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- 2021-05-13 发布
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高考导数压轴题题型 李远敬整理 2018.4.11
一.求函数的单调区间,函数的单调性
1.【2012新课标】21. 已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
【解析】
(1)
令得:
得:
在上单调递增
得:的解析式为
且单调递增区间为,单调递减区间为
2.【2013新课标2】21.已知函数f(x)=ex-ln(x+m).
(1)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
【解析】
(1)f′(x)=. 由x=0是f(x)的极值点得f′(0)=0,所以m=1.
于是f(x)=ex-ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)=.
函数f′(x)=在(-1,+∞)单调递增,且f′(0)=0.
因此当x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
3.【2014新课标2】21. 已知函数=
(1)讨论的单调性;
【解析】
(1)f‘x=ex+e-x-2≥0,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(—∞,+∞)单调递增
【2015新课标2】21. 设函数。
(1)证明:在单调递减,在单调递增;
(2)若对于任意,都有,求m的取值范围。
4.【2017新课标1】21. 已知函数。
(1)讨论的单调性;
【解析】
(1)的定义域为,,
(ⅰ)若,则,所以在单调递减.
(ⅱ)若,则由得.
当时,;当时,,所以在单调递减,在单调递增.
二. 由函数不等式,求参数或参数的取值范围或参数的最值
5.【2017新课标2】21. 已知函数且。
(1)求a;
【解析】
(1)因为f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0),
则f(x)≥0等价于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,
因为h′(x)=a﹣,且当0<x<时h′(x)<0、当x>时h′(x)>0,
所以h(x)min=h(),又因为h(1)=a﹣a﹣ln1=0,所以=1,解得a=1;
6.【2017新课标3】21. 已知函数.
(1)若,求的值;
【解析】
(1) ,,则,且
当时,,在上单调增,所以时,,不满足题意;
当时,当时,,则在上单调递减;当时,,则在上单调递增。
①若,在上单调递增∴当时矛盾
②若,在上单调递减∴当时矛盾
③若,在上单调递减,在上单调递增∴满足题意
综上所述。
7.【2011新课标】21. 已知函数,曲线在点处的切线方程为。
(1)求、的值;
(2)如果当,且时,,求的取值范围。
【解析】
(1)
由于直线的斜率为,且过点,
故 即 解得,。
(2)由(1)知,所以
。
考虑函数,则。
(i)设,由知,当时,。而,故
当时,,可得;
当x(1,+)时,h(x)<0,可得 h(x)>0
从而当x>0,且x1时,f(x)-(+)>0,即f(x)>+.
(ii)设00,故h’ (x)>0,而h(1)=0,故当x(1,)时,h(x)>0,可得h(x)<0,与题设矛盾。
(iii)设k1.此时h’ (x)>0,而h(1)=0,故当x(1,+)时,h(x)>0,可得 h(x)<0,与题设矛盾。
综合得,k的取值范围为(-,0)
8.【2012新课标】21. 已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值。
【解析】
(2)得
①当时,在上单调递增
时,与矛盾
②当时,
得:当时,
令;则
当时,;当时,的最大值为
9.【2013新课标1】21. 已知函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2
(1)求a,b,c,d的值
(2)若x≥-2时, ,求k的取值范围。
【解析】
(1)由已知得,
而=,=,∴=4,=2,=2,=2;
(2)由(1)知,,,
设函数==(),
==,
有题设可得≥0,即,
令=0得,=,=-2,
①若,则-2<≤0,∴当时,<0,当时, >0,即在单调递减,在单调递增,故在=取最小值,
而==≥0,
∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,
②若,则=,
∴当≥-2时,≥0,∴在(-2,+∞)单调递增,而=0,
∴当≥-2时,≥0,即≤恒成立,
③若,则==<0,
∴当≥-2时,≤不可能恒成立,
综上所述,的取值范围为[1,]
10.【2014新课标2】21. 已知函数=
(1)讨论的单调性;
(2)设,当时,,求的最大值;
【解析】
(1)f‘x=ex+e-x-2≥0,等号仅当x=0时成立,所以f(x)在(—∞,+∞)单调递增
(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x
g'(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)( ex+e-x-2b+2)
①当b2时,g’(x) 0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-,+
)单调递增,而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0;
②当b>2时,若x满足,2< <2b-2即 0