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  • 2021-05-13 发布

高考全国卷理科数学试题及详细解析

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‎2015年高考全国卷2理科数学试题及详细解析 注意事项:‎ ‎1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。‎ ‎2.回答第I卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。‎ ‎3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。‎ ‎4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ (1) 已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(X-1)(x+2)<0},则A∩B=( )‎ ‎(A){--1,0} (B){0,1} (C){-1,0,1} (D){,0,,1,2}‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知得,故,故选A ‎(2)若a为实数且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( )‎ ‎ (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2‎ ‎【答案】B ‎(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位:万吨)柱形图。以下结论不正确的是( )‎ (A) 逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著 (B) ‎2007年我国治理二氧化硫排放显现 (C) ‎2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 (D) ‎2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 ‎【答案】D ‎【解析】由柱形图得,从2006年以来,我国二氧化硫排放量呈下降趋势,故年排放量与年份负相关.‎ ‎(4)等比数列{an}满足a1=3, =21,则 ( )‎ ‎(A)21 (B)42 (C)63 (D)84‎ ‎【答案】B ‎(5)设函数,( )‎ ‎(A)3 (B)6 (C)9 (D)12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得,又,所以,故 ‎.‎ ‎(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如右图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图得,在正方体中,截去四面体,如图所示,,设正方体棱长为,则,故剩余几何体体积为,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.‎ ‎(7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点,则=‎ ‎(A)2 (B)8 (C)4 (D)10‎ ‎【答案】C ‎(8)右边程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图,若输入a,b分别为14,18,则输出的a=‎ A.0 B‎.2 C.4 D.14‎ ‎【答案】B ‎【解析】程序在执行过程中,,的值依次为,;;;;;,此时程序结束,输出的值为2,故选B.‎ ‎(9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎【解析】如图所示,当点C位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球的半径为,此时,故,则球的表面积为 ‎,故选C.‎ ‎10.如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A、B两点距离之和表示为x的函数f(x),则f(x)的图像大致为 ‎【答案】B 的运动过程可以看出,轨迹关于直线对称,且,且轨迹非线型,故选B.‎ ‎(11)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 ‎(A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2‎ ‎【答案】D ‎(12)设函数f’(x)是奇函数的导函数,f(-1)=0,当时,,则使得成立的x的取值范围是 ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 记函数,则,因为当时,,故当时,,所以在单调递减;又因为函数是奇函数,故函数是偶函数,所以在单调递减,且.当时,,则;当时,,则,综上所述,使得成立的的取值范围是 ‎,故选A.‎ 二、填空题 ‎(13)设向量,不平行,向量与平行,则实数_________.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】因为向量与平行,所以,则所以.‎ ‎(14)若x,y满足约束条件,则的最大值为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎(15)的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得,故的展开式中x的奇数次幂项分别为,,,,,其系数之和为,解得.‎ ‎(16)设是数列的前n项和,且,,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由已知得,两边同时除以,得,故数列 是以为首项,为公差的等差数列,则,所以.‎ 三.解答题 ‎(17)∆ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,∆ABD是∆ADC面积的2倍。‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ) 若=1,=求和的长.‎ ‎(18)某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下:‎ A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76‎ ‎ 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89‎ B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82‎ ‎ 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79‎ ‎(Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);‎ ‎(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级:‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率 D D1‎ C1‎ A1‎ E F A B C B1‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,长方体ABCD—A1B‎1C1D1中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E,F分别在A1B1,D‎1C1上,A1E = D‎1F = 4,过点E,F的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。‎ ‎(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);‎ ‎(2)求直线AF与平面α所成的角的正弦值。‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆C:,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。‎ ‎(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;‎ ‎(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由。‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 设函数。‎ ‎(1)证明:在单调递减,在单调递增;‎ ‎(2)若对于任意,都有,求m的取值范围。‎ G A E F O N D B C M 请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时请写清题号 ‎22.(本小题满分10分)‎ 选修4 - 1:几何证明选讲 如图,O为等腰三角形ABC内一点,⊙O与ΔABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高AD交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点。‎ ‎(1)证明:EF∥BC;‎ ‎(2)若AG等于⊙O的半径,且,求四边形EBCF的面积。‎ ‎23.(本小题满分10分)‎ 选修4 - 4:坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t ≠ 0),其中0 ≤ α < π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:,C3:。‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标;‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求的最大值。‎ ‎24.(本小题满分10分)‎ 选修4 - 5:不等式选讲 设a,b,c,d均为正数,且a + b = c + d,证明:‎ ‎(1)若ab > cd;则;‎ ‎(2)是的充要条件。‎ 附:全部试题答案