千题百炼——高考数学个热点问题二第炼形如ADxACyAB条件的应用 16页

第35炼 形如条件的应用 一、基础知识：‎ ‎1、平面向量基本定理：若平面上两个向量不共线，则对平面上的任一向量，均存在唯一确定的，（其中），使得。其中称为平面向量的一组基底。‎ ‎（1）不共线的向量即可作为一组基底表示所有的向量 ‎（2）唯一性：若且，则 ‎2、“爪”字型图及性质：‎ ‎（1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 ‎ 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 ‎（2）已知在线段上，且，则 ‎3、中确定方法 ‎（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定 ‎（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于的方程，再进行求解 ‎（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于的方程，再进行求解 二、典型例题：‎ 例1：在中，为边的中点，为的中点，过点作一直线分别交于点，若，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：若要求出的最值，则需从条件中得到的关系。由共线可想到“爪”字型图，所以，其中，下面考虑将的关系转为的关系。利用条件中的向量关系：且，所以，因为，所以，由平面向量基本定理可得：，所以，所以，而，所以 答案：A 例2：如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：观察到三点共线，利用“爪”字型图，可得，且，由可得，所以，由已知可得：，所以 答案：C 例3：在平面内，已知，设，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：所求为，可以考虑对两边同时对同一向量作数量积，从而得到的方程，解出，例如两边同对作数量积，可得：，因为，，所以有，同理，两边对作数量积，可得：，即，所以，通过作图可得或，从而，代入可得：‎ 答案：B 小炼有话说：（1）当向量等式中的向量系数含参时，可通过对两边作同一向量的数量积运算便可得到关于系数的方程。若要解出系数，则可根据字母的个数确定构造方程的数量 ‎（2）本题也可通过判定，从而想到建立坐标系通过坐标解出，进而求出 例4：如图，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：因为为动点，所以不容易利用数量积来得到的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，‎ 可得：，则，所以设，则由 可得：，因为在内，且，所以所满足的可行域为，代入可得：，通过线性规划可得：‎ 答案：‎ 例5：已知，则与的夹角的余弦值为__________‎ 思路：若要求与的夹角，可联想到，所以只需确定与，由一方面可以两边同时对作数量积得到，另一方面等式两边可以同时取模长的平方计算出，进而求出 解：‎ 且 ‎ ‎ ‎ 答案：‎ 例6：如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则的值为_______‎ 思路一：由图像可得：，由此条件中可提供的模长及相互的夹角，若要求得，可考虑求出的值。则需要两个方程。对两边同时对作数量积，即，由，可得：‎ ‎，再将两边对作数量积，则，即，所以，即 思路二：从图形中可想到建系，得到的坐标，从而利用坐标可求得的值：如图建系可得：，所以，从而可得，所以 答案：6‎ 例7：已知在中，为的外心，，且，则___________ ‎ 思路：通过观察条件发现很难从几何方向直接求，从而考虑利用计算数量积，如何利用这个条件呢？对于已知可以考虑等式两边对同一向量作数量积，从而得到关于的实数方程。由于是外心，进而在上的投影为各边的中点，所以可用数量积的投影定义计算出，结合所求，可确定两边同时与作数量积即可。‎ 解：由，可得：（*）‎ 在上的投影向量为（为中点） ‎ ‎，同理：‎ 所以（*）变形为： ‎ 小炼有话说：对于形如，若想得到关于的方程，可以考虑对同一向量作数量积即可，而向量的选择要尽量能和等式中的向量计算出数量积。‎ 例8：给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_____.‎ 思路：所求的最值，可考虑对等号两边对同一向量作数量积，从而转化为的等式：‎ 即 即，从而可发现，所以只需求得的最大值，其中根据扇形的特点可知的终点为的中点，即，所以，只需最大即可。