• 1.61 MB
  • 2021-05-13 发布

空间向量与立体几何高考题汇编

  • 16页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎1.(2009北京卷)(本小题共14分)‎ 如图,四棱锥的底面是正方形,,点E在棱PB上.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面; ‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点时,求AE与 平面PDB所成的角的大小.‎ 解:如图,以D为原点建立空间直角坐标系,‎ ‎ 设 则,‎ ‎(Ⅰ)∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴AC⊥DP,AC⊥DB,∴AC⊥平面PDB,‎ ‎∴平面.‎ ‎(Ⅱ)当且E为PB的中点时,,‎ ‎ 设AC∩BD=O,连接OE, ‎ ‎ 由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,‎ ‎ ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角,‎ ‎ ∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,即AE与平面PDB所成的角的大小为.‎ ‎2.(2009山东卷)(本小题满分12分)‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ ‎ 如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4, BC=CD=2, AA=2, E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。‎ (1) 证明:直线EE//平面FCC;‎ (2) 求二面角B-FC-C的余弦值。 ‎ 解法二:(1)因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,‎ E ‎ A ‎ B ‎ C ‎ F ‎ E1 ‎ A1 ‎ B1 ‎ C1 ‎ D1 ‎ D ‎ x ‎ y ‎ z ‎ M ‎ 所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为 等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,‎ 连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,‎ 以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,‎ ‎,则D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),‎ C1(0,2,2),E(,,0),E1(,-1,1),‎ 所以,,设平面CC‎1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC. ‎ ‎(2),设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,‎ ‎,, ‎ 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. ‎ ‎3.(2009全国卷Ⅱ)(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,直三棱柱中,、分别为、的中点,平面 ‎ ‎(I)证明:‎ ‎(II)设二面角为60°,求与平面所成的角的大小。‎ ‎(I)分析一:连结BE,为直三棱柱, ‎ 为的中点,。又平面,‎ ‎(射影相等的两条斜线段相等)而平面,‎ ‎(相等的斜线段的射影相等)。‎ 分析二:取的中点,证四边形为平行四边形,进而证∥,,得也可。‎ 分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。‎ ‎(II)分析一:求与平面所成的线面角,只需求点到面的距离即可。‎ 作于,连,则,为二面角的平面角,.不妨设,则.在中,由,易得.‎ ‎ 设点到面的距离为,与平面所成的角为。利用,可求得,又可求得 ‎ 即与平面所成的角为 分析三:利用空间向量的方法求出面的法向量,则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。‎ 总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益 ‎4.(2009全国卷Ⅰ)(本小题满分12分)‎ ‎ 如图,四棱锥中,底面为矩形,底面,,,点在侧棱上,。 ‎ ‎(I)证明:是侧棱的中点;‎ 求二面角的大小。 ‎ 解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz,则。‎ S A B C D M z x y ‎(Ⅰ)设,则 ‎,‎ ‎,由题得 ‎,即 解之个方程组得即 所以是侧棱的中点。 ‎ 法2:设,则 又 故,即 ‎,解得,‎ 所以是侧棱的中点。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,又,,‎ 设分别是平面、的法向量,则 且,即且 分别令得,即 ‎,‎ ‎∴ ‎ 二面角的大小。‎ ‎5.(2009天津卷)(本小题满分12分)‎ 如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD, AD//BC//FE,ABAD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD ‎ ‎(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;‎ ‎(II) 证明平面AMD平面CDE;‎ ‎(III)求二面角A-CD-E的余弦值。 ‎ 方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,‎ 点为坐标原点。设依题意得 ‎ ‎(I) ‎ 所以异面直线与所成的角的大小为.‎ ‎(II)证明: ,‎ ‎ ‎ ‎(III) ‎ 又由题设,平面的一个法向量为 ‎ ‎ ‎6.(2009年上海卷)(本题满分14分)‎ 如图,在直三棱柱中,,‎ ‎,求二面角的大小。 ‎ ‎【解】如图,建立空间直角坐标系 则A(2,0,0)、 C(0,2,0) A1(2,0,2),w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ B1(0,0,2) 、C1(0,2,2) ……2分 设AC的中点为M,∵BM⊥AC, BM⊥CC1;‎ ‎∴BM⊥平面A‎1C1C,即=(1,1,0)是平面A‎1C1C的一个法向量。……5分 设平面的一个法向量是 =(x,y,z),‎ ‎ =(-2,2,-2), =(-2,0,0) ……7分 ‎ ‎ 设法向量的夹角为,二面角的大小为,显然为锐角 ‎…………………….14分 ‎7(2010湖南)18.(本小题满分12分)‎ 如图所示,在长方体中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点 ‎(Ⅰ)求异面直线A‎1M和C1D1所成的角的正切值;‎ ‎(Ⅱ)证明:平面ABM⊥平面A1B‎1M1‎ ‎18.解 Ⅰ)如图,因为,所以异面 直线M和所成的角,因为平面,‎ 所以,而=1,,‎ 故.‎ ‎ 即异面直线M和所成的角的正切值为 ‎(Ⅱ)由平面,BM平面,得 BM ① ‎ 由(Ⅰ)知,, ,,所以,‎ 从而BMB‎1M ② 又, 再由① ②得BM平面A1B‎1M,而BM平面ABM,‎ 因此平面ABM平面A1B‎1M.‎ ‎8.(2010辽宁理数)(19)(本小题满分12分)‎ 已知三棱锥P-ABC中,PA⊥ABC,AB⊥AC,PA=AC=½AB,N为AB上一点,AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:CM⊥SN;‎ ‎(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.‎ 证明:设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图。‎ 则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0).……4分 ‎(Ⅰ),‎ 因为,‎ 所以CM⊥SN ……6分 ‎(Ⅱ),‎ 设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,‎ 则 ……9分 因为 所以SN与片面CMN所成角为45°。 ……12分 ‎9.(2010江西理数)20. (本小题满分12分)‎ 如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD平面BCD,AB平面BCD,。‎ (1) 求点A到平面MBC的距离;‎ (2) 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。‎ 解法二:取CD中点O,连OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD,又平面平面,则MO⊥平面.‎ 以O为原点,直线OC、BO、OM为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系如图.‎ OB=OM=,则各点坐标分别为O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2),‎ ‎(1)设是平面MBC的法向量,则,‎ ‎,由得;由得;取,则距离 ‎(2),.‎ 设平面ACM的法向量为,由得.解得,,取.又平面BCD的法向量为,则 设所求二面角为,则.‎ ‎10(2010四川)(18)(本小题满分12分)‎ 已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1,点M是棱AA'的中点,‎ 点O是对角线BD'的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:OM为异面直线AA'和BD'的公垂线;‎ ‎(Ⅱ)求二面角M-BC'-B'的大小;‎ ‎(Ⅲ)求三棱锥M-OBC的体积. ‎ 以点D为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系D-xyz 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)‎ ‎(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点 所以M(1,0, ),O(,,)‎ ‎,=(0,0,1),=(-1,-1,1) ‎ ‎=0, +0=0‎ 所以OM⊥AA’,OM⊥BD’‎ 又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交 故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.