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- 2021-05-13 发布
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.(2013四川,理1)设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2-4=0},则A∩B=( ).
A.{-2} B.{2}
C.{-2,2} D.
2.(2013四川,理2)如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是( ).
A.A B.B
C.C D.D
3.(2013四川,理3)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( ).
4.(2013四川,理4)设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:x∈A,2x∈B,则( ).
A.p:x∈A,2xB B.p:xA,2xB
C.p:xA,2x∈B D.p:x∈A,2xB
5.(2013四川,理5)函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是( ).
A.2,
B.2,
C.4,
D.4,
6.(2013四川,理6)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是( ).
A. B. C.1 D.
7.(2013四川,理7)函数的图象大致是( ).
8.(2013四川,理8)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是( ).
A.9 B.10 C.18 D.20
9.(2013四川,理9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( ).
A. B. C. D.
10.(2013四川,理10)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数),若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是( ).
A.[1,e] B.[e-1-1,1]
C.[1,e+1] D.[e-1-1,e+1]
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.(2013四川,理11)二项式(x+y)5的展开式中,含x2y3的项的系数是__________.(用数字作答)
12.(2013四川,理12)在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,+=λ,则λ=__________.
13.(2013四川,理13)设sin 2α=-sin α,α∈,则tan 2α的值是__________.
14.(2013四川,理14)已知f(x)是定义域为R的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-4x,那么,不等式f(x+2)<5的解集是__________.
15.(2013四川,理15)设P1,P2,…,Pn为平面α内的n个点,在平面α内的所有点中,若点P到点P1,P2,…,Pn的距离之和最小,则称点P为点P1,P2,…,Pn的一个“中位点”,例如,线段AB上的任意点都是端点A,B的中位点,现有下列命题:
①若三个点A,B,C共线,C在线段AB上,则C是A,B,C的中位点;
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点;
③若四个点A,B,C,D共线,则它们的中位点存在且唯一;
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
其中的真命题是__________.(写出所有真命题的序号)
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.(2013四川,理16)(本小题满分12分)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前n项和.
17.(2013四川,理17)(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=,
(1)求cos A的值;
(2)若,b=5,求向量在方向上的投影.
18.(2013四川,理18)(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.
(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i=1,2,3);
(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n次后,统计记录了输出y的值为i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.
甲的频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y的值
为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
14
6
10
…
…
…
…
2 100
1 027
376
697
乙的频数统计表(部分)
运行
次数n
输出y的值
为1的频数
输出y的值
为2的频数
输出y的值
为3的频数
30
12
11
7
…
…
…
…
2 100
1 051
696
353
当n=2 100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大;
(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.
19.(2013四川,理19)(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点.
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值.
20.(2013四川,理20)(本小题满分13分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M,N两点,点Q是线段MN上的点,且,求点Q的轨迹方程.
21.(2013四川,理21)(本小题满分14分)已知函数f(x)=其中a是实数.设A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且x1<x2.
(1)指出函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直,且x2<0,求x2-x1的最小值;
(3)若函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合,求a的取值范围.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(四川卷)
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.
1.
答案:A
解析:由题意可得,A={-2},B={-2,2},
∴A∩B={-2}.故选A.
2.
答案:B
解析:复数z表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称.
3.
答案:D
解析:由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,故选D.
4.
答案:D
5.
答案:A
解析:由图象可得,,
∴T=π,则ω==2,再将点代入f(x)=2sin(2x+φ)中得,,
令+φ=2kπ+,k∈Z,
解得,φ=2kπ-,k∈Z,
又∵φ∈,则取k=0,
∴φ=.故选A.
6.
答案:B
解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为,即x-y=0,由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离.
7.
答案:C
解析:由函数解析式可得,该函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故排除A;取x=-1,y==>0,故再排除B;当x→+∞时,3x-1远远大于x3的值且都为正,故→0且大于0,故排除D,选C.
8.
答案:C
解析:记基本事件为(a,b),则基本事件空间Ω
={(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1),(3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9),(9,1),(9,3),(9,5),(9,7)}共有20个基本事件,而lg a-lg b=,其中基本事件(1,3),(3,9)和(3,1),(9,3)使的值相等,则不同值的个数为20-2=18(个),故选C.
