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- 2021-05-13 发布
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“超级全能生”2019高考选考科目浙江省9月联考（数学）
一、选择题（本大题共10小题，共50分）
1. 已知集合A=｛x｜x>2｝，B=｛x｜x≥3｝，则(CRB)∩A= ( )
A. (2,3) B. (2,3] C. (-∞,2) D. [3,+∞)
【答案】A
本题主要考查交集和补集的运算．
由题意可得，CRB=x|x<3，进而可求出(CRB)∩A．
解：∵B=｛x｜x≥3｝，∴CRB=x|x<3，
又∵A=｛x｜x>2｝，∴(CRB)∩A=x|20和x<0时，函数y=ln(x+1+x-1)x与0的大小判断，进而可得答案．
解：当x>0时，故x+1+x-1>0，从而lnx+1+x-1>0，所以ln(|x+1|+|x-1|)x>0，即y>0，排除C、D；
当x<0时，故x+1+x-1>0，从而lnx+1+x-1>0，所以ln(|x+1|+|x-1|)x>0，即y>0，排除B；
故A正确．
故选A．
2. 已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，其中b=a+c，若对任意的实数b，c都有不等式f(b2+c2)≥f(2bc)成立，则方程f(x)=0的根的可能性为 ( )
A. 有一个实数根 B. 两个不相等的实数根
C. 至少一个负实数根 D. 没有正实数根
【答案】C
本题主要考查方程根的判别问题，利用条件b=a+c有f-1=0，结合判别式即可得出结果．
解：∵b=a+c，∴f-1=0，
∵∆=b2-4ac=a-c2≥0，
∴方程f(x)=0至少一个负实数根．
故选C．
3. 已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若a·e=1，b·e=2，a·b=3，则｜a+b｜的最小值是 ( )
A. 3 B. 13 C. 19 D. 6
【答案】B
本体的难点是通过设向量的坐标，转换成均值不等式求最值．
解：设e→=(1,0),a→=(x1,y1),b→=(x2,y2)，
则由a→·e→=1，得x1=1，
由b→·e→=2，得x2=2，
由a→·b→=x1x2+y1y2=3，∴y1y2=1，
所以|a→+b→|=a→+b→2=x1+x22+y1+y22=11+y12+y22≥11+2y1y2=13．
故选B．
4. 如图，矩形ABCD中，AD=3，AB=4，E，F分别为AD，AB中点，M为线段BC上的一个动点，现将△DEC，△AEF，分别沿EC，EF折起，使A，D重合于点P.设PM与平面BCEF所成角为α，二面角P-EF-C的平面角为β，二面角P-EC-F的平面角为γ，则 ( )
A. α<β<γ B. γ<α<β C. β<γ<α D. α<γ<β
【答案】D
本题主要考查空间中角的计算问题，本题可用极端值处理，当M在BC中点时，易求得答案．
解：当M在BC中点时，易知α<γ<β，
故选D．
5. 已知数列｛an｝满足a1=2，an+1=12an+1an(n∈N*)，设bn=an-1an+1，则b100=( )
A. 3-198 B. 3-298 C. 3-299 D. 3-2100
【答案】C
本题考查了等比数列的判定与通项公式，属于中档题，构造等比数列是解答本题的关键．
解：∵an+1=12an+1an=an2+12an,且bn=an-1an+1，
∴bn+1=an+1-1an+1+1=an2+12an-1an2+12an+1=an-12an+12 =bn2，
即bn+1=bn2，取两边对数得：lgbn+1=2lgbn，
∴lgbn+1lgbn=2，则数列lgbn是以lgb1为首项，以2为公比的等比数列，lgb1=lg13，
∴lgbn=2n-1·lg13，则bn=3-2n-1，∴b100=3-299，
故选C．
二、填空题（本大题共7小题，共35分）
第7页，共7页
1. 复数z=13-4i3(i是虚数单位)的实部为________，｜z｜=________．
【答案】325；15
本题考查了复数的四则运算，复数的概念和复数的模．
利用复数的四则运算得z=3-4i25，再利用复数的概念和复数的模计算得结论．
解：因为复数z=13-4i3=13+4i=3-4i25(i是虚数单位)，
所以z的实部为325，｜z｜=15
