4高考数学三角函数典型例题 17页

三角函数典型例题 ‎1 ．设锐角的内角的对边分别为,.‎ ‎(Ⅰ)求的大小;‎ ‎(Ⅱ)求的取值范围.‎ ‎【解析】:(Ⅰ)由,根据正弦定理得,所以,‎ 由为锐角三角形得. ‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎.‎ ‎2 ．在中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,且满足(‎2a-c)cosB=bcos C．‎ ‎(Ⅰ)求角B的大小;‎ ‎20070316‎ ‎ (Ⅱ)设且的最大值是5,求k的值. ‎ ‎【解析】:(I)∵(‎2a-c)cosB=bcosC,‎ ‎∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C． ‎ 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB ‎=sin(B+C)‎ ‎∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA． ‎ ‎∵01,∴t=1时,取最大值.‎ 依题意得,-2+4k+1=5,∴k=.‎ ‎3 ．在中,角所对的边分别为,.‎ I.试判断△的形状; ‎ II.若△的周长为16,求面积的最大值.‎ ‎【解析】:I.‎ ‎,所以此三角形为直角三角形.‎ II.,当且仅当时取等号,‎ 此时面积的最大值为.‎ ‎4 ．在中,a、b、c分别是角A． B．C的对边,C=‎2A,,‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,求边AC的长｡‎ ‎【解析】:(1)‎ ‎(2) ①‎ 又 ②‎ 由①②解得a=4,c=6‎ ‎,即AC边的长为5.‎ ‎5 ．已知在中,,且与是方程的两个根.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若AB,求BC的长.‎ ‎【解析】:(Ⅰ)由所给条件,方程的两根. ‎ ‎∴ ‎ ‎(Ⅱ)∵,∴.‎ 由(Ⅰ)知,,‎ ‎∵为三角形的内角,∴ ‎ ‎∵,为三角形的内角,∴, ‎ 由正弦定理得: ‎ ‎∴.‎ ‎6 ．在中,已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c,向量,,且｡‎ ‎(I)求锐角B的大小;‎ ‎(II)如果,求的面积的最大值｡‎ ‎【解析】:(1) Þ 2sinB(2cos2-1)=-cos2B Þ2sinBcosB=-cos2B Þ tan2B=- ‎ ‎∵0<2B<π,∴2B=,∴锐角B= ‎ ‎(2)由tan2B=- Þ B=或 ‎①当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:‎ ‎4=a2+c2-ac≥‎2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立) ‎ ‎∵△ABC的面积S△ABC= acsinB=ac≤ ‎∴△ABC的面积最大值为 ‎ ‎②当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:‎ ‎4=a2+c2+ac≥‎2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)‎ ‎∴ac≤4(2-) ‎ ‎∵△ABC的面积S△ABC= acsinB=ac≤ 2- ‎∴△ABC的面积最大值为2- ‎ ‎7 ．在中,角A． B．C所对的边分别是a,b,c,且 ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.‎ ‎【解析】:(1) 由余弦定理:cosB= ‎ ‎+cos2B= ‎ ‎(2)由 ∵b=2, ‎ ‎+=ac+4≥‎2ac,得ac≤, S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)‎ 故S△ABC的最大值为 ‎8 ．已知,求的值｡‎ ‎【解析】; ‎ ‎9 ．已知 ‎(I)化简 ‎(II)若是第三象限角,且,求的值｡‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎10．已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;‎ ‎(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?‎ ‎【解析】:(1) ‎ ‎ ‎ 的最小正周期 ‎ 由题意得 即 ‎ 的单调增区间为 ‎ ‎(2)先把图象上所有点向左平移个单位长度, ‎ 得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度, ‎ 就得到的图象｡ ‎ ‎11．已知,,｡‎ ‎(1)求的单调递减区间｡‎ ‎(2)若函数与关于直线对称,求当时,的最大值｡‎ ‎【解析】:(1) ‎ ‎∴当时,单调递减 ‎ 解得:时,单调递减｡ ‎ ‎(2)∵函数与关于直线对称 ‎∴ ‎ ‎ ‎ ‎∵ ∴ ∴‎ ‎∴时, ‎ ‎12．已知,求下列各式的值;‎ ‎(1);‎ ‎(2)‎ ‎【解析】: ‎ ‎(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎ ‎ ‎13．设向量,函数 ‎(I)求函数的最大值与最小正周期;‎ ‎(II)求使不等式成立的的取值集合｡‎ ‎【解析】‎ ‎14．已知向量,,与为共线向量,且 ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的值.｡‎ ‎【解析】:(Ⅰ) 与为共线向量, ,‎ 即 ‎ ‎(Ⅱ) , ‎ ‎,‎ ‎ ‎ 又,, ‎ 因此, ‎ ‎15．如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶｡测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=‎0.1km｡试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到‎0.01km,1.414,2.449) ‎ ‎【解析】:在中,=30°,=60°-=30°,‎ 所以CD=AC=0.1‎ 又=180°-60°-60°=60°,‎ 故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA ‎ 在中,, ‎ 即AB=‎ 因此,‎ 故 B．D的距离约为‎0.33km｡ ‎ ‎16．已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.