最新全国各地高考数学试题汇编导数及其应用2 6页

导数及其应用 题组二 一、 选择题 1．（四川省成都市 2011 届高三理）已知定义域为 R 的函数 ( )f x 在 ),8(  上为减函数，且 ( 8)y f x  函数为偶函数，则 A． (6) (7)f f B． (6) (9)f f C. (7) (9)f f D. (7) (10)f f 答案 D. 2. （ 浙 江 省 杭 州 市 2011 届 高 三 文 ） 右 图 是 函 数 baxxxf  2)( 的 部 分 图 象 ， 则 函 数 ( ) ln ( )g x x f x  的零点所在的区间是 （ ） A 1 1( , )4 2 B (1,2) 1( ,1)2 D (2,3) 答案 B 3．（四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月理）已知函数 y=log2x 的反函数是 )(1 xfy  ，则函 数 )1(1 xfy   的图象是（ ） 答案 C. 4．（广东省广州东莞五校 2011 届高三理）函数 cosy x 的一个单调递增区间为 A． ,2 2      B． 0, C． 3,2 2       D． ,2  答案 D. 5. (山西省四校 2011 届高三文）函数 y=log2(x+4)-3x 零点的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C. 6. （浙江省吴兴高级中学 2011 届高三文） 已知函数 2( ) ( 3 2)ln 2008 2009f x x x x x     ，则函数 ( )f x 在下面哪个范围 内必有零点 ( ) A、(0,1) B、(1,2) C、(2,3) D、(2,4) 答案 B 7．（河北省唐山一中 2011 届高三文）若函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d 有极值，则导函数 f’(x)的图象不 可能是 （ ） x y O f'(x) x0 x y O f'(x) x1 x2 x y O f'(x) x1 x2 x y O f'(x) x0 A B C D 答案 A. 8. (广西桂林中学 2011 届高三理) 已知函数 )(xf 的反函数 )(1 xf  图像经过点 )0,1(A ，则函数 )1(  xfy 的图像必经过点（ ） A． )1,1( B. )1,0( C． )2,1( D． )1,1( 答案 A. 9．(河南信阳市 2011 届高三理）已知二次函数 ( )f x 的图象如 右图所示，则其导函数 ( )f x 的图 象大致形状是 答案 B. 二、 填空题 10．（江苏泰兴 2011 届高三文） 设函数 1( )f x x x   ，对任意的  1,x  , ( ) ( ) 0f mx mf x  恒成立，则实数 m 的取值范围是 ____________． 答案 1m  11．（江西省上高二中 2011 届高三理） 已知函数 f(x)＝ ,2))(( .0,cos2 ,0,)( 0 2       xff xx xxxf 若  则 x0＝ ． 答案 3π 4 12. (四川省成都外国语学校 10-11 学年高一）已知函数 )(xf 是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶 函数，且对任意实数 x 都有 )()1()1( xfxxxf  ，则 )2 5(f 的值是 答案 0. 13．（江苏泰兴市重点中学 2011 届高三理） 已知 2( ) lg( 8 7)f x x x    在 ( , 1)m m  上是增函数，则 m 的取值范围是 ． 答案 1 3m  14．（江西省上高二中 2011 届高三理）若对于任意 a∈[－1，1]，函数 f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a 的值 恒大于零，则 x 的取值范围是 ． 答案 (－∞‚1)∪(3，＋∞)； 三、 解答题 15．（江苏泰兴 2011 届高三理）（本题满分 16 分） 已知函数 2 2( ) 2 4 2 f x ax b b x     ， 2( ) 1 ( ) ( , )g x x a a b    R ． （1）当 0b  时，若 ( ) ( , 2]f x 在 上单调递减，求 a 的取值范围； （2）求满足下列条件的所有整数对 ( , )a b ：存在 0x ，使得 0( ) ( )f x f x是 的最大值， 0( ) ( )g x g x是 的 最小值； （3）对满足（II）中的条件的整数对 ( , )a b ，试构造一个定义在 { |D x x R 且 2 , }x k k  Z 上 的函数 ( )h x ：使 ( 2) ( )h x h x  ，且当 ( 2, 0)x  时， ( ) ( )h x f x ． 答案 （1）当 0b  时，   2 4f x ax x  ，…………………………………………………1 分 若 0a  ，   4f x x  ，则  f x 在 , 2 上单调递减，符合题意；………3 分 若 0a  ，要使  f x 在  , 2 上单调递减， 必须满足 0, 4 2,2 a a   ……………………………………………………………………5 分 ∴ 0 1a  ．综上所述，a 的取值范围是 0, 1 …………………………………6 分 （2）若 0a  ，   22 4 2f x b b x    ，则  f x 无最大值，………………………7 分 故 0a  ，∴  f x 为二次函数， 要使  f x 有最大值，必须满足 2 0, 4 2 0, a b b      即 0a  且1 5 1 5b    ，…8 分 此时， 2 0 4 2b bx a   时，  f x 有最大值．