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- 2021-05-13 发布
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高考大题概率训练
1、在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,……6),求:
(I)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;
(II)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。
2、某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。
(1) 求的分布列;
(2) 求的数学期望。
3、某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,(>),且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为
ξ
0
1
2
3
(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;
(Ⅱ)求,的值;
(Ⅲ)求数学期望ξ。
4、某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。
(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;
(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
5、某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响。
(Ⅰ)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率
(Ⅱ)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率;
(Ⅲ)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记为射手射击3次后的总的分数,求的分布列。
6、某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为(490,,(495,,……(510,,由此得到样本的频率分布直方图,如图4所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量.
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
(3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率.
7、某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示,据统计,随机
变量ξ的概率分布如下表:
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
2a
a
(1)求a的值和ξ的数学期望;
(2)假设一月份与二月份被消费投诉的次数互不影响,求该企业在这两个月内共被
消费者投诉2次的概率.
8、一个袋中有大小相同的标有1,2,3,4,5,6的6个小球,某人做如下游戏,每次从袋中拿一个球(拿后放回),记下标号。若拿出球的标号是3的倍数,则得1分,否则得分。
(1)求拿4次至少得2分的概率;
(2)求拿4次所得分数的分布列和数学期望。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
9、质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。
(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积能被4整除的概率;
(2)设为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数,求的分布列及期望E。
.w.w.k.s.5.u.c.o.m
10、在2006年多哈亚运会中,中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛,根据以往战况,中国女排每一局赢的概率为.已知比赛中,第一局日本女排先胜一局,在这个条件下,
(Ⅰ)求中国女排取胜的概率;
(Ⅱ)设决赛中比赛总的局数为,求的分布列及.(两问均用分数作答)
11、甲、乙两人进行摸球游戏,一袋中装有2个黑球和1个红球。规则如下:若一方摸中红球,将此球放入袋中,此人继续摸球;若一方没有摸到红球,将摸到的球放入袋中,则由对方摸彩球。现甲进行第一次摸球。
(Ⅰ)在前三次摸球中,甲恰好摸中一次红球的所有情况;
(Ⅱ)在前四次摸球中,甲恰好摸中两次红球的概率。;
(Ⅲ)设是前三次摸球中,甲摸到的红球的次数,求随机变量的概率分布与期望。
12、有一批数量很大的产品,其次品率是10%。
(1)连续抽取两件产品,求两件产品均为正品的概率;
(2)对这批产品进行抽查,每次抽出一件,如果抽出次品,则抽查终止,否则继续抽查,直到抽出次品,但抽查次数最多不超过4次,求抽查次数的分布列及期望。
13、甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 .假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响; 每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响.
(1)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;
(2)假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?
(3)若甲连续射击5次,用ξ表示甲击中目标的次数,求ξ的数学期望Eξ.
14、某批产品成箱包装,每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品,其余为一等品.
(Ⅰ)用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数,求ξ的分布列及ξ的数学期望;
(Ⅱ)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品级用户拒绝的概率.
15、甲、乙、丙3人投篮,投进的概率分别是, , .(Ⅰ)现3人各投篮1次,求3人都没有投进的概率;(Ⅱ)用ξ表示乙投篮3次的进球数,求随机变量ξ的概率分布及数学期望Eξ
16、袋中装有个黑球和个白球共个球,现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球,甲先取,乙后取,然后甲再取……取后不放回,直到两人中有一人取到白球时即终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的,用表示取球终止时所需的取球次数.
(Ⅰ)求恰好取球3次的概率;
(Ⅱ)求随机变量的概率分布;
(Ⅲ)求恰好甲取到白球的概率.
17、某中学在高一开设了数学史等4门不同的选修课,每个学生必须选修,有只能从中选一门。该校高一的3名学生甲、乙、丙对这4门不同的选修课的兴趣相同。
(Ⅰ)求3个学生选择了3门不同的选修课的概率;
(Ⅱ)求恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率;
(Ⅲ)设随机变量为甲、乙、丙这三个学生选修数学史这门课的人数,求的分布列
与数学期望。
18、射击运动员在双项飞碟比赛中,每轮比赛连续发射两枪,击中两个飞靶得2分,击中一个飞靶得1分,不击中飞靶得0分,某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时,第一枪命中率为,第二枪命中率为, 该运动员如进行2轮比赛.
(Ⅰ)求该运动员得4分的概率为多少?
(Ⅱ)若该运动员所得分数为,求的分布列及数学期望
19、
为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分别占总数的.、、,现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。 (I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;
(II)记为3人中选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望。
20、为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(I)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;
(II)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量,求的分布列及数学期望。
高考数列大题训练答案
1、解:(I)记“甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数”为事件A,则
(II)可取0,1,2,3,4
;;
;
则的分布列为
0
1
2
3
4
P
2、解:必须要走到1号门才能走出,可能的取值为1,3,4,6
,,,
1
3
4
6
分布列为:
(2)小时
3、解:事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”,=1,2,3,由题意知
,,
(I)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是
,
(II)由题意知
整理得 ,
由,可得,.
(III)由题意知
=
=
=
4、解:(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么
P(A)=P(B)=P(C)=
P()=P(A)P()P()=
答:甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为……………………………………6分
(2)ξ的可能值为0,1,2,3
P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)
所以中奖人数ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分
5、解:(1)解:设为射手在5次射击中击中目标的次数,则~.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率
(Ⅱ)解:设“第次射击击中目标”为事件;“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件,则
=
=
(Ⅲ)解:由题意可知,的所有可能取值为
=
所以的分布列是
0
1
2
3
6
P
6、解:
7、解:(1)由概率分布的性质有0.1+0.3+2a+a=1,
解得a=0.2.