故答案为325；15．
2. 在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C所对的边，若S▵ABC=22，b=3，tanC=22，则c=________，sin2AsinC=________．
【答案】3 2827
解：因为tanC=22，所以sinC=223，cosC=13，又因为S▵ABC=22，则12×3a×223=22，所以a=2，所以c2=9+4-2×3×2×13=9，则c=3，所以2sinA=3223，所以.，cosA=79，所以sin2AsinC=2accosA=2827．
故答案为3，2827．
3. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数y=f(x)满足如下条件：(1)在闭区间[a,b]上是连续不断的；(2)在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数ξ，使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)，其中ξ称为拉格朗日中值.则g(x)=ex在区间[0,1]上的拉格朗日中值ξ=________．
【答案】ln(e-1)
本题以拉格朗日中值定理为背景，考查了导数的运算，以及考查了理解能力，是一道容易题．
解：(1)在闭区间[a,b]上是连续不断的；
(2)在区间(a,b)上都有导数.则在区间(a,b)上至少存在一个数ξ，使得fb-fa=f‘ξb-a，
化为
则gx=ex，，
eξ=g1-g01-0=e-1，
解得ξ=lne-1
故答案为ln(e-1)．
4. 若实数x，y满足x≥0,x-y≤0,x+y-3≤0,则yx+1的最大值为________，若方程2x+y+a=0有解，则实数a的取值范围为________．
【答案】3;-92≤a≤0
本题考查简单线性规划，画出可行域，利用斜率求解yx+1的最大值，然后求出2x+y的范围即可求解．
解： 画出可行域如下图，
yx+1表示可行域内的点与点(-1,0)连线的斜率，
由图知最大值为AB的斜率kAB=3-00-(-1)=3，
因为方程2x+y+a=0有解，
所以方程-a=2x+y有解，
令z=2x+y，则y=-2x+z，即z为斜率为-2的直线在y轴上的截距，
由图知当直线过(0,0)时，z最小，过C时最大，
由{x-y=0,x+y-3=0，解得C(32,32)，
所以z的最小值为0， 最大值为92，
所以0≤-a≤92，
即-92≤a≤0．
故答案为3;-92≤a≤0．
5. 随机变量X的分布列为
X
-3
-1
1
3
P
a
b
c
d
其中a，b，c，d成等差数列(aD(x)>209
故答案为(209,5).
1. 已知实数x，y满足x2+y2+xy=1，则x-y的最大值是________．
【答案】2
本题考查了基本不等式的性质，利用基本不等式的性质即可得出.属于基础题．
解：∵x2+y2+xy=1，
∴(x-y)2=1-3xy≤1+3×(x-y2)2，当且仅当x=-y时取等号，
化为(x-y)2≤4，
∴x-y≤2，
∴x-y的最大值为2．
故答案为2．
2. 已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=2，椭圆Γ:x22+y2=1，过原点O的射线l与分别与圆C、椭圆Γ交于M，N两点，点M不同于点O，则｜OM｜·｜ON｜的最大值是________．
【答案】23
本题主要考查直线与椭圆，圆的位置关系，以及圆锥曲线中的最值.建立方程组求出点M，N的坐标，即可．
解：依题意射线l的斜率存在，设l：y=kx(x>0,k>0)，设N(x1,kx1)，M(x2,kx2)
直线代入椭圆方程得：(1+2k2)x2=2，
∴x2=21+2k2．
由直线代入圆的方程得：(1+k2)x2-(2+2k)x=0，
∴x1=2+2k1+k2，
∴OM·ON=1+k2x12·1+k2x22=41+k21+k2·1+k2·21+2k2
=221+k21+2k2
y因为k>0，
令hk=1+k21+2k2，则，
令，解得k=-1(舍)或k=12，
所以当k=12，有最小值，最小值h12=32，
所以OM·ONmin=22×32=23，
故答案为23．
三、解答题（本大题共5小题，共55分）
3. 已知函数f(x)=sinxcosx-32sinx+32cos2x，x∈R．
