全国高考文科数学试题及答案福建卷 9页

‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 数学试题（文史类）‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 1. 复数等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 2. 已知集合，，下列结论成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 3. 已知向量，，则的充要条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 4. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是（ ）‎ A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 ‎ 5. 已知双曲线的右焦点为，则该双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 6. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出值等于（ ）‎ A． B． C．0 D． ‎ 7. 直线与圆相交于两点，则弦的长度等于（ ）‎ A． B． C． D．1‎ 8. 函数的图像的一条对称轴是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 9. 设，，则值为（ ）‎ A．1 B．‎0 C． D．‎ 1. 若直线上存在点满足约束条件，则实数的最大值为（ ）‎ A． B．‎1 C． D．2‎ 2. 数列的通项公式，其前项和为，则等于（ ）‎ A．1006 B．‎2012 C．503 D．0‎ 3. 已知，且，现给出如下结论：‎ ‎①；②；③；④。‎ 其中正确结论的序号是（ ）‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡的相应位置。‎ 4. 在中，已知，，，则_______。‎ 5. 一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人。按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是_______。‎ 6. 已知关于的不等式在R上恒成立，则实数的取值范围是_________。‎ 7. 某地图规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，求表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小。例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的路线图如图1，则最优设计方案如图2，此时铺设道路的最小总费用为10。‎ 现给出该地区可铺设道路的线路图如图3，则铺设道路的最小总费用为____________。‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ 1. ‎（本小题满分12分）‎ ‎ 在等差数列和等比数列中，，的前10项和。‎ ‎（Ⅰ）求和；‎ ‎（Ⅱ）现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率。‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：‎ ‎（I）求回归直线方程，其中 ‎（II）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（I）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入—成本）‎ 3. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，在长方体中，，为棱上的一点。‎ ‎（I）求三棱锥的体积；‎ ‎（II）当取得最小值时，求证：平面。‎ 1. ‎（本小题满分13分）‎ 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）。‎ ‎ （I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。‎ 2. ‎（本小题满分12分）‎ 如图，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上。‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）设动直线与抛物线相切于点，与直线相交于点。证明以为直径的圆恒过轴上某定点。‎ 3. ‎（本小题满分14分）‎ 已知函数且在上的最大值为。‎ ‎（I）求函数的解析式；‎ ‎（II）判断函数在内的零点个数，并加以证明。‎ ‎2012年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 数学试题（文史类）参考答案 一．选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎６‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D D D C A B C B B A C 二． 填空题 13. ‎ 14.12 15.(0,8) 16.16‎ 三． 解答题 17. 本小题主要考查等差数列、等比数列、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、必然与或然思想。满分12分。‎ 解：（I）设的公差为，的公比为。依题意得 ‎，，‎ 解得 所以 ‎ （II）分别从和的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：‎ 符合题意的基本事件有2个：‎ 故所求的概率 18. 本小题主要考查回归分析、一元二次函数等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查化归与转化思想、特殊与一般思想。满分12分。‎ 解：（I）由于，‎ 所以，从而回归直线方程为。‎ ‎ （II）设工厂获得的利润为L元，依题意得 当且仅当时，L取得最大值。‎ 故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润。‎ ‎19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系和几何体的体积等基础知识。‎ 解： 在长方体ABCD-A1B‎1C1D1中，‎ ‎20.本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理证明能力，考查特殊与一般思想、化归与转化思想。满分13分。‎ 解法一：‎ ‎（I）选择（2）式，计算如下：‎ ‎（II）三角恒等式为 证明如下：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==‎ 解法二：‎ ‎（I）同解法一。‎ ‎（II）三角恒等式为 证明如下：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 21. 本小题主要考查抛物线的定义与性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．满分12分 解法一：‎ （1） 依题意=，‎ 设B（x,y），则x=sin30。=，y=cos30。=12‎ 因为点B（，12）在x2=2py上，所以=2p*12，所以p=2‎ 所以抛物线E的方程为 ‎ ‎(2)由（1）知,y’=x. ‎ ‎ 设 P（x0,y0）,则x00，并且l的方程为，即 由，得 所以 设,令对满足的，恒成立。‎ 由于，‎ 由于,得 即（ （*）‎ 由于（*）对满足的恒成立，所以 解得 故以PQ为直径的预案横过y轴上的定点M（0，1）‎ 解法二 ‎ （1） 同解法一 ‎（2） 由（1）知,y’=x，设P（x0,y0），则，且l的直线方程为，即 由得，，所以 取=2，此时P(2,1),Q(0,-1),以PQ为直径的圆为，交y轴于点（0,1）或（0，-1）；取=1，此时P（1，），Q（，-1），以PQ为直径的圆为，交y轴于（0,1）或，（0，）‎ 故若满足条件得点M存在，只能是（0,1）。‎ 以下证明点（0,1）就是所要求的点。‎ 因为，‎ 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M 22. 本小题主要考查函数的最值、单调性、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分 解：（1） 由已知得 ‎ 对于任意 ‎ 当；‎ ‎ 不合题意；‎ ‎ ‎ ‎ 解得，‎ ‎ 综上所述，得 ‎ （2） 在内有且只有两个零点，证明如下：‎ ‎ 由（1）知，，从而有，；‎ ‎ ‎ ‎ 所以内至少存在一个零点。‎ ‎ 又由（1）知，故。‎ ‎ 当时，令 ‎ 由 当时，‎ 故当时，故 当时，，即，‎ 又且，‎ 从而；‎ 综上所述，在内有且只有两个零点。‎