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- 2021-05-13 发布
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平面向量
【考纲解读】
1. 理解平面向量的概念与几何表示、两个向量相等的含义;掌握向量加减与数乘运算及其意义;理解两个向量共线的含义,了解向量线性运算的性质及其几何意义.
2.了解平面向量的基本定理及其意义;掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
3.理解平面向量数量积的含义及其物理意义;了解平面向量数量积与向量投影的关系;掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
【考点预测】
高考对平面向量的考点分为以下两类:
(1)考查平面向量的概念、性质和运算,向量概念所含内容较多,如单位向量、共线向量、方向向量等基本概念和向量的加、减、数乘、数量积等运算,高考中或直接考查或用以解决有关长度,垂直,夹角,判断多边形的形状等,此类题一般以选择题形式出现,难度不大.
(2)考查平面向量的综合应用.平面向量常与平面几何、解析几何、三角等内容交叉渗透,使数学问题的情境新颖别致,自然流畅,此类题一般以解答题形式出现,综合性较强.
【要点梳理】
1.向量的加法与减法:掌握平行四边形法则、三角形法则、多边形法则,加法的运算律;
2.实数与向量的乘积及是一个向量,熟练其含义;
3.两个向量共线的条件:平面向量基本定理、向量共线的坐标表示;
4.两个向量夹角的范围是:;
5.向量的数量积:熟练定义、性质及运算律,向量的模,两个向量垂直的充要条件.
【考点在线】
考点一 向量概念及运算
例1.(2011年高考山东卷理科12)设,,,是平面直角坐标系中两两不同的四点,若 (λ∈R),(μ∈R),且,则称,调和分割, ,已知点C(c,o),D(d,O)(c,d∈R)调和分割点A(0,0),B(1,0),则下面说法正确的是( )
(A)C可能是线段AB的中点
(B)D可能是线段AB的中点
(C)C,D可能同时在线段AB上
(D) C,D不可能同时在线段AB的延长线上
【答案】D
考点二 平面向量的数量积
例2.(2011年高考海南卷文科13)已知与为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量与向量垂直,则.
【答案】1
【解析】由题意知,即,所以,因为与不共线,所以,即k=1.
【名师点睛】本题考查两个向量垂直的充要条件、向量的数量积.
【备考提示】:熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.
练习2:(2011年高考安徽卷文科14)已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且,,则a与b的夹角为.
【答案】
【解析】,则,即,,所以,所以.
考点三 向量与三角函数等知识的综合
例3.(2009年高考江苏卷第15题)
设向量
(1)若与垂直,求的值;
(2)求的最大值;
(3)若,求证:∥.
【解析】
【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力.
【备考提示】:熟练向量的基础知识是解答好本题的关键.
练习3:(2009年高考广东卷A文科第16题)
已知向量与互相垂直,其中
(1)求和的值(2)若,,求的值
【解析】(1),,即
又∵, ∴,即,∴
又 ,
(2)∵
,,即
又,∴
【易错专区】
1.(2011年高考全国卷文科3)设向量满足||=||=1, ,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】
故选B
2.(2011年高考辽宁卷文科3)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k=( )
(A)-12 (B)-6 (C)6 (D)12
【答案】D
【解析】由题意,得2a-b =(5,2-k),a·(2a-b)=2×5+2-k=0,所以k=12.
3. (2011年高考四川卷文科7)如图,正六边形ABCDEF中,=( )
(A)0 (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】.
4.( 2010年高考全国Ⅰ卷文科11)已知圆的半径为1,PA、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点,那么的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】如图所示:设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=,PO=,,
===,令,则,即,由是实数,所以
,,解得或.故.此时.
5.(2010年高考全国卷Ⅱ文科10)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若= a , = b , = 1 ,= 2, 则=( )
(A)a +b (B)a +b (C)a +b (D)a +b
【答案】B
【解析】∵ CD为角平分线,∴,∵,∴,∴
6.(2010年高考四川卷文科6)设点是线段的中点,点在直线外,,,则( )
(A)8(B)4(C)2(D)1
【答案】C
【解析】由=16,得|BC|=4
,=4
而,故2.
7.(2011年高考江西卷文科11)已知两个单位向量,的夹角为,若向量,,则=___.
【答案】-6
【解析】要求*,只需将题目已知条件带入,得:*=(-2)*(3+4)=,其中=1,==1*1*=,,带入,原式=3*1—2*—8*1=—6.
8.(2011年高考福建卷文科13)若向量a=(1,1),b(-1,2),则a·b等于_____________.
【答案】1
【解析】因为向量a=(1,1),b(-1,2),所以a·b等于1.
9.(2011年高考湖南卷文科13)设向量满足且的方向相反,则的坐标为 .
