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  • 2021-05-13 发布

高考试题分类汇编之向量带答案解析

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‎2017年11月08日187****5958的高中数学组卷 ‎ ‎ 一.选择题(共5小题)‎ ‎1.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则•(+)的最小值是(  )‎ A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1‎ ‎2.设非零向量,满足|+|=|﹣|则(  )‎ A.⊥ B.||=|| C.∥ D.||>||‎ ‎3.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(  )‎ A.3 B.2 C. D.2‎ ‎4.如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=•,I2=•,I3=•,则(  )‎ A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3‎ ‎5.设,为非零向量,则“存在负数λ,使得=λ”是•<0”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ 二.填空题(共9小题)‎ ‎6.已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|=   .‎ ‎7.已知向量=(﹣1,2),=(m,1),若向量+与垂直,则m=   .‎ ‎8.已知向量=(﹣2,3),=(3,m),且,则m=   .‎ ‎9.已知向量=(2,6),=(﹣1,λ),若,则λ=   .‎ ‎10.已知, 是互相垂直的单位向量,若﹣ 与+λ的夹角为60°,则实数λ的值是   .‎ ‎11.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(﹣2,0),O为原点,则•的最大值为   .‎ ‎12.如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=   .‎ ‎13.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为   .‎ ‎14.在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是   .‎ ‎ ‎ ‎2017年11月08日187****5958的高中数学组卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共5小题)‎ ‎1.(2017•新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则•(+)的最小值是(  )‎ A.﹣2 B.﹣ C.﹣ D.﹣1‎ ‎【分析】根据条件建立坐标系,求出点的坐标,利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可.‎ ‎【解答】解:建立如图所示的坐标系,以BC中点为坐标原点,‎ 则A(0,),B(﹣1,0),C(1,0),‎ 设P(x,y),则=(﹣x,﹣y),=(﹣1﹣x,﹣y),=(1﹣x,﹣y),‎ 则•(+)=2x2﹣2y+2y2=2[x2+(y﹣)2﹣]‎ ‎∴当x=0,y=时,取得最小值2×(﹣)=﹣,‎ 故选:B ‎【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(2017•新课标Ⅱ)设非零向量,满足|+|=|﹣|则(  )‎ A.⊥ B.||=|| C.∥ D.||>||‎ ‎【分析】由已知得,从而=0,由此得到.‎ ‎【解答】解:∵非零向量,满足|+|=|﹣|,‎ ‎∴,‎ 解得=0,‎ ‎∴.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查两个向量的关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,注意向量的模的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎3.(2017•新课标Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为(  )‎ A.3 B.2 C. D.2‎ ‎【分析】如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,先求出圆的标准方程,再设点P的坐标为(cosθ+1,sinθ+2),根据=λ+μ,求出λ,μ,根据三角函数的性质即可求出最值.‎ ‎【解答】解:如图:以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,‎ 则A(0,0),B(1,0),D(0,2),C(1,2),‎ ‎∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,‎ 设圆的半径为r,‎ ‎∵BC=2,CD=1,‎ ‎∴BD==‎ ‎∴BC•CD=BD•r,‎ ‎∴r=,‎ ‎∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=,‎ 设点P的坐标为(cosθ+1,sinθ+2),‎ ‎∵=λ+μ,‎ ‎∴(cosθ+1,sinθ+2)=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),‎ ‎∴cosθ+1=λ,sinθ+2=2μ,‎ ‎∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin(θ+φ)+2,其中tanφ=2,‎ ‎∵﹣1≤sin(θ+φ)≤1,‎ ‎∴1≤λ+μ≤3,‎ 故λ+μ的最大值为3,‎ 故选:A ‎【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质,关键是设点P的坐标,考查了学生的运算能力和转化能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎4.(2017•浙江)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=•,I2=•,I3=•,则(  )‎ A.I1<I2<I3 B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2 D.I2<I1<I3‎ ‎【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可.‎ ‎【解答】解:∵AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,‎ ‎∴AC=2,‎ ‎∴∠AOB=∠COD>90°,‎ 由图象知OA<OC,OB<OD,‎ ‎∴0>•>•,•>0,‎ 即I3<I1<I2,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查平面向量数量积的应用,根据图象结合平面向量数量积的定义是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(2017•北京)设,为非零向量,则“存在负数λ,使得=λ”是•<0”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】,为非零向量,存在负数λ,使得=λ,则向量,共线且方向相反,可得•<0.反之不成立,非零向量,的夹角为钝角,满足•<0,而=λ不成立.即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:,为非零向量,存在负数λ,使得=λ,则向量,共线且方向相反,可得•<0.