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- 2021-05-13 发布
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椭圆高考典型题型归纳
题型一. 定义及其应用
例1.已知一个动圆与圆相内切,且过点,求这个动圆圆心的轨迹方程;
例2. 方程所表示的曲线是
练习:
1.方程对应的图形是( )
A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆
2.方程对应的图形是( )
A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆
3.方程成立的充要条件是( )
A. B. C. D.
4.如果方程表示椭圆,则的取值范围是
5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点,则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于 ;
6.设圆的圆心为,是圆内一定点,为圆周上任意一点,线段的垂直平分线与的连线交于点,则点的轨迹方程为 ;
题型二. 椭圆的方程
(一)由方程研究曲线
例1.方程的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹;
(二)分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点,求椭圆的方程;
(三)用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点、,求椭圆的方程;
例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程;
注:一般地,与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为;
(四)定义法求轨迹方程;
例5.在中,所对的三边分别为,且,求满足且成等差数列时顶点的轨迹;
(五)相关点法求轨迹方程;
例6.已知轴上一定点,为椭圆上任一点,求的中点的轨迹方程;
(六)直接法求轨迹方程;
例7.设动直线垂直于轴,且与椭圆交于两点,点是直线上满足的点,求点的轨迹方程;
(七)列方程组求方程
例8.中心在原点,一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为,求此椭圆的方程;
题型三.焦点三角形问题
例1. 已知椭圆上一点的纵坐标为,椭圆的上下两个焦点分别为、,求、及;
例2.
题型四.椭圆的几何性质
例1.已知是椭圆上的点,的纵坐标为,、分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为,则的最大值与最小值之差为
例2.椭圆的四个顶点为,若四边形的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率为 ;
例3.若椭圆的离心率为,则 ;
例4.若为椭圆上一点,、为其两个焦点,且,,则椭圆的离心率为
题型五.求范围
例1.方程表示准线平行于轴的椭圆,求实数的取值范围;
题型六.椭圆的第二定义的应用
例1. 方程所表示的曲线是
例2.求经过点,以轴为准线,离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程;
例3.椭圆上有一点,它到左准线的距离等于,那么到右焦点的距离为
例4.已知椭圆,能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点,使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由。
例5.已知椭圆内有一点,、分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上一点.求的最小值及对应的点的坐标.
题型七.求离心率
例1. 椭圆的左焦点为,,是两个顶点,如果到直线的距离为,则椭圆的离心率
例2.若为椭圆上一点,、为其两个焦点,且,,则椭圆的离心率为
例3. 、为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,,且,则椭圆的离心率为 ;
题型八.椭圆参数方程的应用
例1. 椭圆上的点到直线的距离最大时,点的坐标
例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;
题型九.直线与椭圆的关系
(1)直线与椭圆的位置关系
例1. 当为何值时,直线与椭圆相切、相交、相离?
例2.曲线()与连结,的线段没有公共点,求的取值范围。
例3.过点作直线与椭圆相交于两点,为坐标原点,求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。
分析:若直接用点斜式设的方程为,则要求的斜率一定要存在,但在这里的斜率有可能不存在,因此要讨论斜率不存在的情形,为了避免讨论,我们可以设直线的方程为,这样就包含了斜率不存在时的情形了,从而简化了运算。
解:设,:
把代入椭圆方程得:,即
,,
∴,此时
令直线的倾角为,则即面积的最大值为,此时直线倾斜角的正切值为
。
例4.求直线和椭圆有公共点时,的取值范围。
(二)弦长问题
例1.已知椭圆,是轴正方向上的一定点,若过点,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为,求点的坐标。
分析:若直线与圆锥曲线相交于两点、,
则弦的长度的计算公式为,
而,因此只要把直线的方程代入圆锥曲线方程,消去(或),结合一元二次方程根与系数的关系即可求出弦长。
解:设(),则直线的方程为,设直线与椭圆相交于、,由,可得,
,,则
∴,即
∴,又,∴,∴;
例2.椭圆与直线相交于两点,是的中点,
若,为坐标原点,的斜率为,求的值。
例3.椭圆的焦点分别是和,过中心作直线与椭圆交于两点,若的面积是20,求直线方程。
(三)弦所在直线方程
例1.已知椭圆,过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是;
例2.已知一直线与椭圆相交于两点,弦的中点坐标为,求直线的方程;
例3. 椭圆中心在原点,焦点在轴上,其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点,且C分有向线段的比为2.
