−∈
]4,341[]2ln,4
1[ 2 aaa −−−⊆
2 11 4 3 ,4
4 ln 2.
a a
a
− − ≤
− ≥
1−≤a 2
3−≤a
/ 1 2 ( 2)( ) 2[( 1) ]1 1
x xf x x x x
+= + − =+ +
/ ( ) 0f x > / ( ) 0f x < 1 0x− < <
(0, )+∞
/ 2 ( 2)( ) 01
x xf x x
+= =+
1[ 1, 0]e
− [0, 1]e −
2
1 1( 1) 2f e e
− = + 2( 1) 2f e e− = − 2
2
12 2e e
− > +
1[ 1, 1]x ee
∈ − − 2 2e −
2 2m e> −
2( )f x x x a= + + 1 2ln(1 ) 0x a x− + − + =
( ) 1 2ln(1 )g x x a x= − + − +
/ 2 1( ) 1 1 1
xg x x x
−= − =+ +
/ ( ) 0g x > / ( ) 0g x < 1 1x− < <
2( )f x x x a= + +
(1, 2]
(0) 0,
(1) 0,
(2) 0.
g
g
g
≥
<
≥
2 2ln 2 3 2ln3− < −
2 2ln 2 3 2ln3a− < ≤ −
33-1 解：（Ⅰ）对 求导数，得 ，
故切线 的斜率为 ，
由此得切线 的方程为 ．
令 ，得 ．
（Ⅱ）由 ，得 ．
所以 符合题意，
当 时，记 ， ．
对 求导数，得 ,
令 ，得 ．
当 时， 的变化情况如下表：
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而函数 的最小值为 ．
依题意 ， 解得 ，即 的取值范围是 ．
综上， 的取值范围是 或 ．
33-2 解：(Ⅰ)因为函数 是定义在 R 上的偶函数，且
( )f x ( ) 2f x x a′ = +
l 12x a+
l 2
1 1 1 1( ) (2 )( )y x ax x a x x− + = + −
0y =
2 2
1 1 1
2 1
1 12 2
x ax xx xx a x a
+= − + =+ +
2
2 1
1 1 1
1
( , ), ( ,0)2
xM x x ax N x a
+ +
3
1
12
xOM ON x a
⋅ = +
0a =
0a >
3
1
1
1
( ) 2
xg x x a
= + 1 ( , )2
ax ∈ −∞ −
1( )g x
2
1 1
1 2
1
(4 3 )( ) (2 )
x x ag x x a
+′ = +
1( ) 0g x′ = 1
3 ( , )4 2
a ax = − ∈ −∞ −
1 ( , )2
ax ∈ −∞ − 1( )g x′
1x 3( , )4
a−∞ − 3
4
a− 3( , )4 2
a a− −
1( )g x′ − 0 +
1( )g x 3( , )4
a−∞ − 3( , )4 2
a a− −
1( )g x 23 27( )4 32
ag a− =
227 9
32 16
aa > 2
3a > a 2( , )3
+∞
a 2( , )3a∈ +∞ 0a =
)(xfy = )1()1( xfxf −−=+−
所以 ；所以 是周期为 2 的函数．
因为 时， ，所以 ．
由 ，可知 ，所以 ， ．
(Ⅱ)因为函数 的图象在 处的切线为 ，且 ，
所以切线 过点 且斜率为 1，因此切线 的方程为 ．
因为 在 上，有 ，即 ．
因为点 构成以 为底边的等腰三角形，所以 … ①
同理 … ②
两式相减，得 ．
因为 ，所以
(Ⅲ) 假设 是等差数列，则 ，所以 ，
故存在实数 使得数列 是等差数列．
34-1 解：（Ⅰ）设需要新建 个桥墩，
所以
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，
令 ，得 ，所以 =64，
当 0< <64 时 <0， 在区间（0，64）内为减函数；
)1()1()1( xfxfxf +=−−=+− )(xfy =
[0 ,1]x∈ 2 [ 2 , 1]x − ∈ − − txtxxfxf −=−= 3)2()(
1'( ) 12f = 4t = − xxxf 44)( 3 +−= ]1,0[∈x
)(xfy = ))2
1(,2
1( f l 1'( ) 12f =
l )2
3,2
1( l 1y x= +
)1,(,),3,(,)2,( 2211 +nbBbBbB nn l 11 +=+ nbn nbn =
1,, +nnn ABA 1+nn AA nbxx nnn 221 ==+ +
2221 +=+ ++ nxx nn
22 =−+ nn xx
,1 ax = ax −= 22 { 1 ,
,n
n a nx n a n
− += −
奇,
偶.