………………………………4分 ‎(2)设平面BMC'的一个法向量为=(x,y,z)‎ ‎=(0,-1,), =(-1,0,1)‎ ‎ 即 取z=2,则x=2,y=1,从而=(2,1,2) ‎ 取平面BC'B'的一个法向量为=(0,1,0)‎ cos由图可知,二面角M-BC'-B'的平面角为锐角 故二面角M-BC'-B'的大小为arccos………………………………………………9分 ‎(3)易知,S△OBC=S△BCD'A'=设平面OBC的一个法向量为=(x1,y1,z1) ‎ ‎=(-1,-1,1), =(-1,0,0)‎ ‎ 即 取z1=1,得y1=1,从而=(0,1,1)点M到平面OBC的距离d=‎ VM-OBC=…………………………………………12分 ‎11(2010全国卷1理数)(19)(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥S-ABCD中,SD底面ABCD,AB//DC,ADDC,AB=AD=1,DC=SD=2,E为棱SB上的一点,平面EDC平面SBC .‎ ‎(Ⅰ)证明:SE=2EB;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A-DE-C的大小 .‎ ‎12.(11广东理18) ‎ 如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,‎ ‎ 且∠DAB=60,,PB=2,‎ ‎ E,F分别是BC,PC的中点.‎ ‎(1) 证明:AD 平面DEF;‎ ‎(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.‎ ‎ 法二:(1)取AD中点为G,因为 ‎ 又为等边三角形,因此,,从而平面PBG。‎ ‎ 延长BG到O且使得PO OB,又平面PBG,PO AD,‎ ‎ 所以PO 平面ABCD。‎ ‎ 以O为坐标原点,菱形的边长为单位长度,直线OB,OP分别为轴,z轴,平行于AD 的直线为轴,建立如图所示空间直角坐标系。‎ ‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于 ‎ 得 ‎ 平面DEF。‎ ‎ (2)‎ ‎ ‎ ‎ 取平面ABD的法向量 ‎ 设平面PAD的法向量 ‎ 由 ‎ 取 ‎ ‎ ‎13.(11湖南理19) ‎ 如图5,在圆锥中,已知=,⊙O的直径,是的中点,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值。‎ 解法2:(I)如图所示,以O为坐标原点,OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴,z轴建立空间直角坐标系,则 ‎,‎ 设是平面POD的一个法向量,‎ 则由,得 所以 设是平面PAC的一个法向量,‎ 则由,‎ 得 所以 得。‎ 因为 所以从而平面平面PAC。‎ ‎(II)因为y轴平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为 由(I)知,平面PAC的一个法向量为 设向量的夹角为,则 由图可知,二面角B—PA—C的平面角与相等,‎ 所以二面角B—PA—C的余弦值为 ‎14.(11辽宁理18) ‎ 如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.‎ ‎(I)证明:平面PQC⊥平面DCQ;‎ ‎(II)求二面角Q—BP—C的余弦值.‎ 解:‎ 如图,以D为坐标原点,线段DA的长为单位长,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D—xyz.‎ ‎ (I)依题意有Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).‎ 则 所以 即PQ⊥DQ,PQ⊥DC.‎ 故PQ⊥平面DCQ.‎ 又PQ平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ. …………6分 ‎ (II)依题意有B(1,0,1),‎ 设是平面PBC的法向量,则 因此可取 设m是平面PBQ的法向量,则 可取 故二面角Q—BP—C的余弦值为 ………………12分 ‎15.(11全国大纲理19) ‎ 如图,四棱锥中, ,,侧面为等边三角形,.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)求与平面所成角的大小.‎ 解:以C为坐标原点,射线CD为x轴正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。‎ 设D(1,0,0),则A(2,2,0)、B(0,2,0)。‎ 又设 ‎ (I),,‎ 由得 故x=1。‎ 由 又由 即 …………3分 于是,‎ 故 所以平面SAB。 …………6分 ‎ (II)设平面SBC的法向量,‎ 则又 故 …………9分 取p=2得。‎ 故AB与平面SBC所成的角为 ‎16.(11全国新课标理18) ‎ 如图,四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,,,底面ABCD.‎ ‎(I)证明:;‎ ‎(II)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.‎ 解:(Ⅰ)因为, 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2,故BDAD又PD底面ABCD,可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD ‎(Ⅱ)如图,以D为坐标原点,AD的长为单位长,射线DA为轴的正半轴建立空间直角坐标系D-,则,,,.‎ 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 ‎ 即 ‎ 因此可取n=设平面PBC的法向量为m,则 ‎ ‎ 可取m=(0,-1,) ‎ 故二面角A-PB-C的余弦值为 ‎