‎ ‎(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)当,求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】： (1)由最低点为得A=2.‎ 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即,‎ 由点在图像上的 故 ‎ 又 ‎(2)‎ 当=,即时,取得最大值2;当 即时,取得最小值-1,故的值域为[-1,2] ‎ ‎17．如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知,,于A处测得水深,于B处测得水深,于C处测得水深,求∠DEF的余弦值｡ ‎ ‎【解析】:作交BE于N,交CF于M.‎ ‎, ‎ ‎,‎ ‎ ‎ 在中,由余弦定理,‎ ‎ ‎ ‎18．已知，，‎ 求（1）（2）（3）‎ ‎【解析】：（1） ‎ ‎19．已知函数（， ，）的一段图象如图所示，‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求这个函数的单调递增区间。‎ ‎【解析】：（1）由图象可知： ；‎ ‎∴ ，又∵为“五点画法”中的第二点 ‎ ‎∴ ∴所求函数解析式为：‎ ‎（2）∵当时，单调递增 ‎∴‎ ‎20．已知的内角A． B．C所对边分别为a、b、c，设向量，‎ ‎，且.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由，得 即 ‎ 也即 ‎ ‎∴‎ ‎∴ ∴‎ ‎21．已知函数，求：‎ ‎（1）函数的定义域和值域； （2）写出函数的单调递增区间。‎ ‎【解析】:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域 ‎ ‎ ‎ 函数的值域为 ‎ ‎（Ⅱ）令得 ‎∴函数的单调递增区间是 ‎ ‎22．如图为一个观览车示意图．该观览车圆半径为‎4.8m，圆上最低点与地面距离为‎0.8m，60秒转动一圈．途中与地面垂直．以为始边，逆时针转动角到 ‎．设点与地面距离为．‎ ‎（1）求与的函数解析式；‎ ‎（2）设从开始转动，经过80秒到达，求. ‎ ‎【解析】：（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎（2）∵，，∴，(m)‎ ‎23．设函数 ‎（1）求函数上的单调递增区间；‎ ‎（2）当的取值范围。‎ ‎【解析】：（1）， ‎ ‎（2）当，‎ ‎24．已知函数，．‎ ‎（1）求的最大值和最小值；‎ ‎（2）在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ ‎． ‎ 又，，‎ 即，‎ ‎．‎ ‎（Ⅱ），，‎ 且，‎ ‎，即的取值范围是．‎ ‎25．在锐角△ABC中,角A． B．C的对边分别为a、b、c,已知 ‎(I)求角A;‎ ‎(II)若a=2,求△ABC面积S的最大值｡‎ ‎【解析】:(I)由已知得 ‎ 又在锐角△ABC中,所以A=60°,[不说明是锐角△ABC中,扣1分] ‎ ‎(II)因为a=2,A=60°所以 ‎ 而 ‎ 又 ‎ 所以△ABC面积S的最大值等于 ‎ ‎26．甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15浬/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40浬处的B岛出发,朝北偏东θ(的方向作匀速直线航行,速度为10 浬/小时.(如图所示)‎ ‎(Ⅰ)求出发后3小时两船相距多少浬?‎ ‎(Ⅱ)求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?‎ ‎【解析】:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系. ‎ 设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1, y1) Q (x2,y2). ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(I)令,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20) ‎ ‎. ‎ 即两船出发后3小时时,相距锂 ‎ ‎(II)由(I)的解法过程易知: ‎ ‎ ‎ ‎∴当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20 ‎ 即两船出发4小时时,相距‎20 海里为两船最近距离. ‎ ‎27．在锐角中，已知内角A． B．C所对的边分别为a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tan B．‎ ‎(1)若a2－ab＝c2－b2，求A． B．C的大小；‎ ‎(2)已知向量＝(sinA，cosA)，＝(cosB，sinB)，求｜3－2｜的取值范围．‎ ‎【解析】‎ D ‎28．如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C．小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为．已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟‎50米，求该扇形的半径的长（精确到‎1米）．‎ ‎【解析】解法一：设该扇形的半径为r米. 由题意，得 CD=500（米），DA=300（米），∠CDO= ‎ 在中， ‎ 即 ‎ Ｄ 解得（米） ‎ 解法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H ‎ 由题意，得CD=500（米），AD=300（米）， ‎ ‎∴ AC=700（米） ‎ ‎ ‎ 在直角 ‎∴ （米） ‎ ‎29．已知角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边经过点.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)定义行列式运算,求行列式的值;‎ ‎(3)若函数(),‎ 求函数的最大值,并指出取到最大值时x的值 ‎【解析】:(1)∵ 角终边经过点, ‎ ‎∴. ‎ ‎(2),. ‎ ‎ . ‎ ‎(3) (), ‎ ‎∴函数 ‎ ‎(), ‎ ‎∴, 此时. ‎ ‎30．已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期;(Ⅱ)当时,求函数的最大值,并写出x相应的取值.‎ ‎【解析】:(Ⅰ)因为 ‎ ‎ ( ) ‎ 所以,,即函数的最小正周期为 ‎ ‎(Ⅱ)因为,得,所以有 ‎ ‎,即 ‎ 所以,函数的最大值为 ‎ 此时,因为,所以,,即 ‎