高考数学解答题分类汇编——函数 35页

2010 年高考数学试题分类汇编——函数 （2010 上海文数）22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分， 第 3 小题满分 8 分。 若实数 、 、 满足 ，则称 比 接近 . （1）若 比 3 接近 0，求 的取值范围； （2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 接近 ； （3）已知函数 的定义域 .任取 ， 等于 和 中 接近 0 的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要 求证明）. 解析：(1) x∈(−2,2)； (2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 ， ， 因为 ， 所以 ，即 a2b+ab2 比 a3+b3 接近 ； (3) ,k∈Z， f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期 T=π，函数 f(x)的最小值为 0， 函数 f(x)在区间 单调递增，在区间 单调递减，k∈Z． （2010 湖南文数）21．（本小题满分 13 分） 已知函数 其中 a<0,且 a≠-1. （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）设函数 （e 是自然数的底数）。是否存在 a， 使 在[a,-a]上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。 x y m x m y m− < − x y m 2 1x − x a b 2 2a b ab+ 3 3a b+ 2ab ab ( )f x { }, ,D x x k k Z x Rπ≠ ∈ ∈ x D∈ ( )f x 1 sin x+ 1 sin x− ( )f x 2 2 2a b ab ab ab+ > 3 3 2a b ab ab+ > 2 2 3 3 2| 2 | | 2 | ( )( ) 0a b ab ab ab a b ab ab a b a b+ − − + − = − + − < 2 2 3 3| 2 | | 2 |a b ab ab ab a b ab ab+ − < + − 2ab ab 1 sin , (2 ,2 )( ) 1 | sin |,1 sin , (2 ,2 ) x x k kf x x x kx x k k π π π ππ π π + ∈ −= = − ≠ − ∈ + [ , )2k k ππ π− ( , ]2k k ππ π + ( ) ( 1)ln 15 ,af x x a x ax = + + − + ( )f x 3 3 2( 2 3 6 4 6 ) , 1 ( ), 1 ( ) { xx ax ax a a e x e f x x g x − + + − − ≤ ⋅ > = ( )g x （2010 浙江理数） (22)(本题满分 14 分)已知 是给定的实常数，设函数 ，a 2 2( ) ( ) ( )f x x a x b e= − + ， 是 的一个极大值点． (Ⅰ)求 的取值范围； (Ⅱ)设 是 的 3 个极值点，问是否存在实数 ，可找到 ，使得 的某种 排列 (其中 = )依次成等差数列?若存在，求所有的 及相应的 ；若不 存在，说明理由． 解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论 证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。 （Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a) 令 于是，假设 （1） 当 x1=a 或 x2=a 时，则 x=a 不是 f(x)的极值点，此时不合题意。 （2） 当 x1 a 且 x2 a 时，由于 x=a 是 f(x)的极大值点，故 x1则 1 2 1 2, ( ) 0 .x x g x x x= <是 的两个实根，且 ≠ ≠ ( ) 0g x < 2 (3 ) 2 0a a b a b ab a+ − + + − − < 4 22 3x x a a b= − = − − + 2( 1) 8 2 6a b a a+ − + − = + 4 22 3x x a a b= − = − − 2( 1) 8 2 6a b a a− + − + − = − 2 1x a a x− = − 2 12( )x a a x− = − 1 2( ) 2( )a x x a− = − 于是 此时 综上所述，存在 b 满足题意， 当 b=-a-3 时， 时， 时， （2010 全国卷 2 理数）（22）（本小题满分 12 分） 设函数 ． （Ⅰ）证明：当 时， ； 1a b+ − = 9 13 2 − − 4 2 ( 3) 3( 3) 1 1332 4 2 a x a a b a bx b a + + − − − + + −= = = − − = + 4 2 6x a= ± 7 13 2b a += − − 4 1 13 2x a += + 7 13 2b a −= − − 4 1 13 2x a −= + ( ) 1 xf x e−= − x＞- 1 ( ) 1 xf x x ≥ + （Ⅱ）设当 时， ，求 a 的取值范围． 【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论 的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力. 【参考答案】 0x ≥ ( ) 1 xf x ax ≤ + 【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本 技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题， 主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点 之所在. （2010 陕西文数）21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f（x）= ，g（x）=alnx，a R。 （1） 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程； （2） 设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时，求其最小值 （a）的解析式； （3） 对（2）中的 （a），证明：当 a （0，+ ）时， （a） 1. 解 （1）f’(x)= ,g’(x)= (x>0), 由已知得 =alnx， = ， 解德 a= ,x=e2, 两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 k=f’(e2)= , 切线的方程为 y-e= (x- e2). （2）由条件知 x ∈ ϕ ϕ ∈ ∞ ϕ ≤ 1 2 x a x x 1 2 x a x 2 e  1 2e  1 2e Ⅰ 当 a.>0 时，令 h (x)=0,解得 x= , 所以当 0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0， ）上递减； 当 x> 时，h (x)>0，h(x)在（0， ）上递增。 所以 x> 是 h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是 h(x)的最小值点。 所以 Φ （a）=h( )= 2a-aln =2 Ⅱ当 a ≤ 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。 故 h(x) 的最小值 Φ （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知 Φ （a）=2a(1-ln2a) 则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令 Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2 当 00，所以 Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以 Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。 所以 Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值 Φ（1/2 ）=1 因为 Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以 Φ（1/2）=1 也是 Φ（a）的最大值 所当 a 属于 (0, +∞)时，总有 Φ（a） ≤ 1 （2010 辽宁文数）（21）（本小题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， . 解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ )， . 当 a≥0 时， ＞0，故 f(x)在(0,+ )单调增加； 当 a≤－1 时， ＜0, 故 f(x)在(0,+ )单调减少； ' 24a 24a ' 24a 24a ' 24a 24a 24a 24a 2( ) ( 1)ln 1f x a x ax= + + + ( )f x 2a ≤ − 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2 1 2| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x− ≥ − ∞ 21 2 1( ) 2a ax af x axx x + + +′ = + = ( )f x′ ∞ ( )f x′ ∞ 当－1＜a＜0 时，令 ＝0,解得 x= .当 x∈(0, )时, ＞0； x∈( ，+ )时， ＜0, 故 f(x)在（0, ）单调增加，在（ ，+ ）单调减 少. (Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤－2,故 f(x)在（0，+ ）单调减少. 所以 等价于 ≥4x1－4x2, 即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则 +4 ＝ . 于是 ≤ ＝ ≤0. 从而 g(x)在（0，+ ）单调减少，故 g(x1) ≤g(x2)， 即　f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意 x1,x2∈(0,+ ) ， .　　 （2010 辽宁理数）（21）（本小题满分 12 分） 已知函数 （I）讨论函数 的单调性； （II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。 解： （Ⅰ） 的定义域为（0，+∞）. . 当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加； 当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少； ( )f x′ 1 2 a a +− 1 2 a a +− ( )f x′ 1 2 a a +− ∞ ( )f x′ 1 2 a a +− 1 2 a a +− ∞ ∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ − 1 2( ) ( )f x f x− 1( ) 2ag x axx +′ = + 22 4 1ax x a x + + + ( )g x′ 24 4 1x x x − + − 2(2 1)x x − − ∞ ∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ − 1ln)1()( 2 +++= axxaxf )(xf 1−0，为单调递增区间。 最大值在右端点取到。 。 （2010 安徽文数）20.（本小题满分 12 分） 设函数 ， ，求函数 的单调区间与极值。 【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解 决问题的能力. 