可知重合时，，所以的最大值为 答案：‎ 例9：已知是外接圆的圆心，为的内角，若，则的值为 （ ）‎ A． B． C． D. ‎ 思路：本题所求与等式中的系数相关，是外心所以在上的投影为两边中点，考虑两边同时对 做数量积，再结合正弦定理变形等式即可 解：可得：‎ ‎（*），因为是外心 ‎ ‎ ‎ （*）变形为 在中，设外接圆半径为，即 ，且 ‎ ‎（*）变形为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 例10：已知的外接圆圆心为，且满足，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 思路：由外接圆的性质可知在上的投影为中点，所以考虑对两边同时对作数量积，从而得到系数的关系：，因为，所以有，再结合，解三元一次方程组即可得到：‎ 答案：A 三、历年好题精选 ‎1、如图，在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为__________‎ 答案：‎ ‎2、（2016，郑州一测）已知点，，，平面区域是由所有满足的点组成的区域，若区域的面积为，则的最小值为________．‎ ‎3、（2015，北京）在中，点，满足．若，则 ； ．‎ ‎4、（2015，新课标I）设为所在平面内一点，且，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5、（安徽六校联考）如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、（2016，河南中原第一次联考）在直角梯形中，为边上一点，为中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7、如图，在直角梯形中，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ O A C B D P ‎8、如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设 ‎，则的最大值等于__________‎ ‎9、在中，，若（是的外心），则的值为___________‎ ‎10、在中，边，过作于，且，则________‎ ‎11、如图，是圆的直径，是圆上的点，且 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、如图，将的直角三角板和的直角三角板拼在一起组成平面四边形，其中的直角三角板的斜边与的直角三角板的所对的直角边重合，若，则分别等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎13、如图，在中，，过点的直线分别交射线于不同的两点，若，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎14、在中，点在线段的延长线上，且，点在线段上（与不重合），若，则的取值范围是________‎ ‎15、已知在中，，点为的外心，若，则有序实数对为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 习题答案：‎ ‎1、解析：本题所处图形为正方形与圆的一部分，所以考虑建系处理，以为轴建立坐标系。设正方形边长为单位长度，则 ‎ ‎，点所在圆方程为，设 ‎ ‎ 则，， ，由得：‎ ‎，解得： ‎ 设 ‎ ‎ ‎ 令，所以：‎ 由可得：，结合分式的单调性可得当时，达到最小值，即 ‎2、答案：‎ 解析：设，，‎ ‎∵，∴．‎ ‎∴，∴，‎ ‎∵∴，即 ‎∴表示的可行域为平行四边形，如图：‎ 由，得，由，得，‎ ‎∴,‎ ‎∵到直线的距离，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，.‎ ‎3、答案： ‎ 解析：，所以 ‎4、答案：A 解析：由图可想到“爪字形图得：，解得：‎ ‎5、答案：D 解析：以为轴建立坐标系，设，则，，由可得：‎ ‎，若存在最大值，则存在极值点 在有零点 令，因为 ‎，解得：‎ ‎6、解析：取的中点，连结，，则，所以，‎ ‎＝，于是＝＝‎ ‎7、答案：C 解析：由直角梯形可知依直角建立坐标系，则，直线 圆的半径 ‎ ‎ ‎ 设，由可得： ‎ 在圆内 ‎ 设，则 ‎，其中 ‎ 由可知 ‎，且 所以 ‎8、答案： ‎ 解析：可依直角建立坐标系，则 ‎ ‎ 设，则有，由图可得所在的区域为不等式组： 所求 ‎，利用线性规划可得：的最大值为，最优解在处取得 ‎9、答案： ‎ 解析：由可得：‎ 由是的外心可得： ‎ ‎ ，所以 ‎10、答案： ‎ 解析：，由可得：，所以 ‎ ‎ 即 ‎ 另一方面，由三点共线可得：，所以解得： ，所以 ‎11、答案：A 解析：以圆为单位圆建系，可得 由图可知，所以 ‎ ‎ ‎，由可得：‎ 从而 ‎ ‎12、答案：D 解析：可如图以所在直线为轴建立坐标系，以为单位长度，则只需求出点坐标即可，由已知可得： ‎ ‎，联立方程可解得，所以可得： ‎ ‎13、答案：D 解析：连结，由“爪字型”图的模型可知，因为，代入可得：①，在中，由三点共线以及①可得：，所以，设，则，因为，所以可得的最小值在处取得，即 ‎ ‎14、答案：‎ 解析：设 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎15、答案：A 解析： ‎ 为的外心 ‎ 由可得：‎ 解得：，所以为