9.
答案:C
解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x,y,则由题意可得,0≤x≤4,0≤y≤4;而所求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过2秒”={(x,y)||x-y|≤2},由图示得,该事件概率.
10.
答案:A
解析:由题意可得,y0=sin x0∈[-1,1],
而由f(x)=可知y0∈[0,1],
当a=0时,f(x)=为增函数,
∴y0∈[0,1]时,f(y0)∈[1,].
∴f(f(y0))≥>1.
∴不存在y0∈[0,1]使f(f(y0))=y0成立,故B,D错;
当a=e+1时,f(x)=,当y0∈[0,1]时,只有y0=1时f(x)才有意义,而f(1)=0,
∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故C错.故选A.
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
注意事项:
必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图题可先用铅笔绘出,确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效.
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.答案:10
解析:由二项式展开系数可得,x2y3的系数为==10.
12.答案:2
解析:如图所示,在平行四边形ABCD中,+==2,
∴λ=2.
13.答案:
解析:∵sin 2α=-sin α,
∴2sin αcos α=-sin α.
又∵α∈,∴cos α=.
∴sin α=.
∴sin 2α=,cos 2α=2cos2α-1=.
∴tan 2α==.
14.答案:(-7,3)
解析:当x≥0时,令x2-4x<5,解得,0≤x<5.
又因为f(x)为定义域为R的偶函数,则不等式f(x+2)<5等价于-5<x+2<5,即-7<x<3;故解集为(-7,3).
15.
答案:①④
解析:由“中位点”可知,若C在线段AB上,则线段AB上任一点都为“中位点”,C也不例外,故①正确;
对于②假设在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,如图所示,点P为斜边AB中点,设腰长为2,则|PA|+|PB|+|PC|=|AB|=,而若C为“中位点”,则|CB|+|CA|=4<,故②错;
对于③,若B,C三等分AD,若设|AB|=|BC|=|CD|=1,则|BA|+|BC|+|BD|=4=|CA|+|CB|+|CD|,故③错;
对于④,在梯形ABCD中,对角线AC与BD的交点为O,在梯形ABCD内任取不同于点O的一点M,则在△MAC中,|MA|+|MC|>|AC|=|OA|+|OC|,
同理在△MBD中,|MB|+|MD|>|BD|=|OB|+|OD|,
则得,
|MA|+|MB|+|MC|+|MD|>|OA|+|OB|+|OC|+|OD|,
故O为梯形内唯一中位点是正确的.
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
16.解:设该数列公差为d,前n项和为Sn.
由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d).
所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0,或a1=1,d=3,即数列{an}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.
所以,数列的前n项和Sn=4n或Sn=.
17.
解:(1)由2cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)=,得[cos(A-B)+1]cos B-sin(A-
B)sin B-cos B=,
即cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=.
则cos(A-B+B)=,即cos A=.
(2)由cos A=,0<A<π,得sin A=,
由正弦定理,有,
所以,sin B=.
由题知a>b,则A>B,故.
根据余弦定理,有=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).
故向量在方向上的投影为||cos B=.
18.
解:(1)变量x是在1,2,3,…,24这24个整数中随机产生的一个数,共有24种可能.
当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时,输出y的值为1,故P1=;
当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时,输出y的值为2,故P2=;
当x从6,12,18,24这4个数中产生时,输出y的值为3,故P3=.
所以,输出y的值为1的概率为,输出y的值为2的概率为,输出y的值为3的概率为.
(2)当n=2 100时,甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i=1,2,3)的频率如下:
输出y的值
为1的频率
输出y的值
为2的频率
输出y的值
为3的频率
甲
乙
比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大.
(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,
P(ξ=3)=,
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
所以,Eξ=0×+1×+2×+3×=1.
即ξ的数学期望为1.
19.
解:(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,
因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC.
由已知,AB=AC,D是BC的中点,
所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC,
所以AA1⊥直线l.
又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)解法一:
连接A1P,过A作AE⊥A1P于E,过E作EF⊥A1M于F,连接AF.