∴ξ的概率分布为
ξ
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.4
0.2
∴Eξ=0×0.1+1×0.3+2×0.4+3×0.2=1.7.
(2)设事件A表示“两个月内共被投诉2次;事件A1表示“两个月内有一个月被投
诉2次,另一个月被投诉0次”;事件A2表示“两个月均被投诉1次”.
则由事件的独立性得
P(A1)=CP(ξ=2)P(ξ=0)=2×0.4×0.1=0.08,
P(A2)=[P(ξ=1)]2=0.32=0.09.
∴P(A)=P(A1)+P(A2)=0.08+0.09=0.17.
故该企业在这两个同月共被消费者投诉2次的概率为0.17.
8、解:(1)设拿出球的号码是3的倍数的为事件A,则,,拿4次至少得2分包括2分和4分两种情况。
,, (6分)
(2)的可能取值为,则
;;
;;;
分布列为
P
-4
-2
0
2
4
…(10分)
…(12分)
9、解:(1)不能被4整除的有两种情影:
①4个数均为奇数,概率为……………………2分
(2)4个数中有3个奇数,另一个为2,概率为…………4分
故所求的概率为P……………………6分
(2)的分布列为
0
1
2
3
4
P
服从二项分布………………12分.w.k.s.5.u.c.o.m
10、解:(Ⅰ)中国女排取胜的情况有两种:
①中国女排连胜三局;
②中国女排在第2局到第4局中赢两局,且第5局赢.……………………2分
故中国女排取胜的概率为
…………………………………………………4分
故所求概率为………………………………………………………………5分
(Ⅱ)比赛局数
则
………………8分
的分布列为:
3
4
5
P
……………………10分
.……………………………………………12分
11、解: (Ⅰ) 甲红甲黑乙红黑均可;甲黑乙黑甲红。。。。。。。。。。2分
(Ⅱ)。。。。。。。。。。。。。。。6分
(Ⅲ) 设的分布是 。。。。。。。。。每求对一个1分共4分,表1分, E1分共6分
0
1
2
3
P
E= 。。。。。。。。。。。。。。。12分
12、解:(1)两件产品均为正品的概率为
(3分)
(2)可能取值为1,2,3,4
;;
(9分)
所以次数的分布列如下
(10分)
∴ (12分)
w
13、解:(1)记“甲连续射击4次,至少1次未击中目标”为事件A1,由题意,射击4次,相当于4次独立重复试验,故P(A1)=
答:甲射击4次,至少1次未击中目标的概率为 ;
(2) 记“乙恰好射击5次后,被中止射击”为事件A3,“乙第i次射击未击中” 为事件Di,(i=1,2,3,4,5),则 ,由于各事件相互独立,
故
答:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是
14、解:
15、解:(Ⅰ)记"甲投篮1次投进"为事件A1 , "乙投篮1次投进"为事件A2 , "丙投篮1次投进"为事件A3,"3人都没有投进"为事件A .则P(A1)= ,P(A2)= ,P(A3)= ,
∴ P(A) = P(..)=P()·P()·P()
= [1-P(A1)] ·[1-P (A2)] ·[1-P (A3)]=(1-)(1-)(1-)=
∴3人都没有投进的概率为 .
(Ⅱ)解法一: 随机变量ξ的可能值有0,1,2,3, ξ~ B(3, ),
P(ξ=k)=C3k()k()3-k (k=0,1,2,3) , Eξ=np = 3× = .
解法二: ξ的概率分布为:
ξ
0
1
2
3
P
Eξ=0×+1×+2×+3×= .
16、解:(Ⅰ)恰好取球3次的概率; ……………………3分
(Ⅱ)由题意知,的可能取值为、、、、,
,
,
,
,
.
所以,取球次数的分布列为:
1
2
3
4
5
…………………10分
(Ⅲ) 因为甲先取,所以甲只有可能在第1次,第3次和第5次取球.
记“甲取到白球”的事件为A.
则.
因为事件“”、“”、“”两两互斥,
所以
.
所以恰好甲取到白球的概率为. ……………14分
17、解:(Ⅰ)3个学生选择了3门不同的选修课的概率:P1 =…… 3分
(Ⅱ)恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率:P2=… 6分
(Ⅲ)设某一选择修课这3个学生选择的人数为,则=0,1,2,3
P (= 0 ) = P (= 1) =
P (= 2 ) = P (= 3 ) = ……………… 10分
0
1
2
3
P
∴的分布列为:
∴期望E= 0×+1+2×+3×=
18、解:(I)设运动员得4分的事件为A,
则P(A)= .
(Ⅱ)设运动员得i分的事件为,
ξ的可能取值为0, 1, 2, 3,4
P(ξ=0)= P(ξ=4)=
P(ξ= 1) = P(ξ=3) =,
P(ξ= 2) =
ξ的分布列为:
ξ
0
1
2
3
4
P
数学期望 Eξ=0×+ 1×+ 2×+ 3×+ 4×=2.
19、解:记第1名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 ,,,i=1,2,3.由题意知相互独立,相互独立,相互独立,,,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且P()=,P()=,P()=
(1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率
P=3!P()=6P()P()P()=6=
(2) 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由己已知,-B(3,),且=3。
所以P(=0)=P(=3)==,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
P(=1)=P(=2)= =
P(=2)=P(=1)==
P(=3)=P(=0)= =
故的分布是
0
1
2
3
P
的数学期望E=0+1+2+3=2
20、解:(Ⅰ)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,
事件为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,
事件为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。
(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3
, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
,,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以的分布列为
0
1
2
3
所以, ……………………12分