………………………………………分 又  g x 取最小值时， 0x a ，………………………………………………………分 依题意，有 24 2b b aa     Z ，则  22 24 2 5 1a b b b      ，…………分 ∵ 0a  且1 5 1 5b    ，∴  20 5a a  Z ，得 1a   ，………………分 此时 1b   或 3b  ． ∴满足条件的整数对  ,a b 是    1, 1 , 1, 3   ．……………………………12 分 （3）当整数对是    1, 1 , 1, 3   时，   2 2f x x x   ( 2) ( )h x h x  ， ( )h x 是以 2 为周期的周期函数，………………………分 又当  2, 0x  时，,构造 ( )h x 如下：当  2 2, 2 ,x k k k  Z ，则，          22 2 2 2 2h x h x k f x k x k x k         ， 16．(江西省上高二中 2011 届高三理）函数 x axxf  2)( 的定义域为(0，1]（ a 为实数）． ⑴当 1a 时，求函数 )( xfy  的值域； ⑵若函数 )( xfy  在定义域上是减函数，求 a 的取值范围； ⑶求函数 )( xfy  在 x∈(0，1]上的最大值及最小值，并求出函数取最值时 x 的值． 故        22 2 2 , 2 2, 2 , .h x x k x k x k k k       Z … 答案 解：（1）显然函数 )( xfy  的值域为 ),22[  ； （ 2 ） 若 函 数 )( xfy  在 定 义 域 上 是 减 函 数 ， 则 任 取 21, xx ]1.0( 且 21 xx  都 有 )()( 21 xfxf  成立， 即 0)2)(( 2121  xx axx 只要 212 xxa  即可，由 21, xx ]1.0( ，故 )0,2(2 21  xx ，所以 2a ， 故 a 的取值范围是 ]2,(  ； （3）当 0a 时，函数 )( xfy  在 ]1.0( 上单调增，无最小值，当 1x 时取得最大值 a2 ； 由（2）得当 2a 时，函数 )( xfy  在 ]1.0( 上单调减，无最大值， 当 x＝1 时取得最小值 2－a； 当 02  a 时，函数 )( xfy  在 ].0( 2 2a 上单调减，在 ]1,[ 2 2a 上单调增，无最大值， 当 2 2ax  时取得最小值 a22  ． 17．（四川省成都外国语学校 2011 届高三 10 月文） （12 分）已知函数 xxxxxxf cossinsin3)3sin(cos2)( 2   。 （1）求函数 )(xf 的最小正周期及单调增区间； （2）若当 ]12 7,12[ x 时， )(xf 的反函数为 )(1 xf  ，求 )1(1f 的值。 答案 解：（1） )32sin(2)(  xxf T= 223222   kxk ， Zk  增区间 ]12,12 5,[   kk ， Zk  （2）令 1)32sin(2  x 又 ]12 7,12[ x ∴  6 5 32 x ∴ 4 x 18.（河南信阳市 2011 届高三理）本小题满分 12 分） 设 M 是由满足下列条件的函数 ( )f x 构成的集合：“①方程 ( ) 0f x x  有实数根；②函数 ( ) ( ) 0 ( ) 1.f x f x f x  的导数 满足 ” （I）判断函数 sin( ) 2 4 x xf x   是否是集合 M 中的元素，并说明理由； （ II） 集 合 M 中 的 元 素 ( )f x 具 有 下 面的 性 质 ： 若 ( )f x 的 定 义 域为 D ， 则 对 于任 意 0 0[ , ] , [ , ], ( ) ( ) ( ) ( )m n D x m n f n f m n m f x    都存在 使得等式 成立。试用这一性 质证明：方程 ( ) 0f x x  只有一个实数根； （III）对于 M 中的函数 1( ), ( ) 0f x x f x x 设 是方程 的实数根，求证：对于 ( )f x 定义域中任 意的 2 3, ,x x 当 2 1| | 1,x x  且 3 1 3 2| | 1 ,| ( ) ( ) | 2.x x f x f x   时 答案 （1）因为 1 1'( ) cos ,2 4f x x  所以 1 3'( ) [ , ] 0 '( ) 1.4 4f x f x  满足条件 又因为当 0 , (0) 0x f 时 ，所以方程 ( ) 0f x x  有实数根 0， 所以函数 sin( ) 2 4 x xf x   是集合 M 中的元素。 …………4 分 （2）假设方程 ( ) 0f x x  存在两个实数根 , ( )    ， 则 ( ) 0, ( ) 0,f f       …………5 分 不妨设  ，根据题意存在数 ( , )c   ， 使得等式 ( ) ( ) ( ) '( )f f f c      成立， …………7 分 因为 ( ) , ( ) , , '( ) 1f f f c        且 所以 与已知 0 '( ) 1 , ( ) 0f x f x x   矛盾 所以方程 只有一个实数根； …………9 分 （3）不妨设 2 3 , '( ) 0,x x f x 因为 所以f(x)为增函数， 所以 2 3( ) ( ),f x f x 又因为 '( ) 1 0,f x   所以函数f(x)-x 为减函数， …………10 分 所以 2 2 3 3( ) ( ) ,f x x f x x   …………11 分 所以 3 2 3 20 ( ) ( )f x f x x x    ， 即 3 2 3 2| ( ) ( ) | | |f x f x x x   所以 3 2 3 2 3 1 2 1 3 1 2 1| ( ) ( ) | | | | ( ) | | | | | 2.f x f x x x x x x x x x x x            …………12 分