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  • 2021-05-13 发布

数学高考试题——数学广东卷理

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‎2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)‎ 数学(理科)‎ 一、 选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.若集合A={-2<<1},B={0<<2}则集合A ∩  B=( )‎ A. {-1<<1} B. {-2<<1}‎ C. {-2<<2} D. {0<<1}‎ ‎1. D. .‎ ‎2.若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1·z2=( )‎ A.4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3‎ ‎2. A.‎ ‎3.若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 A.f(x)与g(x)均为偶函数 B. f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与g(x)均为奇函数 D. f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 ‎3.D..‎ ‎4. 已知为等比数列,Sn是它的前n项和。若, 且与2的等差中项为,则=‎ A.35 B‎.33 C.31 D.29‎ ‎4.C.设{}的公比为,则由等比数列的性质知,,即。由与2的等差中项为知,,即.‎ ‎ ∴,即.,即.‎ ‎5. “”是“一元二次方程”有实数解的 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分必要条件 ‎5.A.由知,.‎ ‎6.如图1,△ ABC为三角形,// // ,  ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体△ABC -的正视图(也称主视图)是 ‎6.D.‎ ‎7.已知随机变量X服从正态分布N(3.1),且=0.6826,则p(X>4)=( )‎ A、0.1588 B、‎0.1587 C、0.1586 D0.1585‎ ‎7.B.=0.3413,‎ ‎=0.5-0.3413=0.1587.‎ ‎8.为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )‎ A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒 ‎8.C.每次闪烁时间5秒,共5×120=600s,每两次闪烁之间的间隔为5s,共5×(120-1)=595s.总共就有600+595=1195s.‎ 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.‎ ‎(一)必做题(9-13题)‎ ‎9. 函数=lg(-2)的定义域是 .‎ ‎9. (1,+∞) .∵,∴.‎ ‎10.若向量=(1,1,x), =(1,2,1), =(1,1,1),满足条件=-2,则= .‎ ‎10.C.,,解得.‎ ‎11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若a=1,b=, A+C=2B,则sinC= .‎ ‎11.1.解:由A+C=2B及A+ B+ C=180°知,B =60°.由正弦定理知,,即.由知,,则,‎ ‎, ‎ ‎12.已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是 ‎ ‎12..设圆心为,则,解得.‎ ‎13.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中n位居民的月均用水量分别为x1…xn(单位:吨),根据图2所示的程序框图,若n=2,且x1,x2 分别为1,2,则输出地结果s为 .‎ ‎13.填..‎ ‎14、(几何证明选讲选做题)如图3,AB,CD是半径为a的圆O的两条弦,它们相交于AB的中点P,PD=,∠OAP=30°,则CP=______.‎ ‎ 14..因为点P是AB的中点,由垂径定理知, .‎ 在中,.由相交线定理知,‎ ‎,即,所以.‎ ‎15、(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ,θ)(0 ≤ θ<2π)中,曲线ρ= 与 的交点的极坐标为______.‎ ‎   15..由极坐标方程与普通方程的互化式知,这两条曲线的普通方程分别为.解得由得点(-1,1)的极坐标为.‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎16、(本小题满分14分)‎ 已知函数在时取得最大值4. ‎ ‎(1) 求的最小正周期;‎ ‎(2) 求的解析式;‎ ‎(3) 若(α +)=,求sinα.‎ ‎,,,,.‎ ‎17.(本小题满分12分) ‎ 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为(490,,(495,,……(510,,由此得到样本的频率分布直方图,如图4所示.‎ ‎ (1)根据频率分布直方图,求重量超过‎505克的产品数量.‎ ‎ (2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过‎505克的产品数量,求Y的分布列.‎ ‎ (3)从流水线上任取5件产品,求恰有2件产品合格的重量超过‎505克的概率.‎ ‎18.(本小题满分14分)‎ 如图5,是半径为a的半圆,AC为直径,点E为的中点,点B和点C为线段AD的三等分点.平面AEC外一点F满足,FE=a .‎ 图5‎ ‎ (1)证明:EB⊥FD;‎ ‎(2)已知点Q,R分别为线段FE,FB上的点,使得,求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎(2)设平面与平面RQD的交线为.‎ 由BQ=FE,FR=FB知, .‎ 而平面,∴平面,‎ 而平面平面= ,‎ ‎∴.‎ 由(1)知,平面,∴平面,‎ 而平面, 平面,‎ ‎∴,‎ ‎∴是平面与平面所成二面角的平面角.‎ 在中,,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值是.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ ‎ 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.‎ ‎ 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐?‎ 解:设该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐,共花费元,则。‎ ‎ 可行域为 ‎12 x+8 y ≥64‎ ‎6 x+6 y ≥42‎ ‎6 x+10 y ≥54‎ x≥0, x∈N ‎ y≥0, y∈N ‎ 即 ‎3 x+2 y ≥16‎ ‎ x+ y ≥7‎ ‎3 x+5 y ≥27‎ x≥0, x∈N ‎ y≥0, y∈N ‎ 作出可行域如图所示:‎ ‎ 经试验发现,当x=4,y=3 时,花费最少,为=2.5×4+4×3=22元.‎ ‎20.(本小题满分为14分)‎ ‎ 一条双曲线的左、右顶点分别为A1,A2,点,是双曲线上不同的两个动点。‎ ‎ (1)求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程式;‎ ‎ (2)若过点H(0, h)(h>1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且 ,求h的值。‎ 故,即。‎ ‎(2)设,则由知,。‎ 将代入得 ‎,即,‎ 由与E只有一个交点知,,即 ‎。‎ 同理,由与E只有一个交点知,,消去得,即,从而,即。‎ ‎ 21.(本小题满分14分)‎ 设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点,先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.‎ 当且仅当时等号成立,即三点共线时等号成立.‎ ‎(2)当点C(x, y) 同时满足①P+P= P,②P= P 时,点是线段的中点. ,即存在点满足条件。‎