由(1)知,MN⊥平面AEA1,
所以平面AEA1⊥平面A1MN.
所以AE⊥平面A1MN,则A1M⊥AE.
所以A1M⊥平面AEF,则A1M⊥AF.
故∠AFE为二面角A-A1M-N的平面角(设为θ).
设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,有∠BAD=60°,AB=2,AD=1.
又P为AD的中点,
所以M为AB中点,且AP=,AM=1,
所以,在Rt△AA1P中,A1P=;在Rt△A1AM中,A1M=.
从而,
.
所以sin θ=.
所以cos θ=.
故二面角A-A1M-N的余弦值为.
解法二:设A1A=1.如图,过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合).
则A1(0,0,0),A(0,0,1).
因为P为AD的中点,
所以M,N分别为AB,AC的中点.
故M,N.
所以=,=(0,0,1),=(,0,0).
设平面AA1M的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则即
故有
从而
取x1=1,则y1=,
所以n1=(1,,0).
设平面A1MN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则即
故有
从而
取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1).
设二面角A-A1M-N的平面角为θ,
又θ为锐角,
则cos θ=
=.
故二面角A-A1M-N的余弦值为.
20.
解:(1)由椭圆定义知,
2a=|PF1|+|PF2|=,
所以.
又由已知,c=1.
所以椭圆C的离心率.
(2)由(1)知,椭圆C的方程为+y2=1.
设点Q的坐标为(x,y).
(1)当直线l与x轴垂直时,直线l与椭圆C交于(0,1),(0,-1)两点,此时点Q的坐标为.
(2)当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=kx+2.
因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2),
则|AM|2=(1+k2)x12,|AN|2=(1+k2)x22.
又|AQ|2=x2+(y-2)2=(1+k2)x2.
由,得
,
即.①
将y=kx+2代入+y2=1中,得
(2k2+1)x2+8kx+6=0.②
由Δ=(8k)2-4×(2k2+1)×6>0,得k2>.
由②可知,x1+x2=,x1x2=,
代入①中并化简,得.③
因为点Q在直线y=kx+2上,
所以,代入③中并化简,得10(y-2)2-3x2=18.
由③及k2>,可知0<x2<,即x∈∪.
又满足10(y-2)2-3x2=18,
故x∈.
由题意,Q(x,y)在椭圆C内,
所以-1≤y≤1.
又由10(y-2)2=18+3x2有(y-2)2∈且-1≤y≤1,
则y∈.
所以,点Q的轨迹方程为10(y-2)2-3x2=18,其中x∈,y∈.
21.
解:(1)函数f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞).
(2)由导数的几何意义可知,点A处的切线斜率为f′(x1),点B处的切线斜率为f′(x2),
故当点A处的切线与点B处的切线垂直时,有f′(x1)f′(x2)=-1.
当x<0时,对函数f(x)求导,得f′(x)=2x+2.
因为x1<x2<0,
所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1.
所以2x1+2<0,2x2+2>0.
因此x2-x1=[-(2x1+2)+2x2+2]≥=1,当且仅当-(2x1+2)=2x2+2=1,即且时等号成立.
所以,函数f(x)的图象在点A,B处的切线互相垂直时,x2-x1的最小值为1.
(3)当x1<x2<0或x2>x1>0时,f′(x1)≠f′(x2),故x1<0<x2.
当x1<0时,函数f(x)的图象在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1),即y=(2x1+2)x-x12+a.
当x2>0时,函数f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为y-ln x2=(x-x2),即y=·x+ln x2-1.
两切线重合的充要条件是
由①及x1<0<x2知,-1<x1<0.
由①②得,a=x12+-1=x12-ln(2x1+2)-1.
设h(x1)=x12-ln(2x1+2)-1(-1<x1<0),
则h′(x1)=2x1-<0.
所以,h(x1)(-1<x1<0)是减函数.
则h(x1)>h(0)=-ln 2-1,
所以a>-ln 2-1.
又当x1∈(-1,0)且趋近于-1时,h(x1)无限增大,
所以a的取值范围是(-ln 2-1,+∞).
故当函数f(x)的图象在点A,B处的切线重合时,a的取值范围是(-ln 2-1,+∞).