‎ 反之不成立,非零向量,的夹角为钝角,满足•<0,而=λ不成立.‎ ‎∴,为非零向量,则“存在负数λ,使得=λ”是•<0”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共9小题)‎ ‎6.(2017•新课标Ⅰ)已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|= 2‎ ‎ .‎ ‎【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可.‎ ‎【解答】解:【解法一】向量,的夹角为60°,且||=2,||=1,‎ ‎∴=+4•+4‎ ‎=22+4×2×1×cos60°+4×12‎ ‎=12,‎ ‎∴|+2|=2.‎ ‎【解法二】根据题意画出图形,如图所示;‎ 结合图形=+=+2;‎ 在△OAC中,由余弦定理得 ‎||==2,‎ 即|+2|=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题,解题时应利用数量积求出模长,是基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(2017•新课标Ⅰ)已知向量=(﹣1,2),=(m,1),若向量+与垂直,则m= 7 .‎ ‎【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出,再由向量+与垂直,利用向量垂直的条件能求出m的值.‎ ‎【解答】解:∵向量=(﹣1,2),=(m,1),‎ ‎∴=(﹣1+m,3),‎ ‎∵向量+与垂直,‎ ‎∴()•=(﹣1+m)×(﹣1)+3×2=0,‎ 解得m=7.‎ 故答案为:7.‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎8.(2017•新课标Ⅲ)已知向量=(﹣2,3),=(3,m),且,则m= 2 .‎ ‎【分析】利用平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质求解.‎ ‎【解答】解:∵向量=(﹣2,3),=(3,m),且,‎ ‎∴=﹣6+3m=0,‎ 解得m=2.‎ 故答案为:2.‎ ‎【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量数量积坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用.‎ ‎ ‎ ‎9.(2017•山东)已知向量=(2,6),=(﹣1,λ),若,则λ= ﹣3 .‎ ‎【分析】利用向量共线定理即可得出.‎ ‎【解答】解:∵,∴﹣6﹣2λ=0,解得λ=﹣3.‎ 故答案为:﹣3.‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理,考查了推理能力语音计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎10.(2017•山东)已知, 是互相垂直的单位向量,若﹣ 与+λ的夹角为60°,则实数λ的值是  .‎ ‎【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义,列出方程解方程即可求出λ的值.‎ ‎【解答】解:, 是互相垂直的单位向量,‎ ‎∴||=||=1,且•=0;‎ 又﹣ 与+λ的夹角为60°,‎ ‎∴(﹣)•(+λ)=|﹣|×|+λ|×cos60°,‎ 即+(﹣1)•﹣λ=××,‎ 化简得﹣λ=××,‎ 即﹣λ=,‎ 解得λ=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎11.(2017•北京)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(﹣2,0),O为原点,则•的最大值为 6 .‎ ‎【分析】设P(cosα,sinα).可得=(2,0),=(cosα+2,sinα).利用数量积运算性质、三角函数的单调性与值域即可得出.‎ ‎【解答】解:设P(cosα,sinα).=(2,0),=(cosα+2,sinα).‎ 则•=2(cosα+2)≤6,当且仅当cosα=1时取等号.‎ 故答案为:6.‎ ‎【点评】‎ 本题考查了数量积运算性质、三角函数的单调性与值域、圆的参数方程,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎12.(2017•江苏)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n= 3 .‎ ‎【分析】如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).由与的夹角为α,且tanα=7.可得cosα=,sinα=.C.可得cos(α+45°)=.sin(α+45°)=.B.利用=m+n(m,n∈R),即可得出.‎ ‎【解答】解:如图所示,建立直角坐标系.A(1,0).‎ 由与的夹角为α,且tanα=7.‎ ‎∴cosα=,sinα=.‎ ‎∴C.‎ cos(α+45°)=(cosα﹣sinα)=.‎ sin(α+45°)=(sinα+cosα)=.‎ ‎∴B.‎ ‎∵=m+n(m,n∈R),‎ ‎∴=m﹣n,=0+n,‎ 解得n=,m=.‎ 则m+n=3.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题考查了向量坐标运算性质、和差公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎13.(2017•天津)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ﹣(λ∈R),且=﹣4,则λ的值为  .‎ ‎【分析】根据题意画出图形,结合图形,利用、表示出,‎ 再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值.‎ ‎【解答】解:如图所示,‎ ‎△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,‎ ‎=2,‎ ‎∴=+‎ ‎=+‎ ‎=+(﹣)‎ ‎=+,‎ 又=λ﹣(λ∈R),‎ ‎∴=(+)•(λ﹣)‎ ‎=(λ﹣)•﹣+λ ‎=(λ﹣)×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4,‎ ‎∴λ=1,‎ 解得λ=.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎14.(2017•江苏)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是 [﹣5,1] .‎ ‎【分析】根据题意,设P(x0,y0),由数量积的坐标计算公式化简变形可得2x0+y0+5≤0,分析可得其表示表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域,联立直线与圆的方程可得交点的横坐标,结合图形分析可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,设P(x0,y0),则有x02+y02=50,‎ ‎=(﹣12﹣x0,﹣y0)•(﹣x0,6﹣y0)=(12+x0)x0﹣y0(6﹣y0)=12x0+6y+x02+y02≤20,‎ 化为:12x0﹣6y0+30≤0,‎ 即2x0﹣y0+5≤0,表示直线2x﹣y+5=0以及直线上方的区域,‎ 联立,解可得x0=﹣5或x0=1,‎ 结合图形分析可得:点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5,1],‎ 故答案为:[﹣5,1].‎ ‎【点评】本题考查数量积的运算以及直线与圆的位置关系,关键是利用数量积化简变形得到关于x0、y0的关系式.‎ ‎ ‎