(I)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(II)若α为锐角且fa+π12=-79，β满足cos(α-β)=35，求sinβ．
【答案】解：(I)f(x)=sinxcosx-32sin2x+32cos2x
=12sin2x+32cos2x=sin(2x+π3)．
所以f(x)的最小正周期T=π，
令2kπ-π2⩽2x+π3⩽π2+2kπ，k∈Z，
解得kπ-5π12⩽x⩽π12+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-5π12,π12+kπ]，k∈Z．
(II)由(I)得f(α+π12)=sin(2α+π2)=cos2α=-79，
因为α为锐角，所以cosα=13，sinα=223，
又因为cos(α-β)=35，
所以sin(α-β)=±45，
所以sinβ=sin[α-(α-β)]=62±415．
【解析】本题考查三角函数的基础知识，以及基本的运算能力．
(1)化简可得f(x)=sin(2x+π3)，易得函数的最小正周期，解不等式2kπ-π2⩽2x+π3⩽π2+2kπ可得函数的单调递增区间；
(2)利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式，求得sinβ的值．
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1. 如图，在四棱锥A-BCDE中，△ABC是边长为4的正三角形，BE//CD且BE=2CD，CD=3，AE=2，BE⊥AD，M为AB中点．
(I)证明：CM//平面ADE；
(II)求直线CA与平面BCDE所成角的正弦值．
【答案】解：(I)证明：取AE的中点F，连接MF，FD，
因为点M为AB的中点，
所以MF//BE，且MF=12BE，
又因为BE//CD且BE=2CD，
所以MF//CD，MF=CD，
所以四边形MFDC为平行四边形，
所以MC//FD，
又因为FD⊂平面ADE，
所以CM//平面ADE.
(II)解：因为AB=4，BE=2CD=23，AE=2，
所以BE2+AE2=AB2，所以AE⊥BE，
又BE⊥AD，AD∩AE=A，
所以BE⊥平面ADE，
又BE⊂平面CDEB，
所以平面ADE⊥平面CDEB，
作AH⊥DE，因为平面ADE∩平面CDEB=DE，
所以AH⊥平面CDEB，连接CH，
所以∠ACH为直线CA与平面BCDE所成的角.
因为BE⊥平面ADE，
所以BE⊥DE，
在直角梯形BCDE中，DE=13，
因为BE⊥AD，所以CD⊥AD，
在直角三角形ACD中，AD=13，
又DF=MC=23，
在△ADE中，易求得AH=43913，
所以sin∠ACH=AHAC=3913，
所以直线CA与平面BCDE所成角的正弦值为3913．
【解析】本道试题主要是考查了直线与平面平行的判断和直线与平面所成的角．
(I)证明：取AE的中点F，连接MF，FD，通过证明四边形MFDC为平行四边形，可以证明CM//平面ADE；
(II)作AH⊥DE，可以证明∠ACH为直线CA与平面BCDE所成的角．
2. 已知数列｛an｝的前n项和为Sn=nan-n(n-1)且a2=3.数列｛bn｝为非负的等比数列，且满足a1b3=4，b2b7=16b4．
(I)求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；
(II)若数列｛bn｝的前n项和为Cn，求数列｛nCn｝的前n项和Tn．
【答案】解：(I)当n=2时，S2=2a2-2，
又因为S2=a1+a2，a2=3，所以a1=1，
Sn=nan-nn-1①，
则当n≥2时，Sn-1=n-1an-1-n-1n-2②，
①-②得an-an-1=2，
所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，
所以an=2n-1，
因为a1b3=3，所以b3=4，
因为b2b7=b4b5，bn>0，b2b7=16b4，所以b5=16，
所以q2=b5b3=4，又q>0，所以q=2，
所以bn=b3qn-3=2n-1；
(II)由(I)得Cn=1-2n1-2=2n-1，
所以nCn=n·2n-n，
设A=1×2+2×22+…+n×2n，
所以2A=1×22+2×23+…+n×2n+1，
两式相减得A=(n-1)2n+1+2，
设B=1+2+⋅⋅⋅+n=n(n+1)2，
所以Tn=A-B=(n-1)2n+1+2-n(n+1)2.