【解题指导】（1）对函数 求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于 0 得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值. ( ) ( )ln ln 2 ( 0)f x x x ax a= + − + > ( )f x ( )f x ( ]01， 1 2 1 1( ) 2f x ax x ′ = − +− 21 1 2( ) 0 +1=0 02 2 xf x x x x x − +′ = − ⇒ =− −得 （ ） (0, 2), ( ) 0,x f x′∈ > ( 2 2), ( ) 0,x f x′∈ <， ( ]01， ( ]01x∈ ， 1 1( ) 2f x ax x ′ = − +− max 1(1) 2f f a= = = ( ) sin cos 1f x x x x= − + + 0 2x π< < ( )f x ( ) sin cos 1f x x x x= − + + , , , ( ) 1 2 ( ).4 2 3( ) 0 ( )4 2 2 ( ) x x x x x x x x ππ π ππ = + + = + = = = 解：由f ( x) =si nx- cosx+x+1, 0 (0, )+∞ '( ) 0f x < ( )f x ( 1,0)− (0, )+∞ 0 1k< < ( 1)'( ) 01 x kx kf x x + −= =+ 1 0x = 2 1 0kx k −= > ( 1,0)− 1( , )k k − +∞ '( ) 0f x > 1(0, )k k − '( ) 0f x < ( )f x ( 1,0)− 1( , )k k − +∞ 1(0, )k k − 1k = 2 '( ) 1 xf x x = + ( )f x ( 1, )− +∞ 1k > ( 1)'( ) 01 x kx kf x x + −= =+ 1 1 ( 1,0)kx k −= ∈ − 2 0x = 1( 1, )k k −− (0, )+∞ '( ) 0f x > 1( ,0)k k − '( ) 0f x < ( )f x 1( 1, )k k −− (0, )+∞ 1( ,0)k k − 设 （ 且 ），g(x)是 f(x)的反函数. （Ⅰ）设关于 的方程求 在区间[2，6]上有实数解，求 t 的取值范围； （Ⅱ）当 a＝e（e 为自然对数的底数）时，证明： ； （Ⅲ）当 0＜a≤ 1 2时，试比较 与 4 的大小，并说明理由. 本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方 法，以及推理论证、分析与解决问题的能力. 解：(1)由题意，得 ax＝ ＞0 故 g(x)＝ ，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞) 由 得 t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6] 则 t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5) 列表如下： x 2 (2,5) 5 (5,6) 6 t' + 0 - t 5 ↗ 极大值 32 ↘ 25 所以 t 最小值＝5，t 最大值＝32 所以 t 的取值范围为[5,32]……………………………………………………5 分 (2) ＝ln( ) ＝－ln 1 1 x x af ( x ) a += − 0a > 1a ≠ x 2 1 7a tlog g( x )( x )( x ) =− − 2 2 2 2 1 n k n ng( k ) n( n )= − −> +∑ 1 n k f ( k ) n =  − ∑ 1 1 y y − + 1log 1a x x − + 2 1log log( 1)(7 ) 1a a t x x x x −=− − + 2 1 2 3 1( ) ln ln ln ln3 4 5 1 n k ng k n= −= + + + + +∑  1 2 3 1 3 4 5 1 n n −× × × × + ( 1) 2 n n + 令 u(z)＝－lnz2－ ＝－2lnz＋z－ ，z＞0 则 u'(z)＝－ ＝(1－ )2≥0 所以 u(z)在(0,＋∞)上是增函数 又因为 ＞1＞0，所以 u( )＞u(1)＝0 即 ln ＞0 即 ………………………………………………………………9 分 (3)设 a＝ ，则 p≥1，1＜f(1)＝ ≤3 当 n＝1 时，|f(1)－1|＝ ≤2＜4 当 n≥2 时 设 k≥2,k∈N *时，则 f(k)＝ ＝1＋ 所以 1＜f(k)≤1＋ 从而 n－1＜ ≤n-1+ ＝n+1- ＜n＋1 所以 n＜ ＜f(1)＋n＋1≤n＋4 综上所述，总有| －n|＜4 21 z z − 1 z 2 2 11z z + + 1 z ( 1) 2 n n + ( 1) 2 n n + ( 1)12 2 ( 1) ( 1) 2 n n n n n n +− −+ + 2 2 2( ) 2 ( 1) n k n ng k n n= − −> +∑ 1 1 p+ 1 211 a a p + = +− 2 p (1 ) 1 21(1 ) 1 (1 ) 1 k k k p p p + + = ++ − + − 1 2 2 2 k k k k kC p C p C p+ + + 1 2 2 4 4 41 1( 1) 1k kC C k k k k = + = + −+ + + 2 ( ) n k f k = ∑ 4 4 2 1n − + 4 1n + 1 ( ) n k f k = ∑ 1 ( ) n k f k = ∑ （2010 天津文数）（20）（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）= ，其中 a>0. （Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程； （Ⅱ）若在区间 上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范围. 【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考 查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. （Ⅰ）解：当 a=1 时，f（x）= ，f（2）=3；f’(x)= , f’(2)=6.所以曲线 y=f （x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y-3=6（x-2），即 y=6x-9. （Ⅱ）解：f’(x)= .令 f’(x)=0，解得 x=0 或 x= . 