【答案】
【解析】由题,所以
10.(2011年高考浙江卷文科15)若平面向量α、β 满足,且以向量α、β为邻边的平行四边形的面积为,则α和β的夹角θ取值范围是.
【答案】
0,解得.
【高考冲策演练】
一、选择题:
1.(2010年高考山东卷文科12)定义平面向量之间的一种运算“”如下:对任意的,,令,下面说法错误的是( )
(A)若a与b共线,则
(B)
(C)对任意的,有
(D)
【答案】B
【解析】若与共线,则有,故A正确;因为,而
,所以有,故选项B错误,故选B。
2.(2010年高考天津卷文科9)如图,在ΔABC中,,,,则=( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】=
=,故选D。
3.(2010年高考福建卷文科8)若向量,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由得,所以;反之,由可得。
4.(2010年高考福建卷文科11)若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
【答案】C
【解析】由题意,F(-1,0),设点P,则有,解得,
因为,,所以
==,此二次函数对应的抛物线的对称轴为,因为,所以当时,取得最大值,选C。
5.(2010年高考北京卷理科6)a、b为非零向量。“”是“函数为一次函数”的( )
(A)充分而不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若,则有不一定是一次函数(当时不是一次函数);反之,成立,故选B。
6.(2010年高考安徽卷文科3)设向量,,则下列结论中正确的是( )
(A) (B)
(C) (D)与垂直
【答案】D
【解析】,,所以与垂直.
7.(2010年高考辽宁卷文科8)平面上三点不共线,设,则的面积等于( )
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C
【解析】
8.(2010年高考宁夏卷文科2)a,b为平面向量,已知a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
解析:由已知得,所以
.
9.(2010年高考广东卷文科5)若向量=(1,1),=(2,5),=(3,x)满足条件(8-
【解析】,所以=6.
11.(2010年高考湖北卷文科8)已知和点M满足.若存在实使得成立,则=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】由知,点M为的重心,设点D为底边BC的中点,则
=,所以有,故=3,选B。
12.(2010年高考湖南卷文科6)若非零向量a,b满足|,则a与b的夹角为( )
A. 300 B.600 C. 1200 D. 1500
【答案】C
二、填空题:
13.(2010年高考江西卷文科13)已知向量,满足,与的夹角为60°,则在上的投影是.
【答案】1
【解析】
14. (2010年高考浙江卷文科13)已知平面向量则的值是 。
【答案】
16.(2010年高考陕西卷理科11)已知向量,若∥,则.
【答案】-1
【解析】∵,∴由∥得.
三.解答题:
17.(2010年高考江苏卷试题15)
在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1).
(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;
(2) 设实数t满足()·=0,求t的值。
【解析】(1)(方法一)由题设知,则
所以故所求的两条对角线的长分别为、.
(方法二)设该平行四边形的第四个顶点为D,两条对角线的交点为E,则:
E为B、C的中点,E(0,1)
又E(0,1)为A、D的中点,所以D(1,4)
故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=;
(2)由题设知:=(-2,-1),。
由()·=0,得:,
从而所以。
或者:,
18.(2010年高考福建卷文科18)设平顶向量= ( m , 1), = ( 2 , n ),其中 m, n {1,2,3,4}.
(I)请列出有序数组( m,n )的所有可能结果;
(II)记“使得(-)成立的( m,n )”为事件A,求事件A发生的概率。
19.(2009年高考湖北卷理科第17题)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)
已知向量
(Ⅰ)求向量的长度的最大值;
(Ⅱ)设,且,求的值。
【解析】(1)解法1:则
,即
解法2:若,则,又由,得
,,即
,平方后化简得
解得或,经检验,即为所求
20. (山东省烟台市2011年1月“十一五”课题调研卷理科)
如图,平面上定点F到定直线l的距离|FM|=2,P为该平面上的动点,过P作直线l
的垂线,垂足为Q,且
(1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线于点N,已知为定值.
【解析】(1)方法一:如图,以线段的中点为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系.则,.…………2分
设动点的坐标为,则动点的坐标为
,, ……………3分
由·,得. ………5分
方法二:由. ………2分
所以,动点的轨迹是抛物线,以线段的中点
为原点,以线段所在的直线为轴建立直角坐标系,可得轨迹的方程为:
. ……………………………………………………………………5分
(2)方法一:如图,设直线的方程为,,……6分
则. ………………………………………………………………………………7分
联立方程组 消去得,
,, …………………………………………………8分
故…………………………………………………………………………9分
由,得,
,,………………………………………………………10分
整理得,,
·. …………………12分
方法二:由已知,,得. …………………………7分
于是, , ①………………………………………………8分
如图,过、两点分别作准线的垂线,垂足分别为、,
则有== , ②………………………………………………10分
由①、②得. …………………………………………………………………12分
高考资源网(www.ks5u.com)
www.ks5u.com
来源:高考资源网
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