{ }nx aa +−=− 1 2
1=a
a { }nx
n ( 1) 1mn x m x
+ = −，即n=
(2 )m mx x xx x
+y=f ( x) =256n+( n+1) ( 2+ ) x=256( - 1) +
256 2 256.x m x mx
= + + −
2
3 3
2 2
2
256 1'( ) ( 512).2 2
m mf x mx xxx
= − + = −
'( ) 0f x =
3
2 512x = x
x '( )f x ( )f x
当 时， >0． 在区间（64，640）内为增函数，
所以 在 =64 处取得最小值，此时，
故需新建 9 个桥墩才能使 最小．
34-2 解：（Ⅰ）①当 时， ，
化简得 ,
解得 ，或 ，又 ，故 ．
②当 时， ，化简得 ,
解得 ，又 ,故 ．
综合得 ,或 ；
故知枯水期为 1 月，2 月，3 月，11 月，12 月共 5 个月．
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到．
由 V′（t）=
令 V′(t)=0,解得 t=8(t=-2 舍去)．
当 t 变化时，V′(t) 与 V (t)的变化情况如下表：
t (4,8) 8 (8,10)
V′(t) + 0 -
V(t) 增 极大值 减
由上表，V(t)在 t＝8 时取得最大值 V(8)＝8e2+50-108．52(亿立方米)．
故知一年内该水库的最大蓄水量是 108．32 亿立方米．
35-1 解：方法 1 设矩形栏目的高为 a cm，宽为 b cm，则 ab=9000． ①
广告的高为 a+20，宽为 2b+25，其中 a＞0，b＞0．
64 640x< < '( )f x ( )f x
( )f x x 6401 1 9.64
mn x
= − = − =
y
0 10t< ≤
1
2 4( ) ( 14 40) 50 50x
V t t t e= − + − + <
2 14 40 0t t− + >
4t < 10t > 0 10t< ≤ 0 4t< <
10 12t< ≤ ( ) 4( 10)(3 41) 50 50V t t t= − − + < ( 10)(3 41) 0t t− − <
4110 3t< < 10 12t< ≤ 10 12t< ≤
0 4t< < 10 12t< ≤
),8)(2(4
1)42
3
4
1( 4
1
24
1
−+−=++− ttcttc tt
广告的面积 S＝(a+20)(2b+25)
＝2ab+40b+25a+500＝18500+25a+40b
≥18500+2 =18500+
当且仅当 25a＝40b 时等号成立，此时 b= ,代入①式得 a=120，从而 b=75．
即当 a=120，b=75 时,S 取得最小值 24500．
故广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．
方法 2 设广告的高为宽分别为 x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为 x－20， 其中 x＞20，
y＞25
两栏面积之和为 2(x－20) ,由此得 y=
广告的面积 S=xy=x( )＝ x,
整理得 S=
因为 x－20＞0，所以 S≥2
当且仅当 时等号成立，
此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得 x=140，代入 y= +25,得 y＝175，
即当 x=140，y＝175 时，S 取得最小值 24500，
故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．
35-2 解： （Ⅰ）①由条件知 PQ 垂直平分 AB，若∠BAO= (rad) ，则 ,
故 ，又 OP＝ 10－10ta ，
所 以
，
ba 4025 • .245001000 =ab
a8
5
,2
25−y
180002
25 =−y ,2520
18000 +−x
2520
18000 +−x 2520
18000 +−x
.18500)20(2520
360000 +−+− xx
.2450018500)20(2520
360000 =+−×− xx
)20(2520
360000 −=− xx
20
18000
−x
θ 10
cos cos
AQOA θ θ= =
10
cosOB θ= 10 10tanθ− θ
10 10 10 10tancos cosy OA OB OP θθ θ= + + = + + − C
B
P
O
A
D
所求函数关系式为 ．
②若 OP= (km) ，则 OQ＝10－ ，所以 OA =OB= ，
所求函数关系式为 ．
（Ⅱ）选择函数模型①，则 ．
令 0 得 sin ，因为 ，所以 = ，
当 时， ， 是 的减函数；
当 时， ， 是 的增函数，
所以当 = 时， ．这时点 P 位于线段 AB 的中垂线上，且距离 AB 边 km
处．
36-1 解：（Ⅰ）由题意：当 时， ；当 时，设 ，显
然 在 是减函数，由已知得 ，解得
故函数 的表达式为 =
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
当 时， 为增函数，故当 时，其最大值为 ；
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
20 10sin 10cosy
θ
θ
−= + 0 4
πθ < <
x x ( )2 2 210 10 20 200x x x− + = − +
( )22 20 200 0 10y x x x x= + − + < <
( )( ) ( )'
2 2
10cos cos 20 10 sin 10 2sin 1
cos cos
siny
θ θ θ θ θ
θ θ
− − − − −= =
'y = 1
2
θ = 0 4
πθ< < θ
6
π
0, 6
πθ ∈
' 0y < y θ
,6 4
π πθ ∈
' 0y > y θ
θ
6
π
min 10 10 3y = + 10 3
3
200 ≤≤ x ( ) 60=xv 20020 ≤≤ x ( ) baxxv +=
( ) baxxv += [ ]200,20
=+
=+
6020
0200
ba
ba
=
−=
3
200
3
1
b
a
( )xv ( )xv ( )
≤≤−
<≤
.20020,2003
1
,200,60
xx
x
( ) =xf ( )
≤≤−
<≤
.20020,2003
1
,200,60
xxx
xx
200 ≤≤ x ( )xf 20=x 12002060 =×
20020 ≤≤ x ( ) ( ) ( )
3
10000
2
200
3
12003
1 2
=
−+≤−= xxxxxf
xx −= 200 100=x
所以，当 时， 在区间 上取得最大值 ．
综上，当 时， 在区间 上取得最大值 ，
即当车流密度为 100 辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3333 辆/小时．
36-2 解：（I）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为 ，
故 ．
（II）由(I)知，当 时，
当 时，
故 ．
(1)当 时， 是关于 的减函数．故当 时， ．
(2) 当 时，在 上， 是关于 的减函数；在 上， 是关于 的增函数；故当
时， ．
100=x ( )xf [ ]200,20 3
10000
100=x ( )xf [ ]200,0 33333
10000 ≈
3 1| |20 2v c− +
100 3 1 5( | | ) (3| | 10)20 2y v c v cv v
= − + = − +
0 v c< ≤ 5 5(3 10)(3 3 10) 15cy c vv v
+= − + = − ；
10c v< ≤ 5 5(10 3 )(3 3 10) 15cy v cv v
−= − + = + .
5(3 10) 15,0
5(10 3 ) 15, 10
c v cvy c c vv
+ − < ≤= − + < ≤
100 3c< ≤ y v 10v = min
320 2
cy = −
10 53 c< ≤ (0, ]c y v ( ,10]c y v v c=
min
50y c
=
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