以下分两种情况讨论： （1） 若 ，当 x 变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表： X 0 f’(x) + 0 - f(x) 极大值 当 等价于 解不等式组得-52，则 .当 x 变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： X 0 f’(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 3 23 1( )2ax x x R− + ∈ 1 1,2 2  −   3 23x x 12 − + 23 3x x− 23 3 3 ( 1)ax x x ax− = − 1 a 1 10 a 2 a 2 < ≤ ≥，则 1 02  −  ， 1 2     0，   1 1x f x2 2  ∈ −  ， 时， （ ）>0 5 a1 0,( ) 0, 82 1 5 a( ) 0, 0.2 8 f f − >− >    + > >   即 0 a 2< ≤ 1 10 a 2 < < 1 02  −  ， 1 a     0， 1 a 1 1 a 2     ，    当 时，f（x）>0 等价于 即 解不等式组得 或 .因此 20,a     >0, 2 5 8 11- >0.2 a a −    >0, 2 52 a< < 2 2a < − ( ) ( )xf x xc x R−= ∈ ( )f x ( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x > ( ) ( )f x g x> 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ > ( ) (1 ) xx x e−= − ,1−∞ 1,+∞   ,1−∞ 1,+∞ 1 e 2xe − 2( ) ( 2)x xF x xe x e− −= + − 2 2'( ) ( 1)( 1)x xF x x e e− −= − − 当 x>1 时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数 F（x）在[1,+∞)是增函数。 又 F(1)= F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因 为 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数 f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以 > ,即 >2. （2010 福建文数）22．（本小题满分 14 分） 已知函数 f（x）= 的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2 (Ⅰ)求实数 a,b 的值； (Ⅱ)设 g（x）=f(x)+ 是[ ]上的增函数。 （i）求实数 m 的最大值； (ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这 两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。 2x-2e 1 0, 0, Fxe−− > >又 所以 -1 -1e e 0− = ，所以x>1时，有 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), 1.x x x x x x− − = Ι = = = ≠1 2由（ ）及f ( x f ( x 则 与 矛盾。 1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), .x x x x x x− − > Ι = = ≠1 2由（ ）及f ( x f ( x 得 与 矛盾。 1 2 1 2( 1)( 1) 0, 1, 1.x x x x− − < < >不妨设 )2f ( x )2g( x )2g( x )2f ( 2- x )2f ( x )2f ( 2- x )1f ( x )2f ( 2- x 2 1x > 22 1x− < 1x 22 x− 1 2x x+ 3 21 3 x x ax b− + + 1 m x − 2,+∞ （2010 福建文数）21．(本小题满分 12 分) 某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 北偏西 30 °且与该港口相距 20 海里的 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿 直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 小时与轮船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在 ，使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存 在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由。 O O A υ t υ υ υ （2010 全国卷 1 理数）(20)(本小题满分 12 分) 已知函数 . （Ⅰ）若 ，求 的取值范围； （Ⅱ）证明： . （2010 四川文数）（22）（本小题满分 14 分） ( ) ( 1)ln 1f x x x x= + − + 2'( ) 1xf x x ax≤ + + a ( 1) ( ) 0x f x− ≥ 设 （ 且 ），g(x)是 f(x)的反函数. （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）当 时，恒有 成立，求 t 的取值范围； （Ⅲ）当 0＜a≤ 1 2时，试比较 f(1)+f(2)+…+f(n)与 的大小，并说明理由. 1 1 x x af ( x ) a += − 0a > 1a ≠ ( )g x [2,6]x∈ 2( ) log ( 1)(7 )a tg x x x > − − 4n + （2010 湖北文数）21.（本小题满分 14 分） 设函数 ，其中 a＞0，曲线 在点 P（0， ）处的切线方程 为 y=1 （Ⅰ）确定 b、c 的值 （Ⅱ）设曲线 在点（ ）及（ ）处的切线都过点（0,2）证明：当 时， （Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 的三条不同切线，求 a 的取值范围。 （2010 湖北文数）19.（本小题满分 12 分） 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部 门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同事也拆除面积为 b（单位：m2）的旧住房。 3 21 ax x bx c3 2f − + +（x）= xy f= （ ） 0f（ ） xy f= （ ） 1 1x xf，（ ） 2 2x xf，（ ） 1 2x x≠ 1 2'( ) '( )f x f x≠ xy f= （ ） （Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面 积 b 是多少？（计算时取 1.15=1.6） （2010 山东理数）(22)(本小题满分 14 分) 已知函数 . (Ⅰ)当 时，讨论 的单调性； （Ⅱ）设 当 时，若对任意 ，存在 ，使 ，求实数 取值范围. 1( ) ln 1af x x ax x −= − + − ( )a R∈ 1 2a ≤ ( )f x 2( ) 2 4.g x x bx= − + 1 4a = 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ b （Ⅱ）当 时， 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 ， 有 ，又已知存在 ，使 ，所以 ， ， 即存在 ，使 ，即 ，即 ， 所以 ，解得 ，即实数 取值范围是 。 【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、 利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力； 考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。 （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出 的最小值、利用二次函数 知识或分离常数法求出 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。 1 4a = f(x) 1 (0,2)x ∈ 1 1f(x ) f(1)=- 2 ≥ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ 2 1 ( )2 g x− ≥ [ ]2 1,2x ∈ [ ]1,2x∈ 2 1( ) 2 4 2g x x bx= − + ≤ − 2 92 2bx x≥ + 9 22b x x ≥ + ∈ 11 17[ , ]2 4 112 2b ≥ 11 4b ≥ b 11[ , )4 +∞ ( )f x ( )g x （2010 湖南理数）20.（本小题满分 13 分） 已知函数 对任意的 ，恒有 。 （Ⅰ）证明：当 时， ； （Ⅱ）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式 恒成立，求 M 的最小值。 解析： （2010 湖北理数）17．（本小题满分 12 分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造 可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万 元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C（x）= 若不建隔热层，每年能源消耗费 用为 8 万元。设 f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 （Ⅰ）求 k 的值及 f(x)的表达式。 （Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。 2( ) ( , ),f x x bx c b c R= + + ∈ x R∈ ' ( )f x ≤ ( )f x 0x ≥ 2( ) ( )f x x c≤ + 2 2( ) ( ) ( )f c f b M c b− ≤ − (0 10),3 5 k xx ≤ ≤+ （2010 福建理数）20．（本小题满分 14 分） （Ⅰ）已知函数 ， 。 （i）求函数 的单调区间； （ii）证明：若对于任意非零实数 ，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点 ，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点 ，线段 （Ⅱ）对于一般的三次函数 （Ⅰ）（ii）的正确命题，并予 以证明。 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理 论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。 【解析】（Ⅰ）（i）由 得 = ， 当 和 时， ； 当 时， ， 3(x)=x -xf 其图象记为曲线C (x)f 1x 1 1 1P (x ,f(x )) 2 2 2P (x ,f(x )) 2 2 2P (x ,f(x )) 3 3 3P (x ,f(x )) 1 1 2 2 3 1 2 2 P P ,P P ,S , SC S 与曲线 所围成封闭图形的面积分别记为S 则 为定值； 3 2g(x)=ax +bx +cx+d(a 0),≠ 请给出类似于 3(x)=x -xf ' 2(x)=3x -1f 3 33(x- )(x+ )3 3 3x (- ,- )3 ∈ ∞ 3 3 + ∞（ ， ） ' (x)>0f 3x (- ,3 ∈ 3 )3 ' (x)<0f 因此， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。 （2010 湖北理数） (x)f 3(- ,- )3 ∞ 3 3 + ∞（ ， ） 3(- ,3 3 )3 （2010 安徽理数）17、（本小题满分 12 分） 设 为实数，函数 。 (Ⅰ)求 的单调区间与极值； (Ⅱ)求证：当 且 时， 。 