(1)用直线的斜率表示的面积;
(2)当的面积最大时,求椭圆E的方程.
解:(1)设椭圆的方程为,由,∴a2=3b2
故椭圆方程;
设,由于点分有向线段的比为2.
∴,即
由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-3b2=0
由直线l与椭圆E相交于两点
③
④
⑤
而 ⑥
由①④得:,代入⑥得:.
(2)因,
当且仅当取得最大值.
此时,又∵,∴;
将及代入⑤得3b2=5,∴椭圆方程.
例4.已知是椭圆上的三点,为椭圆的左焦点,且成等差数列,则的垂直平分线是否过定点?请证明你的结论。
(四)关于直线对称问题
例1.已知椭圆,试确定的取值范围,使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称;
例2.已知中心在原点,焦点在轴上,长轴长等于6,离心率,试问是否存在直线,使与椭圆交于不同两点,且线段恰被直线平分?若存在,求出直线倾斜角的取值范围;若不存在,请说明理由。
题型十.最值问题
F2
F1
M1
M2
例1.若,为椭圆的右焦点,点M在椭圆上移动,求的最大值和最小值。
分析:欲求的最大值和最小值
o
可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义
, 为椭圆的左焦点。
解:,连接,延长交椭圆于点M1,延长交椭圆于点由三角形三边关系知
当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号。
因为,所以, ;
结论1:设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆内一点,为椭圆上任意一点,则的最大值为,最小值为;
例2.,为椭圆的右焦点,点M在椭圆上移动,求的最大值和最小值。
分析:点在椭圆外,交椭圆于,此点使值最小,求最大值方法同例1。
解:,连接并延长交椭圆于点M1,
则M在M1处时取最大值;
∴最大值是10+,最小值是。
结论2设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆外一点,为椭圆上任意一点,则的最大值为,最小值为;
2.二次函数法
例3.求定点到椭圆上的点之间的最短距离。
分析:在椭圆上任取一点,由两点间距离公式表示,转化为的函数求最小值。
解:设为椭圆上任意一点,
由椭圆方程知的取值范围是
(1)若,则时,
(2)若,则时
(3)若,则
结论3:椭圆上的点到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题,可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱,通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值,注意自变量的取值范围。
3.三角函数法
例4.求椭圆上的点到直线的距离的最值;
解:三角换元 ∵ ∴令
则
当时;当时,结论4:若椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程,统一变量转化为三角函数求最值。
4.判别式法
例4的解决还可以用下面方法
把直线平移使其与椭圆相切,有两种状态,一种可求最小值,另一种求最大值。
解。令直线将代入椭圆方程整理得,由△=0解得, 时直线与椭圆切于点,
则到直线的距离为最小值,且最小值就是两平行直线与的距离,
所以;
时直线与椭圆切于点Q,则Q到直线l的距离为最大值,且最大值就是两平行直线m与l的距离,所以。
结论5:椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程,再利用平行线间的距离公式求出最值。
例5.已知定点,点为椭圆的右焦点,点在该椭圆上移动时,求的最小值,并求此时点的坐标;(第二定义的应用)
例3.已知、分别为椭圆的左、右焦点,椭圆内一点的坐标为,
为椭圆上的一个动点,试分别求:
(1)的最小值; (2)的取值范围.
解:(1),此时点为过点且垂直于的线段与椭圆的交点;
(2)由椭圆的定义知,故,
①,故
(当且仅当为有向线段的延长线与椭圆的交点时取“=”);
②,故;
(当且仅当为有向线段的反向延长线与椭圆的交点时取“=”)
综上可知,的取值范围为;
题型十一.轨迹问题
例1.到两定点,的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( )
A.椭圆 B.双曲线 C.直线 D.线段
例2.已知点,点在圆的上半圆周上(即y>0),∠AOP的平分线交于Q,求点Q的轨迹方程。
例3.已知圆及点,是圆C上任一点,线段的垂直平分线l与PC相交于Q点,求Q点的轨迹方程。
题型十二.椭圆与数形结合
例1.关于的方程有两个不相等的实数解,求实数的取值范围.
例2.求函数的最值。