【解析】本题主要考查了数列的综合应用，此题用到由Sn与an的关系求通项，等比数列及其利用错位相减法求和．
3. 已知椭圆x22+y2m=1的一个焦点为F(0,-1)，曲线C上任意一点到F的距离等于该点到直线y=-3的距离．
(I)求m及曲线C的方程；
(II)若直线l与椭圆只有一个交点P，与曲线C交于A，B两点，求S▵FAPS▵FBP-AFBF的值．
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【答案】解：(I)由F(0,-1)知该椭圆的焦点在y轴上，
所以m-2=1，解得m=3，
设M(x,y)为曲线C上任意一点，
由题意得x2+(y+1)2=(y+3)2，
化简得x2=4(y+2)，
所以曲线C的方程为x2=4(y+2).
(II)设直线l的方程为y=kx+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=kx+b3x2+2y2=6 得(3+2k2)x2+4kbx+2b2-6=0，
因为直线l与椭圆只有一个交点P，
所以△=48k2-24b2+72=0．
所以b2=2k2+3，且xP=-2kb3+2k2=-2kb，yP=kxP+b=3b， ①
由y=kx+b,x2=4(y+2), 得y2-(2b+4k2)y+b2-8k2=0，
所以y1+y2=2b+4k2=2b2+2b-6,y1y2=b2-8k2=12-3b2 ②
由曲线C的定义知｜AF｜=y1+3，｜BF｜=y2+3，
所以，
将①②代入分子
yp-y1y2+3-y2-ypy1+3=-2y1y2+yp-3y1+y2+6yp
=-212-3b2+3b-32b2+2b-6+6×3b
=0，
所以S△FAPS△FBP-|AF||BF|=0.
【解析】本题(1)考查了求椭圆的方程，注意判断焦点所在的位置，以及利用直接法求曲线方程问题.(2)主要考查了直线和椭圆，抛物线相交问题，利用联立方程组后韦达定理以及根与系数的来关系解决．
1. 已知函数f(x)=lnx+1x-b．
(I)若在曲线y=f(x)上的一点P的切线方程为x轴，求此时b的值；
(II)若f(x)≥ax恒成立，求a+2b的取值范围．
【答案】解：，因为f(x)在点P处的切线为x轴，
所以令，解得x=1，
所以f(1)=0，得b=1．
(II)设g(x)=lnx+1x-ax-b，
则，
①当a=0时，，当x∈(0,1)时，g'(x)<0，
当x∈(1,+∞)时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(1)=1-b，
令g(x)min≥0得b≤1，
所以a+2b≤2；
②当a<0时，易知-ax2+x-1=0有两个根x1,x2，不妨令x1<x2，
又x1x2=1a<0，
所以x1<0，x2>0，由题意舍去x1，
所以当x∈(0,x2)时，g'(x)<0，
当x∈(x2,+∞)时，g'(x)>0，
所以g(x)在(0,x2)上单调递减，
在(x2,+∞)上单调递增，
所以g(x)min=g(x2)=lnx2+1x2-ax2-b
=lnx2+1x2-(1-1x2)-b
=lnx2+2x2-1-b⩾0，得b⩽lnx2+2x2-1，
所以a+2b⩽x2-1x22+2lnx2+4x2-2，
又-ax22+x2-1=0，
所以a=x2-1x22<0，
得00时，若a+2b>2，取m=ea2+b-1，则m>1，
所以f(m)-am=a2+b-1+1m-am-b=a(12-m)+1m-1<0，不符合题意．
综上所述，a+2b的取值范围为(-∞,4-2ln2]．
【解析】本题主要考查导数的几何意义以及不等式恒成立问题，属于中档题．
(1)求出f(x)的导数，根据题意在P点的切线是x轴，则，解得x，代入f(x)即可解答．
(2)对题中的不等式进行变形后新设一个新函数g(x)=lnx+1x-ax-b，再利用导数求函数的最小值，对a
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的范围进行分类讨论即可解答，注意分类讨论时不要遗漏情况．
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