2017年全国高考理科数学试题及答案-全国卷235538 14页

‎2017年普通高等学校招生全国统一考试 课标II理科数学 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚 ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效 ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎2.设集合，．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，所以，，故选C。‎ ‎3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【答案】B ‎【解析】塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由可得，故选B。‎ ‎4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，学 科粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ ）‎ A． ‎ B． C． D．‎ ‎4.【答案】B ‎【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.‎ ‎5.设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）‎ A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】 ,故选D。‎ ‎7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，学 科给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（ ）‎ A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 ‎【答案】D ‎8.执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（ ）‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C．4 D．5‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ,故选B.‎ ‎9.若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆心到渐近线 距离为 ，所以，故选A.‎ ‎10.已知直三棱柱中，，，，则异面直线 与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎11.若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得 因为，所以，，故 令，解得或，所以在单调递增，在单调递减 所以极小值，故选A。‎ ‎12.已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，‎ 表示抽到的二等品件数，则 ．‎ ‎【答案】1.96‎ ‎【解析】，所以.‎ ‎14.函数（）的最大值是 ．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 ‎ ‎，，那么，当时，函数取得最大值1.‎ ‎15.等差数列的前项和为，，，则 ．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，所以 ，解得 ，所以，那么 ，那么 ‎ .‎ ‎16.已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则 ．‎ ‎【答案】6‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17.（12分）‎ 的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合求出；利用（1）中结论，利用勾股定理和面积公式求出，从而求出．‎ 试题解析：（1）由题设及，故 上式两边平方，整理得 ‎ 解得 ‎ ‎（2）由，故 又 由余弦定理及得 所以b=2‎ ‎【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．‎ ‎18.（12分）‎ 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比学|，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率直方图如下：‎ （1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于‎50kg, 新养殖法的箱产量不低于‎50kg,估计A的概率；‎ （2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：‎ 箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）‎ P（）‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 旧养殖法 新养殖法 有的把握认为箱产量与养殖方法有关。‎ ‎（3）第50个网箱落入“”这组；‎ 取平均值即为中位数的估计值。‎ ‎19.（12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点.‎ ‎（1）证明：直线 平面PAB ‎（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为 ，求二面角M-AB-D的余弦值 ‎（2）取中点，连，由于为正三角形 ‎∴‎ 又∵平面平面，平面平面 ‎∴平面，连，四边形为正方形。‎ ‎∵平面，∴平面平面 而平面平面 过作，垂足为，∴平面 ‎∴为与平面所成角，‎ ‎∴‎ 在中，，∴，‎ 设，，，‎ ‎∴，∴‎ 在中，，∴‎ ‎∴，，‎ 以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，，∴‎ ‎∴，而平面的法向量为 设二面角的大角为（为锐角）‎ ‎∴。‎ ‎20. （12分）‎ 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为N，点P满足.‎ (1) 求点P的轨迹方程；‎ 设点Q在直线x=-3上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F. ‎ ‎【解析】（1）设，，‎ 即 代入椭圆方程，得到 ‎∴点的轨迹方程。‎ ‎∴过与直线垂直的直线为：‎ 当时，‎ ‎①代入得 ‎∴过且垂直于的直线过的左焦点。‎ ‎21.（12分）‎ 已知函数，且。‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)证明：存在唯一的极大值点，且.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的定义域为 设，则等价于 因为 若a=1，则.当0＜x＜1时，单调递减；当x＞1时，＞0，单调递增.所以x=1是的极小值点，故 综上，a=1‎ 又，所以在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当时，；当时，，当时，.‎ 因为，所以x=x0是f(x)的唯一极大值点 由 由得 因为x=x0是f(x)在（0,1）的最大值点，由得 所以 ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）‎ ‎ 在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）M为曲线上的动点，点P在线段OM上，且满足,求点P的轨迹 的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点A的极坐标为，点B在曲线上，求面积的最大值．‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设点B的极坐标为,由题设知 ‎,于是△OAB面积 当时，S取得最大值 所以△OAB面积的最大值为 ‎23.选修4-5：不等式选讲]（10分）‎ 已知，证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此a+b≤2.‎