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‎2012年高考数学模拟试题及答案（二）‎ ‎6 已知过函数f（x）=的图象上一点B（1，b）的切线的斜率为－3。‎ （1） 求a、b的值；‎ （2） 求A的取值范围，使不等式f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立；‎ （3） 令。是否存在一个实数t，使得当时，g（x）有最大值1？ ‎ ‎7 已知两点M（－2，0），N（2，0），动点P在y轴上的射影为H，︱︱是2和的等比中项。‎ （1） 求动点P的轨迹方程，并指出方程所表示的曲线；‎ （2） 若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程。‎ ‎8．已知数列{an}满足 ‎ （1）求数列{bn}的通项公式；‎ ‎ （2）设数列{bn}的前项和为Sn，试比较Sn与的大小，并证明你的结论.‎ ‎9．已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线对称．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线经过M（-2，0）及AB的中点，求直线在轴上的截距b的取值范围； ‎ ‎（Ⅲ）若Q是双曲线C上的任一点，为双曲线C的左，右两个焦点，从引的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程．‎ ‎10. 对任意都有 ‎（Ⅰ）求和的值．‎ ‎（Ⅱ）数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；‎ 试比较与的大小．‎ 参考答案：‎ ‎6、解：（1）=‎ 依题意得k==3+2a=－3， ∴a=－3‎ ‎，把B（1，b）代入得b=‎ ‎∴a=－3，b=－1‎ ‎（2）令=3x2－6x=0得x=0或x=2‎ ‎∵f（0）=1，f（2）=23－3×22＋1=－3‎ f（－1）=－3，f（4）=17‎ ‎∴x∈[－1，4]，－3≤f（x）≤17‎ 要使f（x）≤A－1987对于x∈[－1，4]恒成立，则f（x）的最大值17≤A－1987‎ ‎∴A≥2004。‎ （1） 已知g（x）=－‎ ‎∴‎ ‎∵0＜x≤1，∴－3≤－3x2＜0，‎ ① 当t＞3时，t－3x2＞0，‎ ‎∴g（x）在上为增函数，‎ g（x）的最大值g（1）=t－1=1,得t=2（不合题意,舍去）‎ ② 当0≤t≤3时, ‎ 令=0,得x=‎ 列表如下:‎ x ‎（0, ）‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ g（x）‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ g（x）在x=处取最大值－＋t=1‎ ‎∴t==＜3‎ ‎∴x=＜1‎ ‎③当t＜0时，＜0，∴g（x）在上为减函数，‎ ‎∴g（x）在上为增函数，‎ ‎∴存在一个a=，使g（x）在上有最大值1。‎ ‎7、解:（1）设动点的坐标为P（x,y）,则H（0,y）,,=（－2－x,－y）‎ ‎=（2－x,－y）‎ ‎∴·=（－2－x,－y）·（2－x,－y）=‎ 由题意得∣PH∣2=2··‎ 即 即，所求点P的轨迹为椭圆 ‎（2）由已知求得N（2，0）关于直线x+y=1的对称点E（1，－1），则∣QE∣=∣QN∣‎ 双曲线的C实轴长2a=（当且仅当Q、E、M共线时取“=”），此时，实轴长2a最大为 所以，双曲线C的实半轴长a=‎ 又 ‎∴双曲线C的方程式为 ‎8.（1）‎ ‎ （2）‎ ‎9．解：（Ⅰ）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kx-y=0‎ ‎∵该直线与圆相切，‎ ‎∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x．…………………………………………2分 故设双曲线C的方程为．‎ 又双曲线C的一个焦点为 ‎ ‎∴，．‎ ‎∴双曲线C的方程为．………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）由得．‎ 令 直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根．‎ 因此　 解得．‎ 又AB中点为，‎ ‎∴直线l的方程为．………………………………6分 令x=0，得．‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ ‎∴．………………………………………………8分 ‎（Ⅲ）若Q在双曲线的右支上，则延长到T，使，‎ 若Q在双曲线的左支上，则在上取一点T，使．‎ 根据双曲线的定义，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是 ‎　　 ①…………………………………………10分 由于点N是线段的中点，设，．‎ 则，即．‎ 代入①并整理得点N的轨迹方程为．………………12分 ‎10 解：（Ⅰ）因为．所以．……2分 令，得，即．……………4分 ‎（Ⅱ）‎ 又………………5分 两式相加 ‎．‎ 所以，………………7分 又．故数列是等差数列．………………9分 ‎（Ⅲ）‎ ‎………………10分 ‎………………12分 所以……………………………………………………………………14分