a ( ) 2 2 ,xf x e x a x= − + ∈R ( )f x ln 2 1a > − 0x > 2 2 1xe x ax> − + （2010 江苏卷）20、（本小题满分 16 分） 设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数 ，其中 对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 。 (1)设函数 ，其中 为实数。 (i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。 (2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数， ， ，且 ， 若| |<| |，求 的取值范围。 [解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的 思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。 （1）(i) ∵ 时， 恒成立， ∴函数 具有性质 ； (ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。 )(xf ),1( +∞ )(' xf a )(xh )(xh ),1( +∞∈x )(xh )1)(()(' 2 +−= axxxhxf )(xf )(aP )(xf 2ln ( 1)1 bx xx += + >+ b )(xf )(bP )(xf )(xg )2(P 1 2 1 2, (1, ), ,x x x x∈ +∞ < m 21 )1( xmmx −+=α 21)1( mxxm +−=β 1,1 >> βα )()( βα gg − )()( 21 xgxg − m '( )f x 2 2 2 1 2 1 ( 1)( 1) ( 1) b x bxx x x x += − = − ++ + 1x > 2 1( ) 0( 1)h x x x = >+ )(xf )(bP 2 2 2( ) 1 ( ) 12 4 b bx x bx xϕ = − + = − + − ( )xϕ )(' xf 当 时， ， ，故此时 在区间 上递增； 当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增； 当 时， 图像开口向上，对称轴 ，而 ， 对于 ，总有 ， ，故此时 在区间 上递增； （方法二）当 时，对于 ， 所以 ，故此时 在区间 上递增； 当 时 ， 图 像 开 口 向 上 ， 对 称 轴 ， 方 程 的 两 根 为 ： ，而 当 时， ， ，故此时 在区间 上递减； 同理得： 在区间 上递增。 综上所述，当 时， 在区间 上递增； 当 时， 在 上递减； 在 上递增。 (2)（方法一）由题意，得： 又 对任意的 都有 >0， 所以对任意的 都有 ， 在 上递增。 又 。 当 时， ，且 ， 2 1 0, 2 24 b b− > − < < ( )xϕ 0> )(' xf 0> )(xf ),1( +∞ 2b = ± 1x > )(' xf 0> )(xf ),1( +∞ 2b < − ( )xϕ 12 bx = < − (0) 1ϕ = 1x > ( )xϕ 0> )(' xf 0> )(xf ),1( +∞ 2b ≤ 1x > 2 2 2( ) 1 2 1 ( 1) 0x x bx x x xϕ = − + ≥ − + = − > )(' xf 0> )(xf ),1( +∞ 2b > ( )xϕ 12 bx = > ( ) 0xϕ = 2 24 4,2 2 b b b b+ − − − 2 2 2 4 4 21, (0,1)2 2 4 b b b b b b + − − −> = ∈ + − 2 4(1, )2 b bx + −∈ ( )xϕ 0< )(' xf 0< )(xf 2 4(1, )2 b b+ − )(xf 2 4[ , )2 b b+ − +∞ 2b ≤ )(xf ),1( +∞ 2b > )(xf 2 4(1, )2 b b+ − )(xf 2 4[ , )2 b b+ − +∞ 2 2'( ) ( )( 2 1) ( )( 1)g x h x x x h x x= − + = − )(xh ),1( +∞∈x )(xh ),1( +∞∈x ( ) 0g x′ > ( )g x (1, )+∞ 1 2 1 2, (2 1)( )x x m x xα β α β+ = + − = − − 1 , 12m m> ≠ α β< 1 1 2 2 1 2( 1) (1 ) , (1 ) ( 1)x m x m x x m x m xα β− = − + − − = − + − 综合以上讨论，得：所求 的取值范围是（0，1）。 （ 方 法 二 ） 由 题 设 知 ， 的 导 函 数 ， 其 中 函 数 对 于 任 意 的 都成立。所以，当 时， ，从而 在区间 上单调递增。 ①当 时，有 ， ，得 ，同理可得 ，所以由 的单调 性知 、 ， 从而有| |<| |，符合题设。 ②当 时， ， ， 于 是 由 及 的 单 调 性 知 ，所以| |≥| |，与题设不符。 ③当 时，同理可得 ，进而得| |≥| |，与题设不符。 因此综合①、②、③得所求的 的取值范围是（0，1）。 m ( )g x 2'( ) ( )( 2 1)g x h x x x= − + ( ) 0h x > ),1( +∞∈x 1x > 2'( ) ( )( 1) 0g x h x x= − > ( )g x ),1( +∞ (0,1)m∈ 1 2 1 1 1(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − > + − = 1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − < + − = 1 2( , )x xα ∈ 1 2( , )x xβ ∈ ( )g x ( )g α ( )g β 1 2( ( ), ( ))g x g x∈ )()( βα gg − )()( 21 xgxg − 0m ≤ 1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − ≥ + − = 1 2 1 1 1(1 ) (1 )m x mx m x mx xβ = − + ≤ − + = 1, 1α β> > ( )g x 1 2( ) ( ) ( ) ( )g g x g x gβ α≤ < ≤ )()( βα gg − )()( 21 xgxg − 1m ≥ 1 2,x xα β≤ ≥ )()( βα gg − )()( 21 xgxg − m