大连民族学院附中创新设计高考数学一轮复习单元训练圆锥曲线与方程 8页

大连民族学院附中2019版《创新设计》高考数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．若圆上每个点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，则所得曲线的方程是( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎2．对于每个正整数，抛物线与轴交于两点，以||表示两点间的距离，则||+||+…+||的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎3．若曲线与直线+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎4．抛物线的焦点坐标是( )‎ A．（0,1） B．（1,0） C．（） D．‎ ‎【答案】C ‎5．F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，A是其右顶点，过F2作x轴的垂线与双曲线的一个交点为P，G是的重心，若，则双曲线的离心率是( )‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎6．抛物线的准线方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D[来源:1ZXXK]‎ ‎7．若椭圆的离心率为，则实数等于( )‎ A．或 B． C． D．或 ‎【答案】A ‎8．平面内到定点M（2，2）与到定直线的距离相等的点的轨迹是( )‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线 ‎【答案】A ‎9．椭圆与双曲线有相同的焦点，则a的值是( )‎ A． B．1或–2 C．1或 D．1‎ ‎【答案】D ‎10．椭圆的右焦点到直线的距离是( )‎ A． B． C．1 D． ‎ ‎【答案】B ‎11．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于点A、B，若,则( )‎ A． 10 B． 11 C． 9 D．16‎ ‎【答案】B ‎12．分别是双曲线的左、右焦点，是其右顶点，过作轴的垂线与双曲线的一个交点为，是，则双曲线的离心率是( )‎ A．2 B． C．3 D．‎ ‎【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知抛物线的焦点为F，准线为，过抛物线C上的点A作准线的垂线，垂足为M，若（其中O为原点）的面积之比为3：1，则点A的坐标为 。‎ ‎【答案】‎ ‎14．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为____________.‎ ‎【答案】－＝1‎ ‎15．椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为 ‎ ‎【答案】‎ ‎16．已知椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则点到椭圆左焦点的距离为____________；‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．设椭圆 C1：（）的一个顶点与抛物线 C2： 的焦点重合，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，离心率 ，过椭圆右焦点 F2 的直线 与椭圆 C 交于 M，N 两点．[来源:1ZXXK]‎ ‎(I）求椭圆C的方程；‎ ‎(II）是否存在直线 ，使得 ，若存在，求出直线 的方程；若不存在，说明理由；‎ ‎(III）若 AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，MNAB，求证： 为定值．‎ ‎【答案】椭圆的顶点为，即 ‎，解得， 椭圆的标准方程为 ‎(2）由题可知，直线与椭圆必相交．‎ ‎①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．‎ ‎②设存在直线为，且，.‎ 由得， ‎ 所以，故直线的方程为或 ‎(3）设,‎ 由（2）可得： |MN|=[来源:Zxxk.Com]‎ 由消去y，并整理得： ，‎ ‎|AB|=，∴ 为定值 ‎18．已知点满足,记点的轨迹为,‎ ‎(1）求轨迹E的方程；‎ ‎(2）若直线过点且与轨迹交于两点，‎ ‎①无论直线绕点怎样转动，在轴上总存在定点，使恒成立，求实数的值；‎ ‎②过作直线的垂线,求的取值范围。‎ ‎【答案】（1）由知，点的轨迹是以为焦点的双曲线右支，‎ 由得，故轨迹的方程为 ‎ ‎(2）当直线的斜率存在时，设直线方程为 与双曲线方程联立消去得：‎ ‎∴，解得 故得对任意的恒成立，‎ ‎∴，解得，∴当时，‎ 当直线的斜率不存在时，由及知结论也成立 综上，当时， ‎ ‎②∵，∴直线是双曲线右准线，‎ 由双曲线定义得 ‎∵，∴，故 注意到直线的斜率不存在时，，此时 综上， ‎ ‎19．椭圆 x2 + 4y2 = 8 中, AB是长为的动弦 .O为坐标原点 . 求AOB面积的取值范围 .‎ ‎【答案】令 A, B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,( x 2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y = kx + b , 代入椭圆方程整理得: (4k2 +1)x2 + 8kbx + 4(b2－2) = 0 . 故 x1 + x2 =－, x1x2 =.‎ 由 = AB2 = (k2+1)(x2－x1)2 = (k2+1)((x1+x 2)2－4 x1x2) =(2(4k2+1)－b2) 得到 ‎ b2 = 2 (4k2+1)－ ‎ 原点O 到 AB 的距离为 , AOB 的面积 S = , 记 u = , 则有 ‎ S 2= －(u 2－u ) = 4－(u－)2 ‎ ‎ u = 4－ 的范围为 , (u = 4 为竖直弦 ). 故 u = 时, max S 2 = 4 , 而 u = 1‎ 时, min S 2 =, 因此 S 的 取值范围是 . ‎ ‎20．如图，椭圆中心在原点，F为左焦点，当时其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”。‎ ‎(1）类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率等于多少？（只要写出结论即可）‎ ‎(2）已知椭圆E：的一个焦点，试证：若不是等比数列，则E一定不是“黄金椭圆”。‎ ‎【答案】（1）‎ ‎(2）假设E为黄金椭圆，则 ‎ 即成等比数列，与已知矛盾，故椭圆E一定不是“黄金椭圆”‎ ‎21．如图，已知椭圆:的一个焦点是（1，0），两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.‎ ‎(1）求椭圆的方程；‎ ‎(2）过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为.‎ ‎(i）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；‎ ‎(ii）求△面积的取值范围.‎ ‎【答案】（1）因为椭圆的一个焦点是（1，0），所以半焦距=1.‎ 因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.‎ 所以，解得所以椭圆的标准方程为. ‎ ‎(2）（i）设直线：与联立并消去得：.‎ 记，，，‎ 由A关于轴的对称点为，得，‎ 根据题设条件设定点为（，0），得，即.‎ 所以 即定点（1 ， 0）.‎ ‎(ii）由（i）中判别式，解得. 可知直线过定点 (1,0).‎ 所以 ‎ 得, 令 记，得，当时，.‎ 在上为增函数. 所以 ，‎ 得.故△OA1B的面积取值范围是. ‎ ‎22．如图，已知点，点是⊙：上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.‎ ‎(Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎(Ⅱ）已知⊙：（）的切线总与曲线有两个交点，并且其中一条切线满足，求证：对于任意一条切线总有.‎ ‎【答案】(Ⅰ）由题意，，[来源:Z.xx.k.Com]‎ ‎∴Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且,‎ ‎∴曲线C的轨迹方程是.‎ ‎ (II）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线：，则[来源:1]‎ ‎ 由与⊙O相切得 即 ①‎ 由，消去得，,‎ 设，，则由韦达定理得 由于其中一条切线满足，对此 结合①式可得 于是，对于任意一条切线，总有，进而 故总有. ‎ 最后考虑两种特殊情况：（1）当满足的那条切线斜率不存在时，切线方程为 代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到，同上可得：任意一条切线均满足；（2）当满足的那条切线斜率存在时，，，对于斜率不存在的切线也有.‎ 